Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Gedeon Veronika
Füzet:	2012/október, 406 - 407. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emelt szintű gyakorló feladatsor   I. rész     1. Melyik az a három természetes szám, melyek egy számtani sorozat egymást követő elemei, négyzetösszegük 264, valamint a szorzatuk egyenlő 1792 és a középső szám hányadosával?  (10 pont)     2. Mekkora annak az érintőtrapéznak a területe, amelynek egyik szára a 7 cm hosszú párhuzamos oldallal 120 fokos szöget zár be, valamint beírt körének sugara 5 cm?  (13 pont)     3. Az ábrán egy egység oldalú négyzet, annak beírt köre, oldalfelező pontjai által meghatározott négyzet és annak is a beírt köre látható. $a)$ Hány százalékát színeztük ekkor szürkére a nagy négyzetnek? $b)$ Ismételjük meg ezt az eljárást végtelen sokszor. Hány százalékát színeztük így szürkére a nagy négyzetnek?  (14 pont)         4. Adjuk meg azt a két egymást követő egész számot, amelyek közé esik a következő összeg:   $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{lg}\left(11\cdot \sqrt[]{\frac{1}{3}}\right)+\text{lg}\left({11}^2\cdot \sqrt[]{\frac{3}{5}}\right)+\text{lg}\left({11}^3\cdot \sqrt[]{\frac{5}{7}}\right)+\text{...}+\text{lg}\left({11}^{500}\cdot \sqrt[]{\frac{999}{1001}}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ $\begin{array}{c}\end{array}$ (14 pont)   II. rész     5. A 2 cm sugarú gömb alakú bonbonokat ötösével négyzet alapú, gúla alakú dobozokba csomagolják úgy, hogy négy kerül alulra, egy a tetejére. Minden alsó gömb érinti a felsőt és két szomszédos alsót, továbbá érinti a gúla alaplapját és két szomszédos oldallapját. A felső gömb mind a négy oldallapot érinti.   $a)$ Milyen magas a doboz?   $b)$ Mekkora a doboz felszíne?  (16 pont)     6. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket:   $a)$ $\sqrt[]{x}+\sqrt[]{2x+1}=\sqrt[]{3x+13}$;   $b)$ $\frac{\text{log}{}_2\left(x^3+26\right)}{\text{log}{}_4\left(x+2\right)}=6$;   $c)$ $2\text{sin}{}^{2}x+\text{sin}{}^{2}2x=2$.  (16 pont)     7. Adott a koordinátarendszerben a $k_1:x^2+y^2=9$ és a $k_2:{\left(x-17\right)}^2+{\left(y-7\right)}^2=100$ kör. Igazoljuk, hogy a két kör vízszintes közös külső és a pozitív meredekségű közös belső érintőjének metszéspontjából derékszögben látszik a két kör középpontja által meghatározott szakasz.  (16 pont)     8. A szabó egy farsangi pillangójelmezhez az ábrán látható mintát használja, amit a boltban vásárolt téglalap alakú anyagból vág ki. A szabásminta egy parabolaívből és egy körívből áll. $a)$ Az anyag hány százaléka lesz hulladék? $b)$ Adjuk meg a parabola és a kör összes metszéspontját. $\begin{array}{c}\end{array}$ (16 pont)         9. A 2012-es londoni olimpián csapatunk 8 arany-, 4 ezüst- és 5 bronzérmet szerzett. Nem volt olyan versenyszám, amiben két magyar érem született.   $a)$ Hányféleképpen sorolhatjuk föl azokat a versenyszámokat, amelyekben csapatunk érmet szerzett, úgy, hogy először az aranyérmesek, utána az ezüstérmesek, végül a bronzérmesek versenyszámait nevezzük meg?   $b)$ Hányféleképpen sorolhatjuk fel a fenti 17 versenyszámot, ha az azonos színű érmet hozó számok közül mindig azt soroljuk fel hamarabb, amelyik korábban ért véget?   $c)$ Mekkora a valószínűsége annak, hogy az érmes versenyszámaink közül véletlenszerűen hármat választva az azokhoz tartozó érmek különböző színűek lesznek?  (16 pont)  Gedeon Veronika  (Budapest)