Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2012/szeptember, 338 - 339. oldal  PDF file

Emelt szintű gyakorló feladatsor
 

I. rész
 

 
1. Adott a valós számok halmazán értelmezett f és g függvény:
f(x)=(2x-1)2+(x-4)(x+4)-5x(x-1),g(x)=x3-4|x|.

a) Igazoljuk, hogy f elsőfokú függvény.
b) Adjuk meg a g függvény zérushelyeit.  (11 pont)
 
2. Egy szabályos hatszög oldalai és átlói közül ötöt pirosra, a többit zöldre festettük. Ezek után véletlenszerűen választunk közülük öt szakaszt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan három piros és kettő zöld lesz a kiválasztottak között?  (13 pont)
 
3. Az ABC egy szabályos háromszög. Az A középpontú AB sugarú kör kisebbik BC ívének B-hez közelebbi harmadolópontja D, C-hez közelebbi harmadolópontja pedig E. A B középpontú AB sugarú kör kisebbik AC ívének felezőpontja F. Mekkorák az AD, AE és BF egyenesek által meghatározott háromszög belső szögei?  (13 pont)
 
4. Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: A(1;1), B(6;2) és C(2;6).
a) Milyen hosszú a háromszög legrövidebb magassága?
b) Mekkora a háromszög területe?
c) Egyszerre dobunk egy piros és egy zöld dobókockával. A pirossal dobott szám legyen egy pont első, a zölddel dobott szám a második koordinátája. Mekkora valószínűséggel lesz az így kapott pont az ABC háromszög belsejében?  (14 pont)
 

II. rész
 

 
5. Egy érettségi találkozón Lászlótól 2012-ben megkérdezték tanítványai, hogy hány éves. Ezt válaszolta:
,,Édesanyám születési évszáma abcd¯, az én születési évszámom pedig ab¯2+cd¯2, ekkor ő 21 éves volt. Nem egy városban élünk, a következő héten utazom hozzá.''
Hány éves László 2012-ben?  (16 pont)
 
6. Tekintsük az {an}={2n+12n+3} sorozatot (nN+).
a) Határozzuk meg a sorozat összes olyan tagját, amelyek 3-nál nem kisebbek.
b) Az a1, a3, a9 sorszámai egy mértani sorozat három egymást követő tagját adják. Igazoljuk, hogy a sorozat ezen három eleme egy számtani sorozatnak a három egymást követő tagja lesz.
c) Hány olyan tagja van a sorozatnak, amelyek három tizedes jegyre kerekített értéke 2,012?
d) Határozzuk meg a limnan értékét.  (16 pont)
 
7. Az ABCDEFGH téglatestben úgy jelöltük a csúcsokat, hogy az ABCD alaplappal egybevágó lapon az E csúcsot az A-val, a F csúcsot a B-vel, a G csúcsot a C-vel, a H csúcsot a D-vel kösse össze él. Tudjuk, hogy a BAF szög 45-os, a CAG szög pedig 30-os.
a) Igazoljuk, hogy AFGD négyzet.
b) Mekkora az AFBC tetraéder felszíne, ha AB=a?
c) Mekkora az AFHC tetraéder térfogata, ha AF és HC távolsága a2?
   (16 pont)
 
8. Egy ház tűzfala egy négyzetből és egy szabályos háromszögből áll. A falat két színnel szeretnék vakolni. A két rész között a határvonal egy parabola lesz, amit a mellékelt ábra mutat. A házikó parabola feletti részét világosabbra, a többit sötétebbre vakolják. A felület hány százaléka lesz sötétebb árnyalatú?  (16 pont)
 
 
 
9. Határozzuk meg azokat az x valós számokat, amelyre cosx és cos2x négyzetösszege a cos3x négyzetével egyenlő.  (16 pont)
 
 Számadó László