Cím: Kunfalvi Rezső Olimpiai Válogatóverseny, 2014.
Szerző(k):  Vigh Máté 
Füzet: 2014/május, 297 - 302. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is), Mozgási indukció, Merev test impulzusnyomatéka (perdülete), Egyéb elemi részecskék, Egyéb mágneses erőhatás

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Kunfalvi Rezső Olimpiai Válogatóverseny *

1. forduló, elméleti rész*
Budapest, 2014. április 14.

1. feladat. Ez a feladat három független, kisebb részből áll. (50 p + 50 p + 50 p)
1.A. T1=100 K hőmérsékletű környezetben egy levegővel telt, zárt tartály helyezkedik el. A tartályban lévő levegőt egy ideális Carnot-gépnek tekinthető hűtőgéppel szeretnénk minél alacsonyabb hőmérsékletűre hűteni. Maximális hűtési fokozaton (amikor a hűtőgép az általa felvehető legnagyobb elektromos teljesítményt veszi fel) a tartályban T2=50 K hőmérsékletet sikerül elérni. Mekkora T2' értékű lenne a tartályban elérhető legalacsonyabb hőmérséklet, ha a környezet hőmérséklete T1'=200 K lenne? (A hűtőgép ebben az esetben is maximális fokozaton működik, a hősugárzás elhanyagolható.)
 

1.B. R ellenállású drótból és egy ideálisnak tekinthető diódából r sugarú zárt karikát készítünk. A karikát vízszintes síkban tartjuk, a középpontján pedig egy függőleges tengelyű, hosszú üvegcsövet vezetünk át az ábra szerint. Mekkora töltés halad át a diódán, ha az üvegcsőbe m dipólnyomatékú, kicsiny mágnesrudat ejtünk? (A vezető karika önindukciója elhanyagolható. Az ideális dióda az áramot az egyik irányban ellenállás nélkül átengedi, míg a másik irányban szakadásként működik.)
1.C. Kísérletekben általában úgy állítanak elő pionokat (π+), hogy nagy hidrogéntartalmú anyagra nagyenergiás protonnyalábot irányítanak, melynek következtében az állónak tekinthető hidrogénmagok és a beérkező gyors protonok között a következő reakció megy végbe:
p++p+p++n0+π+.
Legalább mekkora kinetikus energiával kell rendelkeznie a beeső protonoknak, hogy a fenti reakció végbemenjen? A választ adjuk meg paraméteresen is a proton mp tömegével, a neutron mn tömegével, a pion mπ tömegével, valamint a c vákuumbeli fénysebesség felhasználásával!
A fizikai állandók ismeretében határozzuk meg a minimális kinetikus energiát MeV egységekben!
 
2. feladat. A Föld és a Hold mozgásának szinkronizálódása. (150 p)
Közismert tény, hogy a Hold mindig ugyanazt az oldalát mutatja a Föld felé. Ez az érdekesség nem véletlen egybeesés, hanem a Föld által a Holdra ható árapályerők közvetlen következménye: az árapályerők ugyanis az idők folyamán folyamatosan fékezték a Hold tengelykörüli forgását egészen addig, amíg annak periódusideje egyenlővé vált a Föld körüli keringésének periódusidejével.
 

Teljesen hasonló fékezési mechanizmus miatt a Föld tengelykörüli forgása is lassul, melynek magyarázata a következő. A Hold nagyobb gravitációs vonzóerőt fejt ki a Föld azon pontjaira, amelyek a Holdhoz közelebb helyezkednek el, mint azokra a pontokra, amelyek a Holdtól távolabb vannak. Ennek következtében a Föld (nagyon kicsiny mértékben) ,,megnyúlik'', forgási ellipszoiddá alakul (lásd az ábrát). Az ellipszoid nagytengelye azonban a Föld kőzeteinek belső súrlódása és a Föld tengelykörüli forgása következtében nem a Hold aktuális irányába mutat, hanem ahhoz képest folyamatosan ,,siet''. Az így keletkezett dudorokra a Hold gravitációs tere forgatónyomatékot gyakorol, ami lassítja a Föld forgását.
 
Figyelem! A következő feladatok során a Föld Nap körüli mozgásától tekintsünk el! Mindvégig használjuk azt a közelítést, hogy a földi Egyenlítő, a Hold egyenlítője és a Hold pályasíkja egy síkban van! A Föld tömegeloszlása nem egyenletes, tömegközéppontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát az adattáblázat tartalmazza. A Holdat tekinthetjük homogén tömegeloszlású gömbnek, a holdpályát pedig kör alakúnak.
 
2.1. A Föld‐Hold rendszer perdülete négy tag összegeként számolható. Ezek rendre a Földnek a tengelye körüli forgásából származó NsajátFöld sajátperdülete, a Föld közös tömegközéppont körüli keringésből származó NpályaFöld pályaperdülete, a Hold NsajátHold sajátperdülete, illetve a Hold NpályaHold pályaperdülete. Határozzuk meg a négy tag számszerű értékét! (20 p)
2.2. A Föld‐Hold rendszer pálya- és sajátperdületéből csak a két legdominánsabb tagot megtartva határozzuk meg, hogyan aránylik egymáshoz a Föld és a Hold mozgási energiájának ΔEkin/Δt csökkenési üteme! A választ adjuk meg paraméteresen (a Hold keringésének Ω szögsebességével és a Föld tengelykörüli forgásának ω szögsebességével kifejezve), és számszerűen is! (50 p)
 
Útmutatás: A Föld-Hold távolság olyan lassan változik, hogy a mozgás során a Hold pályája mindvégig körnek tekinthető.

 

2.3. Az Apolló-program keretében többek között lézertükröt is juttattak a Holdra. Az ezzel végzett igen pontos mérések szerint a Hold évente 3,8 cm-t távolodik a Földtől. A mért adat alapján becsüljük meg, mennyit változik a Föld mozgási energiája és a Hold mozgási energiája évente! (30 p)
2.4. A számítások szerint az árapályerők fékezési hatása következtében hosszú idő elteltével a Föld is mindig ugyanazt az oldalát fogja a Hold felé mutatni, a két égitest forgása és egymás körüli keringése szinkronizálódik. Hányszorosára fog növekedni addigra a földi nap hossza? (30 p)
2.5. A teljes szinkronizáció befejeződésekor mekkora lesz a Föld és a Hold közötti távolság? (20 p)
 
Megjegyzés. A Naprendszerben több példát is találhatunk olyan égitest-párokra, melyeknél a teljes szinkronizáció már bekövetkezett. Az egyik legismertebb a Plútó törpebolygó és egyetlen holdja, a Charon.

 

3. feladat. Müon spin rotáció (μSR) (150 p)
A müonok töltött elemi részecskék, amelyek elsősorban a kozmikus sugárzás hatására keletkeznek a légkör felsőbb rétegeiben. A tömegük 206-szor nagyobb az elektron tömegénél, töltésük szempontjából pedig kétfélék lehetnek: létezik pozitív müon (μ+) és negatív müon (μ-), melyek egymás antirészecskéi, töltésük nagysága pedig az elemi töltés. A kísérleti szilárdtestfizikában a pozitív müonoknak jóval nagyobb jelentőségük van, mint antirészecskéiknek.
Ebben a feladatban a müon spin rotációnak (röviden μSR) nevezett kísérleti módszerrel ismerkedünk meg, amelynek segítségével a kristályos anyagok belsejében jelenlévő mágneses teret lehet megmérni a μ+-részecskék segítségével. Ha egy kristályos szerkezetű, szilárd anyagba μ+-részecskét juttatunk, akkor a müon (a kristályt alkotó, pozitív töltésű rácsionok hatására) a rácspontok közötti, ún. intersticiális (rácsközi) helyekre kényszerül (lásd az 1. ábrát). Ezen a helyen a müon mágneses momentuma kölcsönhatásba lép a rácsközi helyen jelenlévő, a környező rácsionok által keltett mágneses térrel, így a müon mikroszkopikus magnetométerként használható. A kristályban jelenlévő hosszú távú rend miatt a rácsközi helyek egyenértékűek, ezért a mágneses tér nagysága és iránya minden intersticiális helyen azonos.

 

1. ábra. A nikkel kristály elemi cellája. A szürke körök jelzik a Ni-atomokat, az üres körök pedig az intersticiális (rácsközi) helyeket, ahova a müonok beülhetnek.
 
 

3.1. Tekintsünk egy klasszikus, homogén tömegeloszlású, egyenletesen töltött, tömör szigetelő golyót, melynek tömege M, töltése pedig Q! Ha a golyót a tömegközéppontja körül forgásba hozzuk, a golyó m mágneses momentumra tesz szert, melynek nagysága arányos a golyó S sajátperdületével:
m=γS.
Adjuk meg a γ tényező értékét Q és M segítségével! (20 p)
3.2. A forgó, töltött golyót homogén, B=(0,0,B0) indukciójú mágneses térbe helyezzük úgy, hogy kezdetben mágneses momentuma
m(0)=m0(sinφ,0,cosφ)
legyen, ahol φ a mágneses tér iránya és a mágneses momentum iránya által bezárt szög. Határozzuk meg a golyó mágneses momentumát a mágneses térbe helyezést követően t idő múlva, azaz az
m(t)=(mx(t),my(t),mz(t))
mennyiséget! A választ γ, B0, m0 és φ felhasználásával adjuk meg! (30 p)
 

Útmutatás: Homogén, B indukciójú mágneses térbe helyezett m mágneses momentumra m×B forgatónyomaték hat.

3.3. A μ+-részecske mágneses térbeli viselkedése úgy írható le, mintha egy klasszikus, töltött, forgó golyó lenne S sajátperdülettel és m mágneses momentummal. A müon mágneses momentuma is arányos a sajátperdületével (spinjével): m=γμS, az arányossági tényező azonban γμ=8,48108  Hz/T, a müon ún. giromágneses faktora. (A müon esetében γμ nem számolható olyan egyszerűen, mint a 3.1. alfeladatban.)
Határozzuk meg a müon mágneses momentumának kezdeti (t=0) iránya és a mágneses momentum t. időpillanatbeli iránya által bezárt α(t) szöget! A lokális mágneses tér az intersticiális helyen B=(0,0,B0), a müon kezdeti mágneses momentuma pedig m(t=0)=m0(sinφ,0,cosφ). A választ γμ, B0, m0 és φ segítségével adjuk meg! (20 p)
3.4. Az intersticiális helyen lévő müon a kristályba juttatása után előbb-utóbb pozitronra (e+), elektron-neutrínóra (νe) és müon-antineutrínóra (ν¯μ) bomlik:
μ+e++νe+ν¯μ.
A pozitron kibocsátási irányának valószínűségeloszlása nem gömbszimmetrikus: legnagyobb eséllyel a müon pillanatnyi spinjével megegyező irányban repül ki a pozitron, míg a legkisebb valószínűsége a spin irányával ellentétes irányban történő kibocsátásnak van. Annak valószínűsége, hogy a pozitron kibocsátási iránya a müon spinjével ϑ szöget bezáró irányban elhelyezkedő kicsiny δΩ térszögbe essen
P(ϑ,δΩ)=w(1+13cosϑ)δΩ,
ahol w egy dimenziótlan paraméter. Határozzuk meg w értékét! (20 p)
3.5. A 2. ábrán egy valódi μSR-kísérlet vázlatos rajza látható. Amikor a rögzített irányból beérkező müon áthalad a kapun, a stopperóra elindul, a müon pedig beépül a kristályrács egy intersticiális helyére. Egy idő után a beépült müon elbomlik, a keletkező pozitron pedig kicsiny (de nem zérus) eséllyel eltalálja az ábrán látható detektort. Ekkor a stopperóra megáll és lenullázódik, a mért időtartam eltárolódik a számítógépen, és egy újabb müont lőnek be a kristályba. (Azokat az eseményeket, amelyekben a müon mégsem épül be a kristályrácsba, vagy a keletkező pozitron nem találja el a detektort, egy ‐az ábrán nem jelölt‐ speciális áramkör segítségével automatikusan kiszűrik.)

2. ábra
 



A beérkező müonok (az előállítási módjukból adódóan) tökéletesen polarizáltak, azaz spinjük minden esetben ellentétes irányú a belövés irányával. Ez azt jelenti, hogy a kristályrácsba történő beépülés (vagyis a stopper indulásának) pillanatában a müonok spinje mindig ugyanolyan irányú.

3. ábra
 

Több millió müon belövése után a számítógép összegyűjti a beérkezett időtartamokat, és hisztogramot készít belőlük (3. ábra). A hisztogram úgy készül, hogy a t=0 és a leghosszabb mért időtartam közötti időablakot kicsiny, egyenlő (mondjuk 1 ns) hosszúságú intervallumokra osztjuk, majd megszámoljuk, hogy hány darab müon bomlott el a betáplálást követően az adott (például a 100 ns és 101 ns közötti) időintervallumban. A hisztogram tehát a kísérleti berendezés által mért elbomlási időtartamok előfordulási gyakoriságát mutatja.
A 3. ábrán látható hisztogram segítségével határozzuk meg a nikkel kristály intersticiális helyein észlelhető B0 lokális mágneses indukció nagyságát tesla egységekben! (20 p)
3.6. A 3. ábra segítségével határozzuk meg a müonok Tμ felezési idejét! (20 p)
3.7. A mérési adatok alapján adjunk becslést a lokális mágneses tér iránya és a beérkező müonok spinjének iránya közötti φ szög nagyságára! Lehet-e ez kétféle érték? (20 p)
 
Fizikai állandók táblázata

  vákuumbeli fénysebesség:  c=2,998108 m/s;  a vákuum permeabilitása:μ0=4π10-7 Vs/Am;  gravitációs állandó:γ=6,6710-11 m3/(kg s2);  proton tömege:mp=938,3 MeV/c2;  neutron tömege:mn=939,6 MeV/c2;  pion tömege:mπ=139,6 MeV/c2;  Föld átlagos sugara:RFöld=6,371106 m;  Föld tömege:mFöld=5,9721024 kg;  Föld tehetetlenségi nyomatéka:ΘFöld=8,041037 kgm2;  Hold sugara:RHold=1,737106 m;  Hold tömege:mHold=7,3481022 kg;  átlagos Föld‐Hold távolság:L=3,844108 m;  a Hold keringési ideje:THold=27,32 nap;  a müon giromágneses faktora:γμ=8,48108 Hz/T.  


*Kunfalvi Rezső (1905‐1998) a Nemzetközi Fizikai Diákolimpiák egyik alapítója és sok éven keresztül a magyar csapat felkészítője, vezetője volt. 1959-től 1975-ig ő szerkesztette a KöMaL (korábban KML) fizika ,,rovatát''. Emlékét az olimpiai válogatóverseny is őrzi.

*Az elméleti forduló időtartama 5 óra volt. A feladatok hibátlan megoldásával összesen 450 pontot lehetett szerezni. Az összes feladathoz egyetlen, közös adattáblázat tartozik, (lásd a feladatsor végét), ami a feladatokban szereplő konstansokat, fizikai állandókat tartalmazza.

 
A feladatok megoldásához író- és rajzeszközökön, valamint kétsoros (nem grafikus) számológépen kívül semmilyen segédeszköz (könyv, füzet, internet, számítógép, mobiltelefon stb.) nem volt használható.
 
A verseny igyekezett követni a Nemzetközi Fizikai Diákolimpia elméleti versenyeinek stílusát, nehézségi fokát, és azok formai követelményeihez igazodott.
 
A feladatokat Vigh Máté (ELTE), a magyar csapat egyik felkészítője állította össze.
 
A feladatok rövid megoldását a szeptemberi számunkban közöljük.