Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2011/szeptember, 336 - 337. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

Emelt szintű gyakorló feladatsor
 

Számadó László
Budapest
 

I. rész
 

1. Egy téglalap oldalainak aránya 1:2. Tudjuk, hogy a terület mérőszáma egyenlő a kerület és az átlók hosszának összegét jelölő mérőszámmal. Határozzuk meg a téglalap egy csúcsának távolságát a csúcsot nem tartalmazó átlótól.  (11 pont)
2. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
x2-y2-8x+8y=0,
 
xy-3x-y=0.
}
(12 pont)

 
3. A térkövezéshez nagyon sokféle alakú és színű kő vásárolható. Az ábrákon az úgynevezett fodorkövet, és az ebből kialakítható mintasorozatot látjuk.
a) Hány darab sötétszürke kő szükséges a hatodik mintához?
b) Hányadik mintához kell pontosan 150 darab sötétszürke kő?
c) Adjuk meg rekurzív képlettel a sötétszürke kövek számát az n-edik mintában.
  (14 pont)

4. Egy iskolai sakkbajnokságon mindenki pontosan egyszer játszott mindenkivel. 63 játszma után még mindenkinek négy játszmája hátravolt.
a) Hányan szerepeltek összesen a bajnokságon?
b) Ekkor két véletlenszerűen kiválasztott játékossal beszélgetett az iskolaújság egyik szerkesztője. Mekkora a valószínűsége, hogy ők még nem játszottak egymással?  (14 pont)
 

II. rész
 

5. a) Ha 2-vel csökkentjük az ax2+bx+c=0 egyenlet gyökeit, akkor az
ax2+cx+b=0 egyenlet gyökeit kapjuk. Adjuk meg az eredeti egyenlet együtthatóit, ha tudjuk, hogy az összegük -3.
b) Az ax2+bx+c=0 egyenletben az együtthatók egy növekedő számtani sorozat három egymást követő tagjai, az
(a+2)x2+bx+(c+2)=0
egyenletben az együtthatók pedig egy mértani sorozat három egymást követő tagjai. Van-e valós megoldása az első egyenletnek, ha az együtthatóinak összege 9?
c) Az ax2+bx+c=0 másodfokú egyenlet két zérushelye x1 és x2. Írjunk fel egy olyan harmadfokú egyenletet gyöktényezős alakban, amelynek zérushelyei: x1x2; x12+x22; 1x1+1x2.  (16 pont)
6. Az x2+y2=25 egyenletű kör, az
f(x)=|x+2|+|x-2|-22
hozzárendeléssel megadott függvény képe és az abszcisszatengely egy síkidomot határoznak meg, amit az abszcisszatengely körül megforgatunk. Mekkora az így kapott forgástest térfogata?  (16 pont)
7. a) Igazoljuk, hogy 31+815+31-815 egész szám.
b) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
(31+815)x+(31-815)x=103.(16 pont)

8. Egy szabadtéri színpad hátsó részén egy 12 m magas oszlop áll, melynek a súgólyuktól a teteje 16-os emelkedési szögben látszik. Az oszlop talppontját és a súgólyukat összekötő egyenes fölött van egy emelvény, amelyről a 180 cm magas színész 22-os emelkedési szögben látja az oszlop tetejét. A súgólyuktól a színész feje búbja 10-os emelkedési szögű.
a) Igazoljuk, hogy a színész feje egyenlő távolságra van az oszlop tetejétől és a súgólyuktól.
b) Milyen magas a színpadon felépített emelvény?  (16 pont)
9. a) Egy dobozba 100 darab piros és zöld építőkockát raktak, méretük alapján kicsiket és nagyokat is. Kis piros kocka véletlenszerű kihúzásának ugyanannyi a valószínűsége, mint annak, hogy nagy pirosat vagy kis zöldet húzunk a dobozból. A zöldek és a kicsik aránya 7:11. A nagyok 20-szal kevesebben vannak, mint a pirosak. Hány kocka van az egyes fajtákból?
b) Egy dobozba 93 darab piros és zöld építőkockát raktak, méretük alapján kicsiket és nagyokat is. Mindegyik fajtából különböző prímszám darab van. A piros kockák száma osztható héttel. A kis zöld kockákból van a legkevesebb. Nagy pirosból ötvennel több van, mint kis pirosból. Hány kocka van az egyes fajtákból?
  (16 pont)