Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2011/szeptember, 336 - 337. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emelt szintű gyakorló feladatsor   Számadó László Budapest   I. rész   1. Egy téglalap oldalainak aránya $1:2$. Tudjuk, hogy a terület mérőszáma egyenlő a kerület és az átlók hosszának összegét jelölő mérőszámmal. Határozzuk meg a téglalap egy csúcsának távolságát a csúcsot nem tartalmazó átlótól.  (11 pont) 2. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2-y^2-8x+8y}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \multicolumn{2}{c}{\text{<div style="line-height: 3pt"> </div>}}\\ \hfill {\displaystyle xy-3x-y}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}\}}\end{array}$ (12 pont)   3. A térkövezéshez nagyon sokféle alakú és színű kő vásárolható. Az ábrákon az úgynevezett fodorkövet, és az ebből kialakítható mintasorozatot látjuk. $a)$ Hány darab sötétszürke kő szükséges a hatodik mintához? $b)$ Hányadik mintához kell pontosan 150 darab sötétszürke kő? $c)$ Adjuk meg rekurzív képlettel a sötétszürke kövek számát az $n$-edik mintában.   (14 pont) 4. Egy iskolai sakkbajnokságon mindenki pontosan egyszer játszott mindenkivel. 63 játszma után még mindenkinek négy játszmája hátravolt. $a)$ Hányan szerepeltek összesen a bajnokságon? $b)$ Ekkor két véletlenszerűen kiválasztott játékossal beszélgetett az iskolaújság egyik szerkesztője. Mekkora a valószínűsége, hogy ők még nem játszottak egymással?  (14 pont)   II. rész   5. $a)$ Ha 2-vel csökkentjük az $a{x}^2+bx+c=0$ egyenlet gyökeit, akkor az $a{x}^2+cx+b=0$ egyenlet gyökeit kapjuk. Adjuk meg az eredeti egyenlet együtthatóit, ha tudjuk, hogy az összegük $-3$. $b)$ Az $a{x}^2+bx+c=0$ egyenletben az együtthatók egy növekedő számtani sorozat három egymást követő tagjai, az $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a+2\right)x^2+bx+\left(c+2\right)=0}\end{array}$ egyenletben az együtthatók pedig egy mértani sorozat három egymást követő tagjai. Van-e valós megoldása az első egyenletnek, ha az együtthatóinak összege 9? $c)$ Az $a{x}^2+bx+c=0$ másodfokú egyenlet két zérushelye $x_1$ és $x_2$. Írjunk fel egy olyan harmadfokú egyenletet gyöktényezős alakban, amelynek zérushelyei: $x_1{x}_2$; $x_1^2+x_2^2$; $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$.  (16 pont) 6. Az $x^2+y^2=25$ egyenletű kör, az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\frac{|x+2|+|x-2|-2}{2}}\end{array}$ hozzárendeléssel megadott függvény képe és az abszcisszatengely egy síkidomot határoznak meg, amit az abszcisszatengely körül megforgatunk. Mekkora az így kapott forgástest térfogata?  (16 pont) 7. $a)$ Igazoljuk, hogy $\sqrt[]{31+8\sqrt[]{15}}+\sqrt[]{31-8\sqrt[]{15}}$ egész szám. $b)$ Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{{\left(31+8\sqrt[]{15}\right)}^x}+\sqrt[]{{\left(31-8\sqrt[]{15}\right)}^x}=\frac{10}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ (16 pont) 8. Egy szabadtéri színpad hátsó részén egy 12 m magas oszlop áll, melynek a súgólyuktól a teteje ${16}^{\circ }$-os emelkedési szögben látszik. Az oszlop talppontját és a súgólyukat összekötő egyenes fölött van egy emelvény, amelyről a 180 cm magas színész ${22}^{\circ }$-os emelkedési szögben látja az oszlop tetejét. A súgólyuktól a színész feje búbja ${10}^{\circ }$-os emelkedési szögű. $a)$ Igazoljuk, hogy a színész feje egyenlő távolságra van az oszlop tetejétől és a súgólyuktól. $b)$ Milyen magas a színpadon felépített emelvény?  (16 pont) 9. $a)$ Egy dobozba 100 darab piros és zöld építőkockát raktak, méretük alapján kicsiket és nagyokat is. Kis piros kocka véletlenszerű kihúzásának ugyanannyi a valószínűsége, mint annak, hogy nagy pirosat vagy kis zöldet húzunk a dobozból. A zöldek és a kicsik aránya $7:11$. A nagyok 20-szal kevesebben vannak, mint a pirosak. Hány kocka van az egyes fajtákból? $b)$ Egy dobozba 93 darab piros és zöld építőkockát raktak, méretük alapján kicsiket és nagyokat is. Mindegyik fajtából különböző prímszám darab van. A piros kockák száma osztható héttel. A kis zöld kockákból van a legkevesebb. Nagy pirosból ötvennel több van, mint kis pirosból. Hány kocka van az egyes fajtákból?   (16 pont)