A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.Emelt szintű gyakorló feladatsor Számadó László Budapest
I. rész 1. Egy téglalap oldalainak aránya . Tudjuk, hogy a terület mérőszáma egyenlő a kerület és az átlók hosszának összegét jelölő mérőszámmal. Határozzuk meg a téglalap egy csúcsának távolságát a csúcsot nem tartalmazó átlótól. (11 pont) 2. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: | | (12 pont) |
3. A térkövezéshez nagyon sokféle alakú és színű kő vásárolható. Az ábrákon az úgynevezett fodorkövet, és az ebből kialakítható mintasorozatot látjuk. Hány darab sötétszürke kő szükséges a hatodik mintához? Hányadik mintához kell pontosan 150 darab sötétszürke kő? Adjuk meg rekurzív képlettel a sötétszürke kövek számát az -edik mintában. (14 pont)
4. Egy iskolai sakkbajnokságon mindenki pontosan egyszer játszott mindenkivel. 63 játszma után még mindenkinek négy játszmája hátravolt. Hányan szerepeltek összesen a bajnokságon? Ekkor két véletlenszerűen kiválasztott játékossal beszélgetett az iskolaújság egyik szerkesztője. Mekkora a valószínűsége, hogy ők még nem játszottak egymással? (14 pont)
II. rész 5. Ha 2-vel csökkentjük az egyenlet gyökeit, akkor az egyenlet gyökeit kapjuk. Adjuk meg az eredeti egyenlet együtthatóit, ha tudjuk, hogy az összegük . Az egyenletben az együtthatók egy növekedő számtani sorozat három egymást követő tagjai, az egyenletben az együtthatók pedig egy mértani sorozat három egymást követő tagjai. Van-e valós megoldása az első egyenletnek, ha az együtthatóinak összege 9? Az másodfokú egyenlet két zérushelye és . Írjunk fel egy olyan harmadfokú egyenletet gyöktényezős alakban, amelynek zérushelyei: ; ; . (16 pont) 6. Az egyenletű kör, az hozzárendeléssel megadott függvény képe és az abszcisszatengely egy síkidomot határoznak meg, amit az abszcisszatengely körül megforgatunk. Mekkora az így kapott forgástest térfogata? (16 pont) 7. Igazoljuk, hogy egész szám. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: | | (16 pont) |
8. Egy szabadtéri színpad hátsó részén egy 12 m magas oszlop áll, melynek a súgólyuktól a teteje -os emelkedési szögben látszik. Az oszlop talppontját és a súgólyukat összekötő egyenes fölött van egy emelvény, amelyről a 180 cm magas színész -os emelkedési szögben látja az oszlop tetejét. A súgólyuktól a színész feje búbja -os emelkedési szögű. Igazoljuk, hogy a színész feje egyenlő távolságra van az oszlop tetejétől és a súgólyuktól. Milyen magas a színpadon felépített emelvény? (16 pont) 9. Egy dobozba 100 darab piros és zöld építőkockát raktak, méretük alapján kicsiket és nagyokat is. Kis piros kocka véletlenszerű kihúzásának ugyanannyi a valószínűsége, mint annak, hogy nagy pirosat vagy kis zöldet húzunk a dobozból. A zöldek és a kicsik aránya . A nagyok 20-szal kevesebben vannak, mint a pirosak. Hány kocka van az egyes fajtákból? Egy dobozba 93 darab piros és zöld építőkockát raktak, méretük alapján kicsiket és nagyokat is. Mindegyik fajtából különböző prímszám darab van. A piros kockák száma osztható héttel. A kis zöld kockákból van a legkevesebb. Nagy pirosból ötvennel több van, mint kis pirosból. Hány kocka van az egyes fajtákból? (16 pont) |
|