Cím:	A 40. Nemzetközi Fizikai Diákolimpia feladatainak megoldása
Szerző(k):	Tasnádi Tamás ,  Vankó Péter
Füzet:	2009/november, 491 - 500. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Elméleti feladatok   1. feladat. A Föld‐Hold rendszer fejlődése   1. Impulzusmomentum-megmaradás 1a‐1c. A Föld‐Hold rendszer teljes impulzusmomentuma a Föld forgásából és a Hold keringéséből származó két tag összege. A feladat jelöléseit használva kezdetben az impulzusmomentum $L_1=I_{\text{F}}{\omega }_{\text{F}1}+I_{\text{H}1}{\omega }_{\text{H}1}$, a folyamat végén pedig, amikor a Föld forgásának és a Hold keringésének szögsebessége megegyezik, $L_2=I_{\text{F}}{\omega }_2+I_{\text{H}2}{\omega }_2$. Az impulzusmomentum-megmaradás tétel értelmében $L_1=L_2$, és $L_2$-ben a Föld impulzusmomentumát elhanyagolva azt kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle L_1=I_{\text{F}}{\omega }_{\text{F}1}+I_{\text{H}1}{\omega }_{\text{H}1}=I_{\text{H}2}{\omega }_2\mathrm{.}}\end{array}$ (1) (Emlékeztetőül, az impulzusmomentumot $L$, a tehetetlenségi nyomatékot $I$, a szögsebességet $\omega$ jelöli. Az 1 index a kezdeti állapotra, 2 a végső állapotra, F a Földre, H pedig a Holdra utal.)   2. Végső pályasugár és szögsebesség a Föld‐Hold rendszerben 2a‐2c. Feltételezve, hogy a Hold a végső helyzetben is körpályán kering a Föld körül, mozgásegyenletére (rendezés után) az adódik, hogy ${\omega }_2^2{D}_2^3=G{M}_{\text{F}}$, ahol $D_2$ a végső pályasugár, $G$ a gravitációs állandó, $M_{\text{F}}$ pedig a Föld tömege. Felhasználva az $L_1$-re kapott (1) összefüggést, valamint hogy $I_{\text{H}2}=M_{\text{H}}{D}_2^2$, a végső pályasugarat és szögsebességet könnyen kifejezhetjük a kért mennyiségekkel: $\begin{array}{c}{\displaystyle D_2=\frac{L_1^2}{G{M}_{\text{F}}{M}_{\text{H}}^2}\mathrm{,}{\omega }_2=\frac{G^2{M}_{\text{F}}^2{M}_{\text{H}}^3}{L_1^3}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) 2d‐2e. Közismert, hogy az $R$ sugarú, $M$ tömegű homogén gömb tehetetlenségi nyomatéka $\frac{2}{5}M{R}^2$. Ennek felhasználásával, a feladatban leírt modell alapján a Föld tehetetlenségi nyomatéka $\begin{array}{c}{\displaystyle I_{\text{F}}=\frac{2}{5}\frac{4\pi }{3}\left(r_1^5{\varrho }_1+\left(r_0^5-r_1^5\right){\varrho }_0\right)=8\mathrm{,}0\cdot {10}^{37}{\text{kg m}}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (Az első tag az $r_1$ sugarú, ${\varrho }_1$ sűrűségű belső mag járuléka, míg a második tag az $r_0$ külső sugarú, ${\varrho }_0$ sűrűségű külső köpeny járuléka.) 2f‐2h. A feladatban megadott adatokat a már felírt (1)‐(2) formulákba behelyettesítve a keresett számértékek könnyen meghatározhatók: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle L_1}& {\displaystyle =3\mathrm{,}4\cdot {10}^{34}\frac{{\text{kg m}}^2}{\text{s}}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle D_2}& {\displaystyle =5\mathrm{,}4\cdot {10}^8\text{m,}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{tehát }{D}_2=1\mathrm{,}4D_1\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle {\omega }_2}& {\displaystyle =1\mathrm{,}6\cdot {10}^{-6}\frac{1}{\text{s}}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{így a periódusidő <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>46</mn></math> nap.}}\end{array}}$ 2i. A végső helyzetben a Föld impulzusmomentuma $I_{\text{F}}{\omega }_2=1\mathrm{,}3\cdot {10}^{32}\frac{{\text{kg m}}^2}{\text{s}}$, míg a Holdé $I_{\text{H}2}{\omega }_2=3\mathrm{,}4\cdot {10}^{34}\frac{{\text{kg m}}^2}{\text{s}}$, ami közel 260-szorosa a Földének, tehát a számolás elején tett elhanyagolás valóban jogos volt.   3. Mennyivel távolodik a Hold évenként? A Földön levő vízréteg szabad felszíne állandó gravitációs potenciálú felületen helyezkedik el. Ha csak a Föld gravitációs terét vennénk figyelembe, akkor az ekvipotenciális felületek koncentrikus gömbök lennének. A Hold gravitációs terének hatására e gömbök deformálódnak; a Föld Hold felé eső, és azzal átellenesen elhelyezkedő pontjukban ,,kitüremkedések'' jönnek létre. (Ezeknek a kitüremkedéseknek a forgó Földhöz képesti mozgását érzékeljük árapályként.) A Föld forgása miatt a kitüremkedések kicsiny $\vartheta >0$ szöggel kifordulnak a Föld‐Hold egyenesből. A feladat szerinti modellben a kitüremkedéseket két $m$ tömegű tömegponttal helyettesítjük, melyek a Föld felszínének átellenes pontjaiban helyezkednek el, ahogy az 1. ábrán látható.     1. ábra   Mivel $\vartheta >0$, a két égitest forgatónyomatékot fejt ki egymásra, mely a Föld forgását lassítja, a Hold pályamenti impulzusmomentumát pedig növeli. 3a‐3f. Az egyszerű modell alapján könnyen kiszámolhatjuk két tömegpont Holdra ható forgatónyomatékát. A koszinusztétel alapján a tömegpontok távolsága a Holdtól $\begin{array}{c}{\displaystyle d_{\pm }=D_1^2+r_0^2\pm 2D_1{r}_0\text{cos}\vartheta \mathrm{,}}\end{array}$ tehát a tömegpontok és a Hold közti gravitációs erő $\begin{array}{c}{\displaystyle F_{\pm }=\frac{Gm{M}_{\text{H}}}{d_{\pm }}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $ODH$ háromszög területét kétféleképpen fölírva $\frac{1}{2}{r}_0{D}_1\text{sin}\vartheta =\frac{1}{2}{k}_{+}{d}_{+}$, ahonnan az $F_{+}$ erőhöz tartozó erőkar $\begin{array}{c}{\displaystyle k_{+}=\frac{r_0{D}_1\text{sin}\vartheta }{d_{+}}\mathrm{.}}\end{array}$ Hasonló formula kapható a másik erőkarra is, így a két tömegpont által kifejtett forgatónyomaték: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\tau }_{\pm }=F_{\pm }{k}_{\pm }=\frac{Gm{M}_{\text{H}}{r}_0{D}_1\text{sin}\vartheta }{{\left(D_1^2+r_0^2\pm 2D_1{r}_0\text{cos}\vartheta \right)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{.}}\end{array}$ Egyszerűsítsünk $D_1^3$-el és alkalmazzuk az ${\left(1+\epsilon \right)}^a\approx 1+\epsilon a$ közelítő formulát, mely $\epsilon \ll 1$ esetén érvényes, figyelembe véve, hogy esetünkben $\frac{r_0}{D_1}\ll 1$. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\tau }_{\pm }}& {\displaystyle =\frac{Gm{M}_{\text{H}}{r}_0\text{sin}\vartheta }{D_1^2}{\left(1+\frac{r_0^2}{D_1^2}\pm 2\frac{r_0}{D_1}\text{cos}\vartheta \right)}^{-\frac{3}{2}}\approx }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \approx \frac{Gm{M}_{\text{H}}{r}_0\text{sin}\vartheta }{D_1^2}\left(1-\frac{3}{2}\frac{r_0^2}{D_1^2}\mp 3\frac{r_0}{D_1}\text{cos}\vartheta \right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A fenti közelítéssel élve a Holdra ható, keringését gyorsító eredő forgatónyomaték: $\begin{array}{c}{\displaystyle \tau ={\tau }_{-}-{\tau }_{+}\approx \frac{6Gm{M}_{\text{H}}{r}_0^2\text{sin}\vartheta \text{cos}\vartheta }{D_1^3}=\mathrm{4,1}\cdot {10}^{16}\text{Nm. }}\end{array}$ (3) 3g‐3h. A Föld körül körpályán keringő Hold mozgásegyenlete $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{G{M}_{\text{F}}{M}_{\text{H}}}{D^2}=M_{\text{H}}D{\omega }_{\text{H}}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan a Hold szögsebessége ${\omega }_{\text{H}}=\sqrt[]{\frac{G{M}_{\text{F}}}{D^3}}$. Ennek felhasználásával a Hold impulzusmomentuma a keringési sugárral kifejezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle L_{\text{H}}=I_{\text{H}}{\omega }_{\text{H}}=M_{\text{H}}\sqrt[]{DG{M}_{\text{F}}}\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Ez az összefüggés fönnáll az impulzusmomentum és a pályasugár jelenlegi $L_{\text{H}1}$ és $D_1$ értéke mellett is, és $\Delta t$ idővel később is, amikor az impulzusmomentum értéke a $\tau$ forgatónyomaték hatására $L_{\text{H}1}+\tau \Delta t$ lesz, a Hold pályasugara pedig $D_1+\Delta D$-re nő. Mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{D+\Delta D}\approx \sqrt[]{D}+\frac{\Delta D}{2\sqrt[]{D}}\mathrm{,}}\end{array}$ azért a (4) összefüggésben a két oldal megváltozására azt kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta L_{1M}=\tau \Delta t=\frac{M_{\text{H}}}{2}\sqrt[]{\frac{G{M}_{\text{F}}}{D_1}}\Delta D\mathrm{.}}\end{array}$ Innen $\Delta D$-t kifejezve, és $\Delta t=1\text{év}=\mathrm{3,1}\cdot {10}^7\text{s}$ értékkel számolva a Hold jelenlegi éves távolodására azt kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta D_1=\frac{2\tau \Delta t}{M_{\text{H}}}\sqrt[]{\frac{D_1}{G{M}_{\text{F}}}}=0\mathrm{,}034\text{m}=3\mathrm{,}4\text{cm}\mathrm{.}}\end{array}$ (5) A (3) formulával megadott $\tau$ forgatónyomaték csökkenti a Föld impulzusmomentumát, $\Delta L_{\text{F}}=-\tau \Delta t=I_{\text{F}}\Delta {\omega }_{\text{F}}$, ahonnan $\Delta t=1$ év alatt a jelenlegi szögsebesség-változás: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta {\omega }_{\text{F}1}=-\frac{\tau \Delta t}{I_{\text{F}}}=-1\mathrm{,}6\cdot {10}^{-14}\frac{1}{\text{s}}\mathrm{.}}\end{array}$ (6) Mivel a periódusidő $T_{\text{F}}=\frac{2\pi }{\omega }$, a nap hossza egy év alatt $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta T_{\text{F}}=2\pi \left(\frac{1}{\omega +\Delta \omega }-\frac{1}{\omega }\right)\approx -\frac{2\pi }{{\omega }^2}\Delta \omega =1\mathrm{,}9\cdot {10}^{-5}\text{s }}\end{array}$ értékkel nő.   4. Hová lesz az energia? 4a‐4b. Korábban (a 3g. pontban) láttuk, hogy a körpályán keringő Hold szögsebessége $\begin{array}{c}{\displaystyle {\omega }_{\text{H}1}=\sqrt[]{\frac{G{M}_{\text{F}}}{D_1^3}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt felhasználva a Föld‐Hold rendszer mechanikai energiája jelenleg: $\begin{array}{c}{\displaystyle E=\frac{I_{\text{F}}{\omega }_{\text{F}1}^2}{2}+\frac{I_{\text{H}}{\omega }_{\text{H}1}^2}{2}-\frac{G{M}_{\text{F}}{M}_{\text{H}}}{D_1}=\frac{I_{\text{F}}{\omega }_{\text{F}1}^2}{2}-\frac{G{M}_{\text{F}}{M}_{\text{H}}}{2D_1}\mathrm{.}}\end{array}$ Figyelembe véve, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta \left({\omega }^2\right)={\left(\omega +\Delta \omega \right)}^2-{\omega }^2\approx 2\omega \Delta \omega \mathrm{,}\text{ és }\Delta \left(\frac{1}{D}\right)=\frac{1}{D+\Delta D}-\frac{1}{D}\approx -\frac{\Delta D}{D^2}\mathrm{,}}\end{array}$ valamint felhasználva az (5)‐(6) eredményeket, az egy év alatt bekövetkező energiaváltozás: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta E=I_{\text{F}}{\omega }_{\text{F}1}\Delta {\omega }_{\text{F}1}+\frac{G{M}_{\text{F}}{M}_{\text{H}}}{2D_1^2}\Delta D_1=-9\mathrm{,}0\cdot {10}^{19}\text{J. }}\end{array}$ (7) 4c‐4d. A Föld teljes felszínét $h=0\mathrm{,}5$ m vastagon beborító vízréteg tömege: $\begin{array}{c}{\displaystyle M_{\text{víz}}=4\pi r_0^{2}h{\varrho }_{\text{víz}}=2\mathrm{,}6\cdot {10}^{17}\text{kg. }}\end{array}$ A víz viszkozitása miatt egy év alatt disszipálódott energia: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta E_{\text{víz}}=-g{M}_{\text{víz}}h\cdot 2\cdot 365\cdot 0\mathrm{,}1=-9\mathrm{,}3\cdot {10}^{19}\text{J, }}\end{array}$ ami jól egyezik a (7) egyenletben kapott energiacsökkenéssel.   2. feladat. Lézeres Doppler-hűtés és optikai szirupok   Ennek a feladatnak a megoldásában kulcsszerepet játszik a relativisztikus, longitudinális Doppler-effektus. Ha az $\omega$ körfrekvenciájú fényt kibocsátó fényforrás a megfigyelőhöz képest $v$ relatív sebességgel mozog, akkor a megfigyelő által észlelt $\omega \text{'}$ körfrekvencia $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega \text{'}=\omega \sqrt[]{\frac{1\pm \frac{v}{c}}{1\mp \frac{v}{c}}}\approx \omega \left(1\pm \frac{v}{c}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ (8) ahol $c$ a fénysebesség, és a második, közelítő egyenlőség akkor igaz, ha $\frac{v}{c}\ll 1$. A felső előjelezés akkor érvényes, ha a fényforrás és a megfigyelő közelednek egymáshoz, az alsó pedig akkor, ha távolodnak. (A közelítés az $\epsilon \ll 1$ esetén érvényes ${\left(1+\epsilon \right)}^a\approx 1+a\epsilon$ formula többszöri alkalmazásával kapható meg.) Jelölje ${\omega }_L$ a lézer laboratóriumban mért körfrekvenciáját, legyen $\hslash {\omega }_0$ az atom két állapota közti energiakülönbség. Ekkor a $-x$ tengely irányába haladó foton energiája $\hslash {\omega }_L$, impulzusa $-\frac{\hslash {\omega }_L}{c}=-\hslash q$, ahol $q$ a hullámszám. A feladatmegoldás során végig feltételezzük, hogy $\frac{v}{c}\ll 1$, valamint $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\hslash q}{mv}=\frac{\hslash {\omega }_L}{mvc}\ll \mathrm{1,}}\end{array}$ és ezen kis mennyiségekben első rendig számolunk.   I. rész: A lézeres hűtés alapjai 1. Elnyelés (abszorpció) A (8) egyenlet alapján a fényforráshoz $v$ sebességgel közeledő atom által észlelt frekvencia ${\omega }_L\left(1+\frac{v}{c}\right)$, tehát a rezonanciafeltétel ${\omega }_0={\omega }_L\left(1+\frac{v}{c}\right)$. A foton elnyelése után az atom impulzusa a foton impulzusával csökken, így $p_{\text{a}}=mv-\frac{\hslash {\omega }_L}{c}$. Az atom teljes energiája a mozgási energiájának és a gerjesztési energiának az összege, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle {\epsilon }_{\text{a}}=\frac{p_{\text{a}}^2}{2m}+\hslash {\omega }_0\approx \frac{m{v}^2}{2}+\hslash {\omega }_L\mathrm{.}}\end{array}$   2. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a $-x$ irányban A $v\text{'}=v-\frac{\hslash {\omega }_L}{vc}$ sebességgel mozgó atom saját rendszerében ${\omega }_0$ frekvenciájú fotont bocsát ki, ami azt jelenti, hogy a labor rendszeréből a foton frekvenciája $\begin{array}{c}{\displaystyle {\omega }_0\left(1-\frac{v\text{'}}{c}\right)={\omega }_0\left(1-\frac{v}{c}+\frac{\hslash {\omega }_L}{mvc}\frac{v}{c}\right)\approx {\omega }_0\left(1-\frac{v}{c}\right)\approx {\omega }_L\mathrm{.}}\end{array}$ (9) Innen a foton energiája és impulzusa egyszerűen kiszámolható: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_{\text{f}}^{-}\approx -\frac{\hslash {\omega }_L}{c}\mathrm{,}{\epsilon }_{\text{f}}^{-}\approx \hslash {\omega }_L\mathrm{.}}\end{array}$ (10a) A foton kibocsátása után az atom impulzusa ezzel az értékkel nő, így $\begin{array}{c}{\displaystyle p_{\text{a}}^{-}\approx mv\mathrm{,}{\epsilon }_{\text{a}}^{-}=\frac{{\left(p_{\text{a}}^{-}\right)}^2}{2m}\approx \frac{m{v}^2}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ (10b) Végeredményben az abszorpciós-emissziós folyamat után a két részecske állapota olyan, mintha a foton nem is lépett volna kölcsönhatásba az atommal.   3. Egy foton spontán kibocsátása (emissziója) a $+x$ irányban Ha az atom $+x$ irányban bocsátja ki a fotont, akkor labor rendszerében nagyobbnak észleljük a foton frekvenciáját. Az előző (9) levezetéshez hasonlóan kell számolnunk, azonban $v\text{'}$ előjele módosul: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\omega }_0\left(1+\frac{v\text{'}}{c}\right)\approx {\omega }_0\left(1+\frac{v}{c}\right)\approx {\omega }_L\left(1+\frac{2v}{c}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ezután már könnyen megkapjuk a foton, illetve az atom energiáját és impulzusát:   4. Átlagos kibocsátás (emisszió) az elnyelés (abszorpció) után Minthogy a spontán emisszió egyforma valószínűséggel mehet végbe $+x$ és $-x$ irányban, a keresett átlagértékek a (10) és (11) mennyiségek számtani közepeiként kaphatók meg: ${\displaystyle \begin{array}{ccccc}\hfill {\displaystyle {\overline{p}}_{\text{f}}}& {\displaystyle \approx \frac{\hslash {\omega }_{L}v}{c^2}\approx \mathrm{0,}}\hfill & {\displaystyle {\overline{\epsilon }}_{\text{f}}}\hfill & \hfill {\displaystyle \approx \hslash {\omega }_L\left(1+\frac{v}{c}\right)\mathrm{,}}& \text{(<mn>12</mn><mi>a</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle {\overline{p}}_{\text{a}}}& {\displaystyle \approx mv-\frac{\hslash {\omega }_L}{c}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle {\overline{\epsilon }}_{\text{a}}}\hfill & \hfill {\displaystyle \approx \frac{m{v}^2}{2}\left(1-\frac{2\hslash {\omega }_L}{mvc}\right)\mathrm{.}}& \text{(<mn>12</mn><mi>b</mi>)}\end{array}}$   5. Energia- és impulzusátadás A $-x$ irányban haladó foton által az atomnak átlagosan átadott impulzus és energia a kölcsönhatás utáni (12) átlagértékek és a kezdeti értékek különbségeként kapható meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta p^{-}={\overline{p}}_{\text{a}}-mv\approx -\frac{\hslash {\omega }_L}{c}\mathrm{,}\Delta {\epsilon }^{-}={\overline{\epsilon }}_{\text{a}}-\frac{m{v}^2}{2}\approx -\frac{\hslash {\omega }_{L}v}{c}\mathrm{.}}\end{array}$ (13)   6. Energia- és impulzusátadás egy $+x$ irányú lézersugárral Ha a foton nem szemből, hanem az atommal azonos irányból érkezik, teljesen hasonló módon ellentétes előjelű eredményeket kapunk az átlagos energia- és impulzusátadásra: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta p^{+}\approx \frac{\hslash \omega {\text{'}}_L}{c}\mathrm{,}\Delta {\epsilon }^{+}\approx \frac{\hslash \omega {\text{'}}_{L}v}{c}\mathrm{.}}\end{array}$ (14)   II. rész: Disszipáció és az optikai szirup alapjai A feladat közlése szerint a laboratóriumban nyugalomban levő atomok $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{g}}\left({\omega }_L\right)=\frac{N_{\text{g}}}{N}=\frac{{\Omega }_R^2}{{\left({\omega }_0-{\omega }_L\right)}^2+\frac{{\Gamma }^2}{4}+2{\Omega }_R^2}\mathrm{.}}\end{array}$ (15) valószínűséggel találhatók gerjesztett állapotban az ${\omega }_L$ frekvenciájú fotonokkal való kölcsönhatás eredményeként. A képletben ${\Omega }_R$ az úgynevezett Rabi-frekvencia, melynek négyzete a lézer intenzitásával arányos, $\Gamma$ pedig az adott átmenet élettartamának reciproka. Látható, hogy ez a valószínűség ${\omega }_L={\omega }_0$ esetén maximális, nem haladja meg az $\frac{1}{2}$ értéket, és $|{\omega }_L-{\omega }_0|\gg \Gamma \mathrm{,}{\Omega }_R$ esetén gyorsan csökken.   7. A lézer által az atomnyalábra kifejtett erő A (15) képlet nyugalomban levő atomokra vonatkozik, tehát csak úgy használhatjuk, ha áttérünk az atomokkal együtt $v$ sebességgel mozgó vonatkoztatási rendszerbe. Ekkor azonban Doppler-eltolódás miatt a $-x$ irányban haladó fotonok frekvenciáját ${\omega }^{-}={\omega }_L\left(1+\frac{v}{c}\right)$-nek, míg a $+x$ irányban haladókét ${\omega }^{+}={\omega }_L\left(1-\frac{v}{c}\right)$-nek észleljük. Mindkét fotonnyaláb egymástól függetlenül gerjeszti az atomok $N_{\text{g}}=N{P}_{\text{g}}$ részét, így időegységenként $\Gamma N_{\text{g}}$ elnyelési‐kibocsátási folyamat megy végbe a balra, illetve jobbra haladó fotonokkal. Felhasználva a (13) és (14) eredményeket, a keresett erő: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle F}& {\displaystyle =\Gamma N\left(P_{\text{g}}\left({\omega }^{-}\right)\Delta p^{-}+P_{\text{g}}\left({\omega }^{+}\right)\Delta p^{+}\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\Omega }_R^{2}N\Gamma \hslash \frac{{\omega }_L}{c}}{{\left({\omega }_0-{\omega }_L\left(1-\frac{v}{c}\right)\right)}^2+\frac{{\Gamma }^2}{4}+2{\Omega }_R^2}-\frac{{\Omega }_R^{2}N\Gamma \hslash \frac{{\omega }_L}{c}}{{\left({\omega }_0-{\omega }_L\left(1+\frac{v}{c}\right)\right)}^2+\frac{{\Gamma }^2}{4}+2{\Omega }_R^2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   8. Kissebességű határeset Az erőre kapott formula $\begin{array}{c}{\displaystyle F=\frac{A}{B+C}-\frac{A}{B-C}\approx \frac{A}{B}\left(1-\frac{C}{B}-\left(1+\frac{C}{B}\right)\right)=-\frac{2AC}{B^2}}\end{array}$ alakú, ahol $C\ll B$. A számolást elvégezve azt kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle F\approx -\frac{4{\Omega }_R^{2}N\Gamma \hslash {\left(\frac{{\omega }_L}{c}\right)}^2}{{\left({\left({\omega }_0-{\omega }_L\right)}^2+\frac{{\Gamma }^2}{4}+2{\Omega }_R^2\right)}^2}\left({\omega }_0-{\omega }_L\right)v\mathrm{.}}\end{array}$ (16) Látható, hogy az erő pozitív (gyorsító), ha ${\omega }_L>{\omega }_0$, zérus, ha ${\omega }_L={\omega }_0$, és negatív (lassító), ha ${\omega }_L<{\omega }_0$. Természetesen a jelenség független az $x$ tengely irányításától, tehát ha a lézer frekvenciáját kicsit az átmenet ,,alá hangoljuk'', akkor mindig az atom mozgásával ellentétes irányú a fotonok által kifejtett erő.   9. Optikai szirup Ha az atomokra sebességükkel arányos fékezőerő hat, akkor mozgásegyenletük $m\dot{v}=-\beta v$, ahol a $\beta >0$ konstans a (16) egyenletből kiolvasható. Figyelembevéve a $v\left(0\right)=v_0$ kezdeti feltételt, az atomok sebessége a $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(\tau \right)=v_0{e}^{-\frac{\beta }{m}\tau }}\end{array}$ függvény szerint csökken. Az ekvipartíció-tétel értelmében $T\sim v^2$, tehát a hőmérséklet $T\left(\tau \right)=T_0{e}^{-\frac{2\beta }{m}\tau }$ időfüggést mutat.   3. feladat. Miért olyan nagyok a csillagok?   1. Csillagok központi hőmérsékletének klasszikus becslése Akkor közelíti meg a két proton egymást $d_c$ távolságra, ha mozgási energiájuk összege megegyezik a $d_c$ távolsághoz tartozó elektromos potenciális energiával. A mozgási energiák az ekvipartíció-tételből határozhatók meg. Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\frac{m_{\text{p}}{v}_{\text{rms}}^2}{2}=2\frac{3}{2}k{T}_c=\frac{q^2}{4\pi {\epsilon }_0{d}_c}\mathrm{,}\text{így}{T}_c=\frac{q^2}{12\pi {\epsilon }_0{d}_{c}k}=\mathrm{5,5}\cdot {10}^9\text{K. }}\end{array}$ (17)   2. Annak igazolása, hogy az előző hőmérsékletbecslés hibás A hidrosztatikai egyensúlyt leíró $\frac{\Delta P}{\Delta r}=-\frac{G{M}_r{\rho }_r}{r^2}$ egyenletben elvégezve a javasolt $\Delta r=R$, $\Delta P=-P_c$, $M_r=M$ és ${\rho }_r={\rho }_c$ helyettesítéseket, a központi nyomásra azt kapjuk, hogy $P_c=\frac{GM{\rho }_c}{R}$. Ugyanakkor az ideális gáztörvény szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle P_c=\frac{Nk{T}_c}{V}=\frac{2{\rho }_{c}k{T}_c}{m_{\text{p}}}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol felhasználtuk, hogy $N=\frac{2M}{m_{\text{p}}}$, hiszen a protonok adják lényegében a csillag teljes tömegét, de az elektronok is hozzájárulnak a nyomáshoz. A két egyenletből megkapható a keresett központi hőmérséklet: $\begin{array}{c}{\displaystyle T_c=\frac{GM{m}_{\text{p}}}{2kR}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen az $M/R$ arány a (17) értékkel számolva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{M}{R}=\frac{2k{T}_c}{G{m}_{\text{p}}}=1\mathrm{,}4\cdot {10}^{24}\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi>k</mi><mi>g</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></mfrac></mrow></math> . }}\end{array}$ (18) A Nap esetén ugyanez az arány $\frac{M_{\odot }}{R_{\odot }}=2\mathrm{,}9\cdot {10}^{21}\frac{\text{kg}}{\text{m}}$, ami három nagyságrenddel kisebb, mint az előző elmélet jóslata!   3. Csillagok központi hőmérsékletének kvantummechanikai becslése Megoldásunk hasonló az 1. ponthoz. A következő egyenleteket írhatjuk föl: ${\displaystyle \begin{array}{ccccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \text{ekvipartíció-tétel:}}\hfill & {\displaystyle \frac{1}{2}{m}_{\text{p}}{v}_{\text{rms}}^2}\hfill & \hfill {\displaystyle =\frac{3}{2}k{T}_c\mathrm{,}}& \text{(<mn>19</mn><mi>a</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \text{mechanikai energiamegmaradás:}}\hfill & {\displaystyle m_{\text{p}}{v}_{\text{rms}}^2}\hfill & \hfill {\displaystyle =\frac{q^2}{4\pi {\epsilon }_0{d}_c}\mathrm{,}}& \text{(<mn>19</mn><mi>b</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \text{de Broglie-hullámhossz:}}\hfill & {\displaystyle d_c=\frac{{\lambda }_{\text{p}}}{\sqrt[]{2}}}\hfill & \hfill {\displaystyle =\frac{h}{\sqrt[]{2}{m}_{\text{p}}{v}_{\text{rms}}}\mathrm{.}}& \text{(<mn>19</mn><mi>c</mi>)}\end{array}}$ Az egyenletrendszer egyszerű megoldható $T_c$-re: $\begin{array}{c}{\displaystyle T_c=\frac{q^4{m}_{\text{p}}}{24{\pi }^2{\epsilon }_0^{2}k{h}^2}=9\mathrm{,}7\cdot {10}^6\text{K. }}\end{array}$ (20) A (18) összefüggés felhasználásával ehhez a hőmérséklethez tartozó $M/R$ arány $2\mathrm{,}4\cdot {10}^{21}\frac{\text{kg}}{\text{m}}$, ami már közel azonos a Nap esetén megfigyelésekből számolt értékkel.   4. Csillagok tömeg/sugár aránya Felhasználva az (18) és a (20) formulákat, $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{M}{R}=\frac{q^4}{12{\pi }^2{\epsilon }_0^{2}G{h}^2}\mathrm{,}}\end{array}$ (21) ami valóban kizárólag univerzális fizikai állandóktól függ.   5. A legkisebb csillagok tömege és sugara Az elektronok száma megegyezik a protonok számával, ami $\frac{M}{m_{\text{p}}}$, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle n_{\text{e}}=\frac{M}{m_{\text{p}}V}=\frac{3M}{4\pi R^3{m}_{\text{p}}}\mathrm{.}}\end{array}$ (22) Ez azt jelenti, hogy a szomszédos elektronok közti tipikus távolság $d_{\text{e}}=n_{\text{e}}^{-\frac{1}{3}}$. (Számolhatunk úgy, mintha az elektronok egy szabályos, $d_{\text{e}}$ rácsállandójú köbös rácsban helyezkednének el a csillag belsejében.) A legkisebb sugarat kicsit hosszadalmas, de egyszerű számolással kaphatjuk meg. Induljunk ki a $d_{\text{e}}\ge \frac{{\lambda }_{\text{e}}}{2^{1/2}}=\frac{h}{2^{1/2}{m}_{\text{e}}{v}_{\text{e}}}$ egyenlőtlenségből, ahol $v_{\text{e}}$ az elektronok termikus sebességét jelöli. Az ekvipartíció-tétel alapján $v_{\text{e}}=\sqrt[]{\frac{3k{T}_c}{m_{\text{e}}}}$, a $d_{\text{e}}$ tipikus távolságot kifejeztük a (22) egyenletben felírt elektronsűrűséggel, az $M$ tömeget beírhatjuk a (21) egyenletből, és a $T_c$ hőmérsékletet megadja a (20) formula. Ezeket a behelyettesítéseket mind elvégezve, rendezés után a következő egyenlőtlenséget kapjuk a csillag sugarára: $\begin{array}{c}{\displaystyle R\ge \frac{{\epsilon }_0^{1/2}{h}^2}{2^{1/2}q{m}_{\text{e}}^{3/4}{m}_{\text{p}}^{5/4}{G}^{1/2}}=6\mathrm{,}9\cdot {10}^7\text{m}=0\mathrm{,}10R_{\odot }\mathrm{.}}\end{array}$ Ezután a minimális tömeget a (21) egyenletből kaphatjuk meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle M\ge 1\mathrm{,}7\cdot {10}^{29}\text{kg}=0\mathrm{,}09M_{\odot }\mathrm{.}}\end{array}$   6. Hélium-fúzió öregebb csillagokban Jelölje $v_{\text{He}}$ a hélium atommagok termikus sebességét. Két ütköző mag együttes $m_{\text{He}}{v}_{\text{He}}^2$ mozgási energiája megegyezik a $d_c=\frac{{\lambda }_{\text{He}}}{\sqrt[]{2}}=\frac{h}{\sqrt[]{2}{m}_{\text{He}}{v}_{\text{He}}}$ távolsághoz tartozó $\frac{4q^2}{4\pi {\epsilon }_0{d}_c}$ potenciális energiával, ahonnan a hélium atommagok termikus sebessége $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\text{He}}=\frac{\sqrt[]{2}{q}^2}{\pi {\epsilon }_{0}h}=2\mathrm{,}0\cdot {10}^6\frac{\text{m}}{\text{s}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezután a hőmérséklet az ekvipartíció-tételből számolható ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle T_{\text{He}}=\frac{m_{\text{He}}{v}_{\text{He}}^2}{3k}=6\mathrm{,}5\cdot {10}^8\text{K. }}\end{array}$ Ez az érték nagyságrendileg egyezik a pontosabb csillagmodellek eredményével.