Cím: A 40. Nemzetközi Fizikai Diákolimpia feladatainak megoldása
Szerző(k):  Tasnádi Tamás ,  Vankó Péter 
Füzet: 2009/november, 491 - 500. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elméleti feladatok
 
1. feladat. A Föld‐Hold rendszer fejlődése
 

1. Impulzusmomentum-megmaradás
1a‐1c. A Föld‐Hold rendszer teljes impulzusmomentuma a Föld forgásából és a Hold keringéséből származó két tag összege. A feladat jelöléseit használva kezdetben az impulzusmomentum L1=IFωF1+IH1ωH1, a folyamat végén pedig, amikor a Föld forgásának és a Hold keringésének szögsebessége megegyezik, L2=IFω2+IH2ω2. Az impulzusmomentum-megmaradás tétel értelmében L1=L2, és L2-ben a Föld impulzusmomentumát elhanyagolva azt kapjuk, hogy
L1=IFωF1+IH1ωH1=IH2ω2.(1)
(Emlékeztetőül, az impulzusmomentumot L, a tehetetlenségi nyomatékot I, a szögsebességet ω jelöli. Az 1 index a kezdeti állapotra, 2 a végső állapotra, F a Földre, H pedig a Holdra utal.)
 
2. Végső pályasugár és szögsebesség a Föld‐Hold rendszerben
2a‐2c. Feltételezve, hogy a Hold a végső helyzetben is körpályán kering a Föld körül, mozgásegyenletére (rendezés után) az adódik, hogy ω22D23=GMF, ahol D2 a végső pályasugár, G a gravitációs állandó, MF pedig a Föld tömege. Felhasználva az L1-re kapott (1) összefüggést, valamint hogy IH2=MHD22, a végső pályasugarat és szögsebességet könnyen kifejezhetjük a kért mennyiségekkel:
D2=L12GMFMH2,ω2=G2MF2MH3L13.(2)

2d‐2e. Közismert, hogy az R sugarú, M tömegű homogén gömb tehetetlenségi nyomatéka 25MR2. Ennek felhasználásával, a feladatban leírt modell alapján a Föld tehetetlenségi nyomatéka
IF=254π3(r15ϱ1+(r05-r15)ϱ0)=8,01037kg m2.
(Az első tag az r1 sugarú, ϱ1 sűrűségű belső mag járuléka, míg a második tag az r0 külső sugarú, ϱ0 sűrűségű külső köpeny járuléka.)
2f‐2h. A feladatban megadott adatokat a már felírt (1)‐(2) formulákba behelyettesítve a keresett számértékek könnyen meghatározhatók:
L1=3,41034kg  m2s,D2=5,4108m,tehát  D2=1,4D1,ω2=1,610-61s,így a periódusidő  46  nap.

2i. A végső helyzetben a Föld impulzusmomentuma IFω2=1,31032kg  m2s, míg a Holdé IH2ω2=3,41034kg  m2s, ami közel 260-szorosa a Földének, tehát a számolás elején tett elhanyagolás valóban jogos volt.
 
3. Mennyivel távolodik a Hold évenként?
A Földön levő vízréteg szabad felszíne állandó gravitációs potenciálú felületen helyezkedik el. Ha csak a Föld gravitációs terét vennénk figyelembe, akkor az ekvipotenciális felületek koncentrikus gömbök lennének. A Hold gravitációs terének hatására e gömbök deformálódnak; a Föld Hold felé eső, és azzal átellenesen elhelyezkedő pontjukban ,,kitüremkedések'' jönnek létre. (Ezeknek a kitüremkedéseknek a forgó Földhöz képesti mozgását érzékeljük árapályként.) A Föld forgása miatt a kitüremkedések kicsiny ϑ>0 szöggel kifordulnak a Föld‐Hold egyenesből. A feladat szerinti modellben a kitüremkedéseket két m tömegű tömegponttal helyettesítjük, melyek a Föld felszínének átellenes pontjaiban helyezkednek el, ahogy az 1. ábrán látható.
 

 
1. ábra
 

Mivel ϑ>0, a két égitest forgatónyomatékot fejt ki egymásra, mely a Föld forgását lassítja, a Hold pályamenti impulzusmomentumát pedig növeli.
3a‐3f. Az egyszerű modell alapján könnyen kiszámolhatjuk két tömegpont Holdra ható forgatónyomatékát.
A koszinusztétel alapján a tömegpontok távolsága a Holdtól
d±=D12+r02±2D1r0cosϑ,
tehát a tömegpontok és a Hold közti gravitációs erő
F±=GmMHd±.
Az ODH háromszög területét kétféleképpen fölírva 12r0D1sinϑ=12k+d+, ahonnan az F+ erőhöz tartozó erőkar
k+=r0D1sinϑd+.
Hasonló formula kapható a másik erőkarra is, így a két tömegpont által kifejtett forgatónyomaték:
τ±=F±k±=GmMHr0D1sinϑ(D12+r02±2D1r0cosϑ)32.

Egyszerűsítsünk D13-el és alkalmazzuk az (1+ε)a1+εa közelítő formulát, mely ε1 esetén érvényes, figyelembe véve, hogy esetünkben r0D11.
τ±=GmMHr0sinϑD12(1+r02D12±2r0D1cosϑ)-32GmMHr0sinϑD12(1-32r02D123r0D1cosϑ).

A fenti közelítéssel élve a Holdra ható, keringését gyorsító eredő forgatónyomaték:
τ=τ--τ+6GmMHr02sinϑcosϑD13=4,11016Nm.  (3)

3g‐3h. A Föld körül körpályán keringő Hold mozgásegyenlete
GMFMHD2=MHDωH2,
ahonnan a Hold szögsebessége ωH=GMFD3. Ennek felhasználásával a Hold impulzusmomentuma a keringési sugárral kifejezve:
LH=IHωH=MHDGMF.(4)
Ez az összefüggés fönnáll az impulzusmomentum és a pályasugár jelenlegi LH1 és D1 értéke mellett is, és Δt idővel később is, amikor az impulzusmomentum értéke a τ forgatónyomaték hatására LH1+τΔt lesz, a Hold pályasugara pedig D1+ΔD-re nő. Mivel
D+ΔDD+ΔD2D,
azért a (4) összefüggésben a két oldal megváltozására azt kapjuk, hogy
ΔL1M=τΔt=MH2GMFD1ΔD.
Innen ΔD-t kifejezve, és Δt=1év=3,1107s értékkel számolva a Hold jelenlegi éves távolodására azt kapjuk, hogy
ΔD1=2τΔtMHD1GMF=0,034m=3,4cm.(5)

A (3) formulával megadott τ forgatónyomaték csökkenti a Föld impulzusmomentumát, ΔLF=-τΔt=IFΔωF, ahonnan Δt=1 év alatt a jelenlegi szögsebesség-változás:
ΔωF1=-τΔtIF=-1,610-141s.(6)
Mivel a periódusidő TF=2πω, a nap hossza egy év alatt
ΔTF=2π(1ω+Δω-1ω)-2πω2Δω=1,910-5s  
értékkel nő.
 
4. Hová lesz az energia?
4a‐4b. Korábban (a 3g. pontban) láttuk, hogy a körpályán keringő Hold szögsebessége
ωH1=GMFD13.
Ezt felhasználva a Föld‐Hold rendszer mechanikai energiája jelenleg:
E=IFωF122+IHωH122-GMFMHD1=IFωF122-GMFMH2D1.
Figyelembe véve, hogy
Δ(ω2)=(ω+Δω)2-ω22ωΔω,  és  Δ(1D)=1D+ΔD-1D-ΔDD2,
valamint felhasználva az (5)‐(6) eredményeket, az egy év alatt bekövetkező energiaváltozás:
ΔE=IFωF1ΔωF1+GMFMH2D12ΔD1=-9,01019J.  (7)

4c‐4d. A Föld teljes felszínét h=0,5 m vastagon beborító vízréteg tömege:
Mvíz=4πr02hϱvíz=2,61017kg.  
A víz viszkozitása miatt egy év alatt disszipálódott energia:
ΔEvíz=-gMvízh23650,1=-9,31019J,  
ami jól egyezik a (7) egyenletben kapott energiacsökkenéssel.
 
2. feladat. Lézeres Doppler-hűtés és optikai szirupok
 

Ennek a feladatnak a megoldásában kulcsszerepet játszik a relativisztikus, longitudinális Doppler-effektus. Ha az ω körfrekvenciájú fényt kibocsátó fényforrás a megfigyelőhöz képest v relatív sebességgel mozog, akkor a megfigyelő által észlelt ω' körfrekvencia
ω'=ω1±vc1vcω(1±vc),(8)
ahol c a fénysebesség, és a második, közelítő egyenlőség akkor igaz, ha vc1. A felső előjelezés akkor érvényes, ha a fényforrás és a megfigyelő közelednek egymáshoz, az alsó pedig akkor, ha távolodnak. (A közelítés az ε1 esetén érvényes (1+ε)a1+aε formula többszöri alkalmazásával kapható meg.)
Jelölje ωL a lézer laboratóriumban mért körfrekvenciáját, legyen ω0 az atom két állapota közti energiakülönbség. Ekkor a -x tengely irányába haladó foton energiája ωL, impulzusa -ωLc=-q, ahol q a hullámszám.
A feladatmegoldás során végig feltételezzük, hogy vc1, valamint
qmv=ωLmvc1,
és ezen kis mennyiségekben első rendig számolunk.
 
I. rész: A lézeres hűtés alapjai
1. Elnyelés (abszorpció)
A (8) egyenlet alapján a fényforráshoz v sebességgel közeledő atom által észlelt frekvencia ωL(1+vc), tehát a rezonanciafeltétel ω0=ωL(1+vc). A foton elnyelése után az atom impulzusa a foton impulzusával csökken, így pa=mv-ωLc. Az atom teljes energiája a mozgási energiájának és a gerjesztési energiának az összege, azaz
εa=pa22m+ω0mv22+ωL.

 
2. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a -x irányban
A v'=v-ωLvc sebességgel mozgó atom saját rendszerében ω0 frekvenciájú fotont bocsát ki, ami azt jelenti, hogy a labor rendszeréből a foton frekvenciája
ω0(1-v'c)=ω0(1-vc+ωLmvcvc)ω0(1-vc)ωL.(9)
Innen a foton energiája és impulzusa egyszerűen kiszámolható:
pf--ωLc,εf-ωL.(10a)
A foton kibocsátása után az atom impulzusa ezzel az értékkel nő, így
pa-mv,εa-=(pa-)22mmv22.(10b)
Végeredményben az abszorpciós-emissziós folyamat után a két részecske állapota olyan, mintha a foton nem is lépett volna kölcsönhatásba az atommal.
 
3. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a +x irányban
Ha az atom +x irányban bocsátja ki a fotont, akkor labor rendszerében nagyobbnak észleljük a foton frekvenciáját. Az előző (9) levezetéshez hasonlóan kell számolnunk, azonban v' előjele módosul:
ω0(1+v'c)ω0(1+vc)ωL(1+2vc).
Ezután már könnyen megkapjuk a foton, illetve az atom energiáját és impulzusát:
pf+ωLc(1+2vc),εf+ωL(1+2vc),(11a)pa+mv-2ωLc,εa+mv22(1-4ωLmvc).(11b)

 
4. Átlagos kibocsátás (emisszió) az elnyelés (abszorpció) után
Minthogy a spontán emisszió egyforma valószínűséggel mehet végbe +x és -x irányban, a keresett átlagértékek a (10) és (11) mennyiségek számtani közepeiként kaphatók meg:
p¯fωLvc20,ε¯fωL(1+vc),(12a)p¯amv-ωLc,ε¯amv22(1-2ωLmvc).(12b)

 
5. Energia- és impulzusátadás
A -x irányban haladó foton által az atomnak átlagosan átadott impulzus és energia a kölcsönhatás utáni (12) átlagértékek és a kezdeti értékek különbségeként kapható meg:
Δp-=p¯a-mv-ωLc,Δε-=ε¯a-mv22-ωLvc.(13)

 
6. Energia- és impulzusátadás egy +x irányú lézersugárral
Ha a foton nem szemből, hanem az atommal azonos irányból érkezik, teljesen hasonló módon ellentétes előjelű eredményeket kapunk az átlagos energia- és impulzusátadásra:
Δp+ω'Lc,Δε+ω'Lvc.(14)

 
II. rész: Disszipáció és az optikai szirup alapjai
A feladat közlése szerint a laboratóriumban nyugalomban levő atomok
Pg(ωL)=NgN=ΩR2(ω0-ωL)2+Γ24+2ΩR2.(15)

valószínűséggel találhatók gerjesztett állapotban az ωL frekvenciájú fotonokkal való kölcsönhatás eredményeként. A képletben ΩR az úgynevezett Rabi-frekvencia, melynek négyzete a lézer intenzitásával arányos, Γ pedig az adott átmenet élettartamának reciproka. Látható, hogy ez a valószínűség ωL=ω0 esetén maximális, nem haladja meg az 12 értéket, és |ωL-ω0|Γ,ΩR esetén gyorsan csökken.
 
7. A lézer által az atomnyalábra kifejtett erő
A (15) képlet nyugalomban levő atomokra vonatkozik, tehát csak úgy használhatjuk, ha áttérünk az atomokkal együtt v sebességgel mozgó vonatkoztatási rendszerbe. Ekkor azonban Doppler-eltolódás miatt a -x irányban haladó fotonok frekvenciáját ω-=ωL(1+vc)-nek, míg a +x irányban haladókét ω+=ωL(1-vc)-nek észleljük. Mindkét fotonnyaláb egymástól függetlenül gerjeszti az atomok Ng=NPg részét, így időegységenként ΓNg elnyelési‐kibocsátási folyamat megy végbe a balra, illetve jobbra haladó fotonokkal. Felhasználva a (13) és (14) eredményeket, a keresett erő:
F=ΓN(Pg(ω-)Δp-+Pg(ω+)Δp+)==ΩR2NΓωLc(ω0-ωL(1-vc))2+Γ24+2ΩR2-ΩR2NΓωLc(ω0-ωL(1+vc))2+Γ24+2ΩR2.

 
8. Kissebességű határeset
Az erőre kapott formula
F=AB+C-AB-CAB(1-CB-(1+CB))=-2ACB2
alakú, ahol CB. A számolást elvégezve azt kapjuk, hogy
F-4ΩR2NΓ(ωLc)2((ω0-ωL)2+Γ24+2ΩR2)2(ω0-ωL)v.(16)
Látható, hogy az erő pozitív (gyorsító), ha ωL>ω0, zérus, ha ωL=ω0, és negatív (lassító), ha ωL<ω0. Természetesen a jelenség független az x tengely irányításától, tehát ha a lézer frekvenciáját kicsit az átmenet ,,alá hangoljuk'', akkor mindig az atom mozgásával ellentétes irányú a fotonok által kifejtett erő.
 
9. Optikai szirup
Ha az atomokra sebességükkel arányos fékezőerő hat, akkor mozgásegyenletük mv˙=-βv, ahol a β>0 konstans a (16) egyenletből kiolvasható. Figyelembevéve a v(0)=v0 kezdeti feltételt, az atomok sebessége a
v(τ)=v0e-βmτ
függvény szerint csökken. Az ekvipartíció-tétel értelmében Tv2, tehát a hőmérséklet T(τ)=T0e-2βmτ időfüggést mutat.
 
3. feladat. Miért olyan nagyok a csillagok?
 

1. Csillagok központi hőmérsékletének klasszikus becslése
Akkor közelíti meg a két proton egymást dc távolságra, ha mozgási energiájuk összege megegyezik a dc távolsághoz tartozó elektromos potenciális energiával. A mozgási energiák az ekvipartíció-tételből határozhatók meg. Tehát
2mpvrms22=232kTc=q24πε0dc,ígyTc=q212πε0dck=5,5109K.  (17)

 
2. Annak igazolása, hogy az előző hőmérsékletbecslés hibás
A hidrosztatikai egyensúlyt leíró ΔPΔr=-GMrρrr2 egyenletben elvégezve a javasolt Δr=R, ΔP=-Pc, Mr=M és ρr=ρc helyettesítéseket, a központi nyomásra azt kapjuk, hogy Pc=GMρcR. Ugyanakkor az ideális gáztörvény szerint
Pc=NkTcV=2ρckTcmp,
ahol felhasználtuk, hogy N=2Mmp, hiszen a protonok adják lényegében a csillag teljes tömegét, de az elektronok is hozzájárulnak a nyomáshoz. A két egyenletből megkapható a keresett központi hőmérséklet:
Tc=GMmp2kR.
Innen az M/R arány a (17) értékkel számolva:
MR=2kTcGmp=1,41024kgm .  (18)
A Nap esetén ugyanez az arány MR=2,91021kgm, ami három nagyságrenddel kisebb, mint az előző elmélet jóslata!
 
3. Csillagok központi hőmérsékletének kvantummechanikai becslése
Megoldásunk hasonló az 1. ponthoz. A következő egyenleteket írhatjuk föl:
ekvipartíció-tétel:12mpvrms2=32kTc,(19a)mechanikai energiamegmaradás:mpvrms2=q24πε0dc,(19b)de Broglie-hullámhossz:dc=λp2=h2mpvrms.(19c)
Az egyenletrendszer egyszerű megoldható Tc-re:
Tc=q4mp24π2ε02kh2=9,7106K.  (20)
A (18) összefüggés felhasználásával ehhez a hőmérséklethez tartozó M/R arány 2,41021kgm, ami már közel azonos a Nap esetén megfigyelésekből számolt értékkel.
 
4. Csillagok tömeg/sugár aránya
Felhasználva az (18) és a (20) formulákat,
MR=q412π2ε02Gh2,(21)
ami valóban kizárólag univerzális fizikai állandóktól függ.
 
5. A legkisebb csillagok tömege és sugara
Az elektronok száma megegyezik a protonok számával, ami Mmp, tehát
ne=MmpV=3M4πR3mp.(22)
Ez azt jelenti, hogy a szomszédos elektronok közti tipikus távolság de=ne-13. (Számolhatunk úgy, mintha az elektronok egy szabályos, de rácsállandójú köbös rácsban helyezkednének el a csillag belsejében.)
A legkisebb sugarat kicsit hosszadalmas, de egyszerű számolással kaphatjuk meg. Induljunk ki a deλe21/2=h21/2meve egyenlőtlenségből, ahol ve az elektronok termikus sebességét jelöli. Az ekvipartíció-tétel alapján ve=3kTcme, a de tipikus távolságot kifejeztük a (22) egyenletben felírt elektronsűrűséggel, az M tömeget beírhatjuk a (21) egyenletből, és a Tc hőmérsékletet megadja a (20) formula. Ezeket a behelyettesítéseket mind elvégezve, rendezés után a következő egyenlőtlenséget kapjuk a csillag sugarára:
Rε01/2h221/2qme3/4mp5/4G1/2=6,9107m=0,10R.
Ezután a minimális tömeget a (21) egyenletből kaphatjuk meg:
M1,71029kg=0,09M.

 
6. Hélium-fúzió öregebb csillagokban
Jelölje vHe a hélium atommagok termikus sebességét. Két ütköző mag együttes mHevHe2 mozgási energiája megegyezik a dc=λHe2=h2mHevHe távolsághoz tartozó 4q24πε0dc potenciális energiával, ahonnan a hélium atommagok termikus sebessége
vHe=2q2πε0h=2,0106ms.
Ezután a hőmérséklet az ekvipartíció-tételből számolható ki:
THe=mHevHe23k=6,5108K.  
Ez az érték nagyságrendileg egyezik a pontosabb csillagmodellek eredményével.