A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Kunfalvi Rezső Olimpiai Válogatóverseny
1. forduló, elméleti rész Budapest, 2014. április 14. 1. feladat. Ez a feladat három független, kisebb részből áll. () 1.A. K hőmérsékletű környezetben egy levegővel telt, zárt tartály helyezkedik el. A tartályban lévő levegőt egy ideális Carnot-gépnek tekinthető hűtőgéppel szeretnénk minél alacsonyabb hőmérsékletűre hűteni. Maximális hűtési fokozaton (amikor a hűtőgép az általa felvehető legnagyobb elektromos teljesítményt veszi fel) a tartályban K hőmérsékletet sikerül elérni. Mekkora értékű lenne a tartályban elérhető legalacsonyabb hőmérséklet, ha a környezet hőmérséklete K lenne? (A hűtőgép ebben az esetben is maximális fokozaton működik, a hősugárzás elhanyagolható.)
1.B. ellenállású drótból és egy ideálisnak tekinthető diódából sugarú zárt karikát készítünk. A karikát vízszintes síkban tartjuk, a középpontján pedig egy függőleges tengelyű, hosszú üvegcsövet vezetünk át az ábra szerint. Mekkora töltés halad át a diódán, ha az üvegcsőbe dipólnyomatékú, kicsiny mágnesrudat ejtünk? (A vezető karika önindukciója elhanyagolható. Az ideális dióda az áramot az egyik irányban ellenállás nélkül átengedi, míg a másik irányban szakadásként működik.) 1.C. Kísérletekben általában úgy állítanak elő pionokat (), hogy nagy hidrogéntartalmú anyagra nagyenergiás protonnyalábot irányítanak, melynek következtében az állónak tekinthető hidrogénmagok és a beérkező gyors protonok között a következő reakció megy végbe: Legalább mekkora kinetikus energiával kell rendelkeznie a beeső protonoknak, hogy a fenti reakció végbemenjen? A választ adjuk meg paraméteresen is a proton tömegével, a neutron tömegével, a pion tömegével, valamint a vákuumbeli fénysebesség felhasználásával! A fizikai állandók ismeretében határozzuk meg a minimális kinetikus energiát MeV egységekben!
2. feladat. A Föld és a Hold mozgásának szinkronizálódása. (150 p) Közismert tény, hogy a Hold mindig ugyanazt az oldalát mutatja a Föld felé. Ez az érdekesség nem véletlen egybeesés, hanem a Föld által a Holdra ható árapályerők közvetlen következménye: az árapályerők ugyanis az idők folyamán folyamatosan fékezték a Hold tengelykörüli forgását egészen addig, amíg annak periódusideje egyenlővé vált a Föld körüli keringésének periódusidejével. Teljesen hasonló fékezési mechanizmus miatt a Föld tengelykörüli forgása is lassul, melynek magyarázata a következő. A Hold nagyobb gravitációs vonzóerőt fejt ki a Föld azon pontjaira, amelyek a Holdhoz közelebb helyezkednek el, mint azokra a pontokra, amelyek a Holdtól távolabb vannak. Ennek következtében a Föld (nagyon kicsiny mértékben) ,,megnyúlik'', forgási ellipszoiddá alakul (lásd az ábrát). Az ellipszoid nagytengelye azonban a Föld kőzeteinek belső súrlódása és a Föld tengelykörüli forgása következtében nem a Hold aktuális irányába mutat, hanem ahhoz képest folyamatosan ,,siet''. Az így keletkezett dudorokra a Hold gravitációs tere forgatónyomatékot gyakorol, ami lassítja a Föld forgását.
Figyelem! A következő feladatok során a Föld Nap körüli mozgásától tekintsünk el! Mindvégig használjuk azt a közelítést, hogy a földi Egyenlítő, a Hold egyenlítője és a Hold pályasíkja egy síkban van! A Föld tömegeloszlása nem egyenletes, tömegközéppontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát az adattáblázat tartalmazza. A Holdat tekinthetjük homogén tömegeloszlású gömbnek, a holdpályát pedig kör alakúnak.
2.1. A Föld‐Hold rendszer perdülete négy tag összegeként számolható. Ezek rendre a Földnek a tengelye körüli forgásából származó sajátperdülete, a Föld közös tömegközéppont körüli keringésből származó pályaperdülete, a Hold sajátperdülete, illetve a Hold pályaperdülete. Határozzuk meg a négy tag számszerű értékét! (20 p) 2.2. A Föld‐Hold rendszer pálya- és sajátperdületéből csak a két legdominánsabb tagot megtartva határozzuk meg, hogyan aránylik egymáshoz a Föld és a Hold mozgási energiájának csökkenési üteme! A választ adjuk meg paraméteresen (a Hold keringésének szögsebességével és a Föld tengelykörüli forgásának szögsebességével kifejezve), és számszerűen is! (50 p)
Útmutatás: A Föld-Hold távolság olyan lassan változik, hogy a mozgás során a Hold pályája mindvégig körnek tekinthető.
2.3. Az Apolló-program keretében többek között lézertükröt is juttattak a Holdra. Az ezzel végzett igen pontos mérések szerint a Hold évente 3,8 cm-t távolodik a Földtől. A mért adat alapján becsüljük meg, mennyit változik a Föld mozgási energiája és a Hold mozgási energiája évente! (30 p) 2.4. A számítások szerint az árapályerők fékezési hatása következtében hosszú idő elteltével a Föld is mindig ugyanazt az oldalát fogja a Hold felé mutatni, a két égitest forgása és egymás körüli keringése szinkronizálódik. Hányszorosára fog növekedni addigra a földi nap hossza? (30 p) 2.5. A teljes szinkronizáció befejeződésekor mekkora lesz a Föld és a Hold közötti távolság? (20 p) Megjegyzés. A Naprendszerben több példát is találhatunk olyan égitest-párokra, melyeknél a teljes szinkronizáció már bekövetkezett. Az egyik legismertebb a Plútó törpebolygó és egyetlen holdja, a Charon.
3. feladat. Müon spin rotáció () (150 p) A müonok töltött elemi részecskék, amelyek elsősorban a kozmikus sugárzás hatására keletkeznek a légkör felsőbb rétegeiben. A tömegük 206-szor nagyobb az elektron tömegénél, töltésük szempontjából pedig kétfélék lehetnek: létezik pozitív müon () és negatív müon (), melyek egymás antirészecskéi, töltésük nagysága pedig az elemi töltés. A kísérleti szilárdtestfizikában a pozitív müonoknak jóval nagyobb jelentőségük van, mint antirészecskéiknek. Ebben a feladatban a müon spin rotációnak (röviden ) nevezett kísérleti módszerrel ismerkedünk meg, amelynek segítségével a kristályos anyagok belsejében jelenlévő mágneses teret lehet megmérni a -részecskék segítségével. Ha egy kristályos szerkezetű, szilárd anyagba -részecskét juttatunk, akkor a müon (a kristályt alkotó, pozitív töltésű rácsionok hatására) a rácspontok közötti, ún. intersticiális (rácsközi) helyekre kényszerül (lásd az 1. ábrát). Ezen a helyen a müon mágneses momentuma kölcsönhatásba lép a rácsközi helyen jelenlévő, a környező rácsionok által keltett mágneses térrel, így a müon mikroszkopikus magnetométerként használható. A kristályban jelenlévő hosszú távú rend miatt a rácsközi helyek egyenértékűek, ezért a mágneses tér nagysága és iránya minden intersticiális helyen azonos.
 1. ábra. A nikkel kristály elemi cellája. A szürke körök jelzik a Ni-atomokat, az üres körök pedig az intersticiális (rácsközi) helyeket, ahova a müonok beülhetnek. 3.1. Tekintsünk egy klasszikus, homogén tömegeloszlású, egyenletesen töltött, tömör szigetelő golyót, melynek tömege , töltése pedig ! Ha a golyót a tömegközéppontja körül forgásba hozzuk, a golyó mágneses momentumra tesz szert, melynek nagysága arányos a golyó sajátperdületével: Adjuk meg a tényező értékét és segítségével! (20 p) 3.2. A forgó, töltött golyót homogén, indukciójú mágneses térbe helyezzük úgy, hogy kezdetben mágneses momentuma legyen, ahol a mágneses tér iránya és a mágneses momentum iránya által bezárt szög. Határozzuk meg a golyó mágneses momentumát a mágneses térbe helyezést követően idő múlva, azaz az mennyiséget! A választ , , és felhasználásával adjuk meg! (30 p)
Útmutatás: Homogén, indukciójú mágneses térbe helyezett mágneses momentumra forgatónyomaték hat.
3.3. A -részecske mágneses térbeli viselkedése úgy írható le, mintha egy klasszikus, töltött, forgó golyó lenne sajátperdülettel és mágneses momentummal. A müon mágneses momentuma is arányos a sajátperdületével (spinjével): , az arányossági tényező azonban , a müon ún. giromágneses faktora. (A müon esetében nem számolható olyan egyszerűen, mint a 3.1. alfeladatban.) Határozzuk meg a müon mágneses momentumának kezdeti () iránya és a mágneses momentum . időpillanatbeli iránya által bezárt szöget! A lokális mágneses tér az intersticiális helyen , a müon kezdeti mágneses momentuma pedig . A választ , , és segítségével adjuk meg! (20 p) 3.4. Az intersticiális helyen lévő müon a kristályba juttatása után előbb-utóbb pozitronra (), elektron-neutrínóra () és müon-antineutrínóra () bomlik: A pozitron kibocsátási irányának valószínűségeloszlása nem gömbszimmetrikus: legnagyobb eséllyel a müon pillanatnyi spinjével megegyező irányban repül ki a pozitron, míg a legkisebb valószínűsége a spin irányával ellentétes irányban történő kibocsátásnak van. Annak valószínűsége, hogy a pozitron kibocsátási iránya a müon spinjével szöget bezáró irányban elhelyezkedő kicsiny térszögbe essen ahol egy dimenziótlan paraméter. Határozzuk meg értékét! (20 p) 3.5. A 2. ábrán egy valódi SR-kísérlet vázlatos rajza látható. Amikor a rögzített irányból beérkező müon áthalad a kapun, a stopperóra elindul, a müon pedig beépül a kristályrács egy intersticiális helyére. Egy idő után a beépült müon elbomlik, a keletkező pozitron pedig kicsiny (de nem zérus) eséllyel eltalálja az ábrán látható detektort. Ekkor a stopperóra megáll és lenullázódik, a mért időtartam eltárolódik a számítógépen, és egy újabb müont lőnek be a kristályba. (Azokat az eseményeket, amelyekben a müon mégsem épül be a kristályrácsba, vagy a keletkező pozitron nem találja el a detektort, egy ‐az ábrán nem jelölt‐ speciális áramkör segítségével automatikusan kiszűrik.)
2. ábra A beérkező müonok (az előállítási módjukból adódóan) tökéletesen polarizáltak, azaz spinjük minden esetben ellentétes irányú a belövés irányával. Ez azt jelenti, hogy a kristályrácsba történő beépülés (vagyis a stopper indulásának) pillanatában a müonok spinje mindig ugyanolyan irányú.
3. ábra Több millió müon belövése után a számítógép összegyűjti a beérkezett időtartamokat, és hisztogramot készít belőlük (3. ábra). A hisztogram úgy készül, hogy a és a leghosszabb mért időtartam közötti időablakot kicsiny, egyenlő (mondjuk 1 ns) hosszúságú intervallumokra osztjuk, majd megszámoljuk, hogy hány darab müon bomlott el a betáplálást követően az adott (például a 100 ns és 101 ns közötti) időintervallumban. A hisztogram tehát a kísérleti berendezés által mért elbomlási időtartamok előfordulási gyakoriságát mutatja. A 3. ábrán látható hisztogram segítségével határozzuk meg a nikkel kristály intersticiális helyein észlelhető lokális mágneses indukció nagyságát tesla egységekben! (20 p) 3.6. A 3. ábra segítségével határozzuk meg a müonok felezési idejét! (20 p) 3.7. A mérési adatok alapján adjunk becslést a lokális mágneses tér iránya és a beérkező müonok spinjének iránya közötti szög nagyságára! Lehet-e ez kétféle érték? (20 p)
Fizikai állandók táblázata
Kunfalvi Rezső (1905‐1998) a Nemzetközi Fizikai Diákolimpiák egyik alapítója és sok éven keresztül a magyar csapat felkészítője, vezetője volt. 1959-től 1975-ig ő szerkesztette a KöMaL (korábban KML) fizika ,,rovatát''. Emlékét az olimpiai válogatóverseny is őrzi.Az elméleti forduló időtartama 5 óra volt. A feladatok hibátlan megoldásával összesen 450 pontot lehetett szerezni. Az összes feladathoz egyetlen, közös adattáblázat tartozik, (lásd a feladatsor végét), ami a feladatokban szereplő konstansokat, fizikai állandókat tartalmazza. A feladatok megoldásához író- és rajzeszközökön, valamint kétsoros (nem grafikus) számológépen kívül semmilyen segédeszköz (könyv, füzet, internet, számítógép, mobiltelefon stb.) nem volt használható. A verseny igyekezett követni a Nemzetközi Fizikai Diákolimpia elméleti versenyeinek stílusát, nehézségi fokát, és azok formai követelményeihez igazodott. A feladatokat Vigh Máté (ELTE), a magyar csapat egyik felkészítője állította össze. A feladatok rövid megoldását a szeptemberi számunkban közöljük. |