Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2010/január, 4 - 5. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. a) Igazoljuk, hogy 84, 184 és 504 lehet egy derékszögű háromszög három oldalhosszának mérőszáma.
b) Igazoljuk, hogy
6-24és23-326-33
egyenlő.  (10 pont)
 

2. a) Oldjuk meg az egész számok halmazán: (5x+60)2=(-x-192)2.
b) Oldjuk meg a valós számok halmazán: 5x+60=-x-192.
c) Oldjuk meg a
sin(5α+60)=sin(-α-192)
egyenletet, ha α[-180;180].  (13 pont)
 

3. Egy 32 fős osztályban a lányok testmagasságátlaga 165 cm, a fiúké 172 cm.
a) Adjuk meg azt a legszűkebb intervallumot, ahová az osztály testmagasságának átlaga eshet.
b) Évközben érkezett az osztályba egy 170 cm magas lány. A lányok testmagasságátlaga továbbra is egész szám maradt. Hány lány lehetett eredetileg az osztályban?  (14 pont)
 

4. Egy téglalap alapú egyenes hasáb alapéleinek hossza 3 és 5, testátlója pedig 4972.
a) Mekkora szöget zár be a testátló a rövidebb alapéllel?
b) Mekkora a test felszíne?
c) A feladatban szereplő hasábbal egyenlő magasságú, egyenlő térfogatú négyzetes oszlopot szeretnénk tervezni. Hány százalékkal kell változtatni az alapélek hosszát?  (14 pont)
 

II. rész
 

5. Az f(x)=x3 a nemnegatív valós és a g(x)=mx-2m+8 a valós számok halmazán értelmezett függvények (m valós paraméter). A  függvények grafikonjai és az x tengely által meghatározott síkidom területe 2010. Határozzuk meg az m paraméter értékét.  (16 pont)
 

6. Egy 5 cm-szer 12 cm-es téglalap alakú papírlap egyik csúcsából a rövidebb oldalon felmérünk 3 cm-t, a hosszú oldalon pedig 4 cm-t. Az így kapott két pontra illeszkedő egyenes mentén a papírlap ezen csúcsát szeretnénk ráhajtani a csúccsal szemközti átlóra. Sikerülhet ez? Hová kerül a csúcs?  (16 pont)
 

7. Adott az AB1C1, AB2C2, ..., ABnCn, ... egyenlőszárú háromszögek sorozata (n pozitív egész szám). Minden n esetén a háromszög ABn alapja az x tengely pozitív felére esik olyan módon, hogy az A csúcs az origóban van, az alap hossza pedig 2n. Tudjuk továbbá, hogy a harmadik csúcs illeszkedik az f(x)=x2+5 függvény grafikonjára.
a) Számítsuk ki az AB1C1 háromszög kerületét és területét.
b) Melyik háromszögtől kezdve lesz a háromszögek kerülete nagyobb, mint 190?
c) Igazoljuk, hogy mindegyik háromszög területének mérőszáma osztható hattal.  (16 pont)
 

8. Egy iskola ablakainak formáját láthatjuk a mellékelt ábrán.
 
 

Az egyik osztályban elhatározták, hogy az ablakok téglalap alakú üveglapjainak közepére legfeljebb egy üvegmatricát ragasztanak.
a) Hányféleképpen lehet elhelyezni a matricákat egy ablakra, ha a hat üvegtáblára négyet terveznek, és a matricák egyformák?
b) Hányféleképpen lehet elhelyezni a matricákat egy ablakra, ha a hat üvegtáblára hármat terveznek, és a matricák különbözők?
c) Hányféleképpen lehet elhelyezni a matricákat, ha a díszítéshez tengelyesen szimmetrikusan választják ki az üveglapokat, amelyekre egyforma matricákat ragasztanak?
d) Az ablak mind a hat része külön-külön nyitható. Kiválasztanak kettőt véletlenszerűen (egyforma valószínűséggel), amelyeket szellőztetés miatt kinyitnak. Mekkora az esélye, hogy egy hárommatricás ablak esetén, két nem díszített részt fognak kinyitni?  (16 pont)
 

9. A Fő tér szabályos háromszög alakú vízszintes részét díszburkolattal fedték le. A háromszög közepén áll egy magas zászlórúd. A háromszög csúcsaiban egy-egy kb. 180 cm magas ember tartózkodik. Ketten elindulnak a zászlórúd felé. Az egyik akkor áll meg, amikor a rúd tetejét 72-os szögben látja. A másik sétáló akkor áll meg, amikor a rúd tetejét 65-os szögben látja. A helyben maradó társuk 50-os szögben látja a zászlórúd tetejét. Ekkor a három ember által meghatározott háromszög területe 23,74 m2.
a) Milyen magas a zászlórúd?
b) Mekkora a díszburkolattal lefedett rész területe?  (16 pont)