Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2010/január, 4 - 5. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. $a)$ Igazoljuk, hogy $\sqrt[4]{8}$, $\sqrt[4]{18}$ és $\sqrt[4]{50}$ lehet egy derékszögű háromszög három oldalhosszának mérőszáma. $b)$ Igazoljuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\sqrt[]{6}-\sqrt[]{2}}{4}\text{és}\frac{2\sqrt[]{3}-3}{2\sqrt[]{6-3\sqrt[]{3}}}}\end{array}$ egyenlő.  (10 pont)   2. $a)$ Oldjuk meg az egész számok halmazán: ${\left(5x+60\right)}^2={\left(-x-192\right)}^2$. $b)$ Oldjuk meg a valós számok halmazán: $\sqrt[]{5x+60}=\sqrt[]{-x-192}$. $c)$ Oldjuk meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\left(5\alpha +{60}^{\circ }\right)=\text{sin}\left(-\alpha -{192}^{\circ }\right)}\end{array}$ egyenletet, ha $\alpha \in \left[-{180}^{\circ };{180}^{\circ }\right]$.  (13 pont)   3. Egy 32 fős osztályban a lányok testmagasságátlaga 165 cm, a fiúké 172 cm. $a)$ Adjuk meg azt a legszűkebb intervallumot, ahová az osztály testmagasságának átlaga eshet. $b)$ Évközben érkezett az osztályba egy 170 cm magas lány. A lányok testmagasságátlaga továbbra is egész szám maradt. Hány lány lehetett eredetileg az osztályban?  (14 pont)   4. Egy téglalap alapú egyenes hasáb alapéleinek hossza 3 és 5, testátlója pedig $\frac{\sqrt[]{497}}{2}$. $a)$ Mekkora szöget zár be a testátló a rövidebb alapéllel? $b)$ Mekkora a test felszíne? $c)$ A feladatban szereplő hasábbal egyenlő magasságú, egyenlő térfogatú négyzetes oszlopot szeretnénk tervezni. Hány százalékkal kell változtatni az alapélek hosszát?  (14 pont)   II. rész   5. Az $f\left(x\right)=x^3$ a nemnegatív valós és a $g\left(x\right)=mx-2m+8$ a valós számok halmazán értelmezett függvények ($m$ valós paraméter). A  függvények grafikonjai és az $x$ tengely által meghatározott síkidom területe 2010. Határozzuk meg az $m$ paraméter értékét.  (16 pont)   6. Egy 5 cm-szer 12 cm-es téglalap alakú papírlap egyik csúcsából a rövidebb oldalon felmérünk 3 cm-t, a hosszú oldalon pedig 4 cm-t. Az így kapott két pontra illeszkedő egyenes mentén a papírlap ezen csúcsát szeretnénk ráhajtani a csúccsal szemközti átlóra. Sikerülhet ez? Hová kerül a csúcs?  (16 pont)   7. Adott az $A{B}_1{C}_1$, $A{B}_2{C}_2$, $\text{...}$, $A{B}_n{C}_n$, $\text{...}$ egyenlőszárú háromszögek sorozata ($n$ pozitív egész szám). Minden $n$ esetén a háromszög $A{B}_n$ alapja az $x$ tengely pozitív felére esik olyan módon, hogy az $A$ csúcs az origóban van, az alap hossza pedig $2n$. Tudjuk továbbá, hogy a harmadik csúcs illeszkedik az $f\left(x\right)=x^2+5$ függvény grafikonjára. $a)$ Számítsuk ki az $A{B}_1{C}_1$ háromszög kerületét és területét. $b)$ Melyik háromszögtől kezdve lesz a háromszögek kerülete nagyobb, mint 190? $c)$ Igazoljuk, hogy mindegyik háromszög területének mérőszáma osztható hattal.  (16 pont)   8. Egy iskola ablakainak formáját láthatjuk a mellékelt ábrán.     Az egyik osztályban elhatározták, hogy az ablakok téglalap alakú üveglapjainak közepére legfeljebb egy üvegmatricát ragasztanak. $a)$ Hányféleképpen lehet elhelyezni a matricákat egy ablakra, ha a hat üvegtáblára négyet terveznek, és a matricák egyformák? $b)$ Hányféleképpen lehet elhelyezni a matricákat egy ablakra, ha a hat üvegtáblára hármat terveznek, és a matricák különbözők? $c)$ Hányféleképpen lehet elhelyezni a matricákat, ha a díszítéshez tengelyesen szimmetrikusan választják ki az üveglapokat, amelyekre egyforma matricákat ragasztanak? $d)$ Az ablak mind a hat része külön-külön nyitható. Kiválasztanak kettőt véletlenszerűen (egyforma valószínűséggel), amelyeket szellőztetés miatt kinyitnak. Mekkora az esélye, hogy egy hárommatricás ablak esetén, két nem díszített részt fognak kinyitni?  (16 pont)   9. A Fő tér szabályos háromszög alakú vízszintes részét díszburkolattal fedték le. A háromszög közepén áll egy magas zászlórúd. A háromszög csúcsaiban egy-egy kb. 180 cm magas ember tartózkodik. Ketten elindulnak a zászlórúd felé. Az egyik akkor áll meg, amikor a rúd tetejét ${72}^{\circ }$-os szögben látja. A másik sétáló akkor áll meg, amikor a rúd tetejét ${65}^{\circ }$-os szögben látja. A helyben maradó társuk ${50}^{\circ }$-os szögben látja a zászlórúd tetejét. Ekkor a három ember által meghatározott háromszög területe 23,74 m${}^2$. $a)$ Milyen magas a zászlórúd? $b)$ Mekkora a díszburkolattal lefedett rész területe?  (16 pont)