A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Igazoljuk, hogy , és lehet egy derékszögű háromszög három oldalhosszának mérőszáma. Igazoljuk, hogy egyenlő. (10 pont) 2. Oldjuk meg az egész számok halmazán: . Oldjuk meg a valós számok halmazán: . Oldjuk meg a egyenletet, ha . (13 pont) 3. Egy 32 fős osztályban a lányok testmagasságátlaga 165 cm, a fiúké 172 cm. Adjuk meg azt a legszűkebb intervallumot, ahová az osztály testmagasságának átlaga eshet. Évközben érkezett az osztályba egy 170 cm magas lány. A lányok testmagasságátlaga továbbra is egész szám maradt. Hány lány lehetett eredetileg az osztályban? (14 pont) 4. Egy téglalap alapú egyenes hasáb alapéleinek hossza 3 és 5, testátlója pedig . Mekkora szöget zár be a testátló a rövidebb alapéllel? Mekkora a test felszíne? A feladatban szereplő hasábbal egyenlő magasságú, egyenlő térfogatú négyzetes oszlopot szeretnénk tervezni. Hány százalékkal kell változtatni az alapélek hosszát? (14 pont)
II. rész 5. Az a nemnegatív valós és a a valós számok halmazán értelmezett függvények ( valós paraméter). A függvények grafikonjai és az tengely által meghatározott síkidom területe 2010. Határozzuk meg az paraméter értékét. (16 pont) 6. Egy 5 cm-szer 12 cm-es téglalap alakú papírlap egyik csúcsából a rövidebb oldalon felmérünk 3 cm-t, a hosszú oldalon pedig 4 cm-t. Az így kapott két pontra illeszkedő egyenes mentén a papírlap ezen csúcsát szeretnénk ráhajtani a csúccsal szemközti átlóra. Sikerülhet ez? Hová kerül a csúcs? (16 pont) 7. Adott az , , , , egyenlőszárú háromszögek sorozata ( pozitív egész szám). Minden esetén a háromszög alapja az tengely pozitív felére esik olyan módon, hogy az csúcs az origóban van, az alap hossza pedig . Tudjuk továbbá, hogy a harmadik csúcs illeszkedik az függvény grafikonjára. Számítsuk ki az háromszög kerületét és területét. Melyik háromszögtől kezdve lesz a háromszögek kerülete nagyobb, mint 190? Igazoljuk, hogy mindegyik háromszög területének mérőszáma osztható hattal. (16 pont) 8. Egy iskola ablakainak formáját láthatjuk a mellékelt ábrán.
Az egyik osztályban elhatározták, hogy az ablakok téglalap alakú üveglapjainak közepére legfeljebb egy üvegmatricát ragasztanak. Hányféleképpen lehet elhelyezni a matricákat egy ablakra, ha a hat üvegtáblára négyet terveznek, és a matricák egyformák? Hányféleképpen lehet elhelyezni a matricákat egy ablakra, ha a hat üvegtáblára hármat terveznek, és a matricák különbözők? Hányféleképpen lehet elhelyezni a matricákat, ha a díszítéshez tengelyesen szimmetrikusan választják ki az üveglapokat, amelyekre egyforma matricákat ragasztanak? Az ablak mind a hat része külön-külön nyitható. Kiválasztanak kettőt véletlenszerűen (egyforma valószínűséggel), amelyeket szellőztetés miatt kinyitnak. Mekkora az esélye, hogy egy hárommatricás ablak esetén, két nem díszített részt fognak kinyitni? (16 pont) 9. A Fő tér szabályos háromszög alakú vízszintes részét díszburkolattal fedték le. A háromszög közepén áll egy magas zászlórúd. A háromszög csúcsaiban egy-egy kb. 180 cm magas ember tartózkodik. Ketten elindulnak a zászlórúd felé. Az egyik akkor áll meg, amikor a rúd tetejét -os szögben látja. A másik sétáló akkor áll meg, amikor a rúd tetejét -os szögben látja. A helyben maradó társuk -os szögben látja a zászlórúd tetejét. Ekkor a három ember által meghatározott háromszög területe 23,74 m. Milyen magas a zászlórúd? Mekkora a díszburkolattal lefedett rész területe? (16 pont) |
|