Kezdőlap


Cím:	Kunfalvi Rezső Olimpiai Válogatóverseny, 2014.
Szerző(k):	Vigh Máté
Füzet:	2014/május, 297 - 302. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is), Mozgási indukció, Merev test impulzusnyomatéka (perdülete), Egyéb elemi részecskék, Egyéb mágneses erőhatás

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kunfalvi Rezső Olimpiai Válogatóverseny ^{$^{*}$}

1. forduló, elméleti rész^{$^{*}$}
Budapest, 2014. április 14.

1. feladat. Ez a feladat három független, kisebb részből áll. (

50 p + 50 p + 50 p

)
1.A.

T_{1} = 100

K hőmérsékletű környezetben egy levegővel telt, zárt tartály helyezkedik el. A tartályban lévő levegőt egy ideális Carnot-gépnek tekinthető hűtőgéppel szeretnénk minél alacsonyabb hőmérsékletűre hűteni. Maximális hűtési fokozaton (amikor a hűtőgép az általa felvehető legnagyobb elektromos teljesítményt veszi fel) a tartályban

T_{2} = 50

K hőmérsékletet sikerül elérni. Mekkora

T_{2}'

értékű lenne a tartályban elérhető legalacsonyabb hőmérséklet, ha a környezet hőmérséklete

T_{1}' = 200

K lenne? (A hűtőgép ebben az esetben is maximális fokozaton működik, a hősugárzás elhanyagolható.)

1.B.

R

ellenállású drótból és egy ideálisnak tekinthető diódából

r

sugarú zárt karikát készítünk. A karikát vízszintes síkban tartjuk, a középpontján pedig egy függőleges tengelyű, hosszú üvegcsövet vezetünk át az ábra szerint. Mekkora töltés halad át a diódán, ha az üvegcsőbe

m

dipólnyomatékú, kicsiny mágnesrudat ejtünk? (A vezető karika önindukciója elhanyagolható. Az ideális dióda az áramot az egyik irányban ellenállás nélkül átengedi, míg a másik irányban szakadásként működik.)
1.C. Kísérletekben általában úgy állítanak elő pionokat (

π^{+}

), hogy nagy hidrogéntartalmú anyagra nagyenergiás protonnyalábot irányítanak, melynek következtében az állónak tekinthető hidrogénmagok és a beérkező gyors protonok között a következő reakció megy végbe:

\begin{matrix} p^{+} + p^{+} \to p^{+} + n^{0} + π^{+} . \end{matrix}

Legalább mekkora kinetikus energiával kell rendelkeznie a beeső protonoknak, hogy a fenti reakció végbemenjen? A választ adjuk meg paraméteresen is a proton

m_{p}

tömegével, a neutron

m_{n}

tömegével, a pion

m_{π}

tömegével, valamint a

c

vákuumbeli fénysebesség felhasználásával!
A fizikai állandók ismeretében határozzuk meg a minimális kinetikus energiát MeV egységekben!

2. feladat. A Föld és a Hold mozgásának szinkronizálódása. (150 p)
Közismert tény, hogy a Hold mindig ugyanazt az oldalát mutatja a Föld felé. Ez az érdekesség nem véletlen egybeesés, hanem a Föld által a Holdra ható árapályerők közvetlen következménye: az árapályerők ugyanis az idők folyamán folyamatosan fékezték a Hold tengelykörüli forgását egészen addig, amíg annak periódusideje egyenlővé vált a Föld körüli keringésének periódusidejével.

Teljesen hasonló fékezési mechanizmus miatt a Föld tengelykörüli forgása is lassul, melynek magyarázata a következő. A Hold nagyobb gravitációs vonzóerőt fejt ki a Föld azon pontjaira, amelyek a Holdhoz közelebb helyezkednek el, mint azokra a pontokra, amelyek a Holdtól távolabb vannak. Ennek következtében a Föld (nagyon kicsiny mértékben) ,,megnyúlik'', forgási ellipszoiddá alakul (lásd az ábrát). Az ellipszoid nagytengelye azonban a Föld kőzeteinek belső súrlódása és a Föld tengelykörüli forgása következtében nem a Hold aktuális irányába mutat, hanem ahhoz képest folyamatosan ,,siet''. Az így keletkezett dudorokra a Hold gravitációs tere forgatónyomatékot gyakorol, ami lassítja a Föld forgását.

Figyelem! A következő feladatok során a Föld Nap körüli mozgásától tekintsünk el! Mindvégig használjuk azt a közelítést, hogy a földi Egyenlítő, a Hold egyenlítője és a Hold pályasíkja egy síkban van! A Föld tömegeloszlása nem egyenletes, tömegközéppontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát az adattáblázat tartalmazza. A Holdat tekinthetjük homogén tömegeloszlású gömbnek, a holdpályát pedig kör alakúnak.

2.1. A Föld‐Hold rendszer perdülete négy tag összegeként számolható. Ezek rendre a Földnek a tengelye körüli forgásából származó

N_{saját}^{Föld}

sajátperdülete, a Föld közös tömegközéppont körüli keringésből származó

N_{pálya}^{Föld}

pályaperdülete, a Hold

N_{saját}^{Hold}

sajátperdülete, illetve a Hold

N_{pálya}^{Hold}

pályaperdülete. Határozzuk meg a négy tag számszerű értékét! (20 p)
2.2. A Föld‐Hold rendszer pálya- és sajátperdületéből csak a két legdominánsabb tagot megtartva határozzuk meg, hogyan aránylik egymáshoz a Föld és a Hold mozgási energiájának

Δ E_{kin} / Δ t

csökkenési üteme! A választ adjuk meg paraméteresen (a Hold keringésének

Ω

szögsebességével és a Föld tengelykörüli forgásának

ω

szögsebességével kifejezve), és számszerűen is! (50 p)

Útmutatás: A Föld-Hold távolság olyan lassan változik, hogy a mozgás során a Hold pályája mindvégig körnek tekinthető.

2.3. Az Apolló-program keretében többek között lézertükröt is juttattak a Holdra. Az ezzel végzett igen pontos mérések szerint a Hold évente 3,8 cm-t távolodik a Földtől. A mért adat alapján becsüljük meg, mennyit változik a Föld mozgási energiája és a Hold mozgási energiája évente! (30 p)
2.4. A számítások szerint az árapályerők fékezési hatása következtében hosszú idő elteltével a Föld is mindig ugyanazt az oldalát fogja a Hold felé mutatni, a két égitest forgása és egymás körüli keringése szinkronizálódik. Hányszorosára fog növekedni addigra a földi nap hossza? (30 p)
2.5. A teljes szinkronizáció befejeződésekor mekkora lesz a Föld és a Hold közötti távolság? (20 p)

Megjegyzés. A Naprendszerben több példát is találhatunk olyan égitest-párokra, melyeknél a teljes szinkronizáció már bekövetkezett. Az egyik legismertebb a Plútó törpebolygó és egyetlen holdja, a Charon.

3. feladat. Müon spin rotáció (

μ S R

) (150 p)
A müonok töltött elemi részecskék, amelyek elsősorban a kozmikus sugárzás hatására keletkeznek a légkör felsőbb rétegeiben. A tömegük 206-szor nagyobb az elektron tömegénél, töltésük szempontjából pedig kétfélék lehetnek: létezik pozitív müon (

μ^{+}

) és negatív müon (

μ^{-}

), melyek egymás antirészecskéi, töltésük nagysága pedig az elemi töltés. A kísérleti szilárdtestfizikában a pozitív müonoknak jóval nagyobb jelentőségük van, mint antirészecskéiknek.
Ebben a feladatban a müon spin rotációnak (röviden

μ S R

) nevezett kísérleti módszerrel ismerkedünk meg, amelynek segítségével a kristályos anyagok belsejében jelenlévő mágneses teret lehet megmérni a

μ^{+}

-részecskék segítségével. Ha egy kristályos szerkezetű, szilárd anyagba

μ^{+}

-részecskét juttatunk, akkor a müon (a kristályt alkotó, pozitív töltésű rácsionok hatására) a rácspontok közötti, ún. intersticiális (rácsközi) helyekre kényszerül (lásd az 1. ábrát). Ezen a helyen a müon mágneses momentuma kölcsönhatásba lép a rácsközi helyen jelenlévő, a környező rácsionok által keltett mágneses térrel, így a müon mikroszkopikus magnetométerként használható. A kristályban jelenlévő hosszú távú rend miatt a rácsközi helyek egyenértékűek, ezért a mágneses tér nagysága és iránya minden intersticiális helyen azonos.

1. ábra. A nikkel kristály elemi cellája. A szürke körök jelzik a Ni-atomokat, az üres körök pedig az intersticiális (rácsközi) helyeket, ahova a müonok beülhetnek.

3.1. Tekintsünk egy klasszikus, homogén tömegeloszlású, egyenletesen töltött, tömör szigetelő golyót, melynek tömege

M

, töltése pedig

Q

! Ha a golyót a tömegközéppontja körül forgásba hozzuk, a golyó

m

mágneses momentumra tesz szert, melynek nagysága arányos a golyó

S

sajátperdületével:

\begin{matrix} m = γ S . \end{matrix}

Adjuk meg a

γ

tényező értékét

Q

és

M

segítségével! (20 p)
3.2. A forgó, töltött golyót homogén,

B = (0,0, B_{0})

indukciójú mágneses térbe helyezzük úgy, hogy kezdetben mágneses momentuma

\begin{matrix} m (0) = m_{0} (sin φ,0, cos φ) \end{matrix}

legyen, ahol

φ

a mágneses tér iránya és a mágneses momentum iránya által bezárt szög. Határozzuk meg a golyó mágneses momentumát a mágneses térbe helyezést követően

t

idő múlva, azaz az

\begin{matrix} m (t) = (m_{x} (t), m_{y} (t), m_{z} (t)) \end{matrix}

mennyiséget! A választ

γ

B_{0}

m_{0}

és

φ

felhasználásával adjuk meg! (30 p)

Útmutatás: Homogén,

B

indukciójú mágneses térbe helyezett

m

mágneses momentumra

m \times B

forgatónyomaték hat.

3.3. A

μ^{+}

-részecske mágneses térbeli viselkedése úgy írható le, mintha egy klasszikus, töltött, forgó golyó lenne

S

sajátperdülettel és

m

mágneses momentummal. A müon mágneses momentuma is arányos a sajátperdületével (spinjével):

m = γ_{μ} S

, az arányossági tényező azonban

γ_{μ} = 8, 48 \cdot 10^{8} Hz/T

, a müon ún. giromágneses faktora. (A müon esetében

γ_{μ}

nem számolható olyan egyszerűen, mint a 3.1. alfeladatban.)
Határozzuk meg a müon mágneses momentumának kezdeti (

t = 0

) iránya és a mágneses momentum

t

. időpillanatbeli iránya által bezárt

α (t)

szöget! A lokális mágneses tér az intersticiális helyen

B = (0,0, B_{0})

, a müon kezdeti mágneses momentuma pedig

m (t = 0) = m_{0} (sin φ,0, cos φ)

. A választ

γ_{μ}

B_{0}

m_{0}

és

φ

segítségével adjuk meg! (20 p)
3.4. Az intersticiális helyen lévő müon a kristályba juttatása után előbb-utóbb pozitronra (

e^{+}

), elektron-neutrínóra (

ν_{e}

) és müon-antineutrínóra (

{\bar{ν}}_{μ}

) bomlik:

\begin{matrix} μ^{+} \to e^{+} + ν_{e} + {\bar{ν}}_{μ} . \end{matrix}

A pozitron kibocsátási irányának valószínűségeloszlása nem gömbszimmetrikus: legnagyobb eséllyel a müon pillanatnyi spinjével megegyező irányban repül ki a pozitron, míg a legkisebb valószínűsége a spin irányával ellentétes irányban történő kibocsátásnak van. Annak valószínűsége, hogy a pozitron kibocsátási iránya a müon spinjével

ϑ

szöget bezáró irányban elhelyezkedő kicsiny

δ Ω

térszögbe essen

\begin{matrix} P (ϑ, δ Ω) = w (1 + \frac{1}{3} cos ϑ) δ Ω, \end{matrix}

ahol

w

egy dimenziótlan paraméter. Határozzuk meg

w

értékét! (20 p)
3.5. A 2. ábrán egy valódi

μ

SR-kísérlet vázlatos rajza látható. Amikor a rögzített irányból beérkező müon áthalad a kapun, a stopperóra elindul, a müon pedig beépül a kristályrács egy intersticiális helyére. Egy idő után a beépült müon elbomlik, a keletkező pozitron pedig kicsiny (de nem zérus) eséllyel eltalálja az ábrán látható detektort. Ekkor a stopperóra megáll és lenullázódik, a mért időtartam eltárolódik a számítógépen, és egy újabb müont lőnek be a kristályba. (Azokat az eseményeket, amelyekben a müon mégsem épül be a kristályrácsba, vagy a keletkező pozitron nem találja el a detektort, egy ‐az ábrán nem jelölt‐ speciális áramkör segítségével automatikusan kiszűrik.)

2. ábra

A beérkező müonok (az előállítási módjukból adódóan) tökéletesen polarizáltak, azaz spinjük minden esetben ellentétes irányú a belövés irányával. Ez azt jelenti, hogy a kristályrácsba történő beépülés (vagyis a stopper indulásának) pillanatában a müonok spinje mindig ugyanolyan irányú.

3. ábra

Több millió müon belövése után a számítógép összegyűjti a beérkezett időtartamokat, és hisztogramot készít belőlük (3. ábra). A hisztogram úgy készül, hogy a

t = 0

és a leghosszabb mért időtartam közötti időablakot kicsiny, egyenlő (mondjuk 1 ns) hosszúságú intervallumokra osztjuk, majd megszámoljuk, hogy hány darab müon bomlott el a betáplálást követően az adott (például a 100 ns és 101 ns közötti) időintervallumban. A hisztogram tehát a kísérleti berendezés által mért elbomlási időtartamok előfordulási gyakoriságát mutatja.
A 3. ábrán látható hisztogram segítségével határozzuk meg a nikkel kristály intersticiális helyein észlelhető

B_{0}

lokális mágneses indukció nagyságát tesla egységekben! (20 p)
3.6. A 3. ábra segítségével határozzuk meg a müonok

T_{μ}

felezési idejét! (20 p)
3.7. A mérési adatok alapján adjunk becslést a lokális mágneses tér iránya és a beérkező müonok spinjének iránya közötti

φ

szög nagyságára! Lehet-e ez kétféle érték? (20 p)

Fizikai állandók táblázata

\begin{matrix} vákuumbeli fénysebesség: & c = 2, 998 \cdot 10^{8}m/s; \\ a vákuum permeabilitása: & μ_{0} = 4 π \cdot 10^{- 7}Vs/Am; \\ gravitációs állandó: & γ = 6, 67 \cdot 10^{- 11}m^{3}/(kg s^{2}); \\ proton tömege: & m_{p} = 938, 3MeV/c^{2}; \\ neutron tömege: & m_{n} = 939, 6MeV/c^{2}; \\ pion tömege: & m_{π} = 139, 6MeV/c^{2}; \\ Föld átlagos sugara: & R_{Föld} = 6, 371 \cdot 10^{6}m; \\ Föld tömege: & m_{Föld} = 5, 972 \cdot 10^{24}kg; \\ Föld tehetetlenségi nyomatéka: & Θ_{Föld} = 8, 04 \cdot 10^{37}kgm^{2}; \\ Hold sugara: & R_{Hold} = 1, 737 \cdot 10^{6}m; \\ Hold tömege: & m_{Hold} = 7, 348 \cdot 10^{22}kg; \\ átlagos Föld‐Hold távolság: & L = 3, 844 \cdot 10^{8}m; \\ a Hold keringési ideje: & T_{Hold} = 27, 32nap; \\ a müon giromágneses faktora: & γ_{μ} = 8, 48 \cdot 10^{8}Hz/T. \end{matrix}

^{$^{*}$}Kunfalvi Rezső (1905‐1998) a Nemzetközi Fizikai Diákolimpiák egyik alapítója és sok éven keresztül a magyar csapat felkészítője, vezetője volt. 1959-től 1975-ig ő szerkesztette a KöMaL (korábban KML) fizika ,,rovatát''. Emlékét az olimpiai válogatóverseny is őrzi.

^{$^{*}$}Az elméleti forduló időtartama 5 óra volt. A feladatok hibátlan megoldásával összesen 450 pontot lehetett szerezni. Az összes feladathoz egyetlen, közös adattáblázat tartozik, (lásd a feladatsor végét), ami a feladatokban szereplő konstansokat, fizikai állandókat tartalmazza.

A feladatok megoldásához író- és rajzeszközökön, valamint kétsoros (nem grafikus) számológépen kívül semmilyen segédeszköz (könyv, füzet, internet, számítógép, mobiltelefon stb.) nem volt használható.

A verseny igyekezett követni a Nemzetközi Fizikai Diákolimpia elméleti versenyeinek stílusát, nehézségi fokát, és azok formai követelményeihez igazodott.

A feladatokat Vigh Máté (ELTE), a magyar csapat egyik felkészítője állította össze.

A feladatok rövid megoldását a szeptemberi számunkban közöljük.