Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2012/szeptember, 338 - 339. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emelt szintű gyakorló feladatsor   I. rész     1. Adott a valós számok halmazán értelmezett $f$ és $g$ függvény: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(x\right)}& {\displaystyle ={\left(2x-1\right)}^2+\left(x-4\right)\left(x+4\right)-5x\left(x-1\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle g\left(x\right)}& {\displaystyle =x^3-4|x|\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ $a)$ Igazoljuk, hogy $f$ elsőfokú függvény. $b)$ Adjuk meg a $g$ függvény zérushelyeit.  (11 pont)   2. Egy szabályos hatszög oldalai és átlói közül ötöt pirosra, a többit zöldre festettük. Ezek után véletlenszerűen választunk közülük öt szakaszt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan három piros és kettő zöld lesz a kiválasztottak között?  (13 pont)   3. Az $ABC$ egy szabályos háromszög. Az $A$ középpontú $AB$ sugarú kör kisebbik $BC$ ívének $B$-hez közelebbi harmadolópontja $D$, $C$-hez közelebbi harmadolópontja pedig $E$. A $B$ középpontú $AB$ sugarú kör kisebbik $AC$ ívének felezőpontja $F$. Mekkorák az $AD$, $AE$ és $BF$ egyenesek által meghatározott háromszög belső szögei?  (13 pont)   4. Az $ABC$ háromszög csúcsainak koordinátái: $A\left(1;1\right)$, $B\left(6;2\right)$ és $C\left(2;6\right)$. $a)$ Milyen hosszú a háromszög legrövidebb magassága? $b)$ Mekkora a háromszög területe? $c)$ Egyszerre dobunk egy piros és egy zöld dobókockával. A pirossal dobott szám legyen egy pont első, a zölddel dobott szám a második koordinátája. Mekkora valószínűséggel lesz az így kapott pont az $ABC$ háromszög belsejében?  (14 pont)   II. rész     5. Egy érettségi találkozón Lászlótól 2012-ben megkérdezték tanítványai, hogy hány éves. Ezt válaszolta: ,,Édesanyám születési évszáma $\overline{abcd}$, az én születési évszámom pedig ${\overline{ab}}^2+{\overline{cd}}^2$, ekkor ő 21 éves volt. Nem egy városban élünk, a következő héten utazom hozzá.'' Hány éves László 2012-ben?  (16 pont)   6. Tekintsük az $\left\{a_n\right\}=\{\frac{2n+12}{n+3}\}$ sorozatot $\left(n\in {\text{N}}^{+}\right)$. $a)$ Határozzuk meg a sorozat összes olyan tagját, amelyek 3-nál nem kisebbek. $b)$ Az $a_1$, $a_3$, $a_9$ sorszámai egy mértani sorozat három egymást követő tagját adják. Igazoljuk, hogy a sorozat ezen három eleme egy számtani sorozatnak a három egymást követő tagja lesz. $c)$ Hány olyan tagja van a sorozatnak, amelyek három tizedes jegyre kerekített értéke 2,012? $d)$ Határozzuk meg a $\underset{n\to \infty }{\overset{}{\underset{}{\overset{}{\text{lim}}}}}{a}_n$ értékét.  (16 pont)   7. Az $ABCDEFGH$ téglatestben úgy jelöltük a csúcsokat, hogy az $ABCD$ alaplappal egybevágó lapon az $E$ csúcsot az $A$-val, a $F$ csúcsot a $B$-vel, a $G$ csúcsot a $C$-vel, a $H$ csúcsot a $D$-vel kösse össze él. Tudjuk, hogy a $BAF$ szög ${45}^{\circ }$-os, a $CAG$ szög pedig ${30}^{\circ }$-os. $a)$ Igazoljuk, hogy $AFGD$ négyzet. $b)$ Mekkora az $AFBC$ tetraéder felszíne, ha $AB=a$? $c)$ Mekkora az $AFHC$ tetraéder térfogata, ha $AF$ és $HC$ távolsága $a\sqrt[]{2}$? $\begin{array}{c}\end{array}$  (16 pont)   8. Egy ház tűzfala egy négyzetből és egy szabályos háromszögből áll. A falat két színnel szeretnék vakolni. A két rész között a határvonal egy parabola lesz, amit a mellékelt ábra mutat. A házikó parabola feletti részét világosabbra, a többit sötétebbre vakolják. A felület hány százaléka lesz sötétebb árnyalatú?  (16 pont)       9. Határozzuk meg azokat az $x$ valós számokat, amelyre $\text{cos}x$ és $\text{cos}2x$ négyzetösszege a $\text{cos}3x$ négyzetével egyenlő.  (16 pont)    Számadó László