Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Simon János 
Füzet: 2009/szeptember, 326 - 327. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Mutassuk meg, hogy az f(x)=1x2 (ahol x0 valós szám) hozzárendeléssel megadott függvényre minden a0, b0 valós számpár esetén teljesül, hogy
f(a)+f(b)+2abf(ab)=f(ab)f(a+b).
 (11 pont)
 

2. A természetes számok sorozatából valamelyik számtól kezdve kiválasztjuk minden 12. számot addig, míg a kiválasztott számok összege 2010 lesz. A kiválasztott számok száma 10-nél több, de 100-nál kevesebb.
Melyik számot választottuk ki először és összesen hány darabot?  (12 pont)
 

3. Mutassuk meg, hogy ha egy háromszög oldalaira teljesül az a2+b2>5c2 egyenlőtlenség, akkor c a háromszög legkisebb oldala.  (14 pont)
 

4. Van-e megoldása a sin6x+sin4x+2sin2x+cos2x=4sin5x egyenletnek a ]0;π2[-on?  (14 pont)
 

 

II. rész
 

5. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenséget:
x2log4(5x2-2x-3)-xlog14(5x2-2x-3)x2+x.(16 pont)
 

6. A Stadion parkjában található ,,rúgófal'' felső lyukába 10%, az alsóba 40% valószínűséggel talál be Márton.
a) Mindkét lyukra egyszer lőve mennyi a valószínűsége, hogy
A: egyszer sem talál;
B: egyszer talál?
b) Hányszor kell az alsó lyukra lőnie, hogy több mint 95% valószínűséggel legalább egyszer beletaláljon?
c) Mennyi a valószínűsége, hogy háromszor az alsóra, majd háromszor a felsőre lőve pontosan egyszer talál?
d) Krisztián észrevette, hogy Marci találati valószínűsége nem konstans. Találat után (az eredeti valószínűség) 110 részével nő, ha nem talál, 110 részével csökken az eredeti találati valószínűség. Marci kétszer lő az alsó lyukra. Mekkora a valószínűsége, hogy pontosan egyszer talál?  (16 pont)
 

7. Adott a derékszögű koordinátarendszerben a K(-2;3) középpontú r=5 sugarú kör és három pont: A(6;2), B(-3;5) és C(-5;y0), ahol y0>0.
a) Mekkora a kör AB egyenesre illeszkedő húrjának hossza?
b) A C pont illeszkedik a körre. A kör C-ben húzott érintője legyen az e egyenes. Mekkora területű az a háromszög, amelyet az e egyenes, az y tengely és az AB egyenes fog közre?  (16 pont)
 

8. Egy felújításra váró ház 8 m széles és 4 m magas oromzatát mutatja a mellékelt ábra. Az oromzat ívét leíró görbe érintője a végpontokban vízszintes. Az építész a görbét az f(x)=ax4+bx2+c függvény grafikonjával szeretné megadni.
 
 

a) Határozzuk meg az f(x) függvény hozzárendelési szabályában szereplő a, b és c konstansokat.
b) Minimum hány doboz festékre lesz szükség az oromzat kétszeri újrafestéséhez, ha 1m2-re 350cm3 festék szükséges, és 2 literes, 4 literes, illetve 5 literes kiszerelésben kapható a festék?  (16 pont)
 

9. Architectos fejedelem három fiával és seregeivel elfoglalt egy várost. A városfal három sarkán három egyforma négyzetes oszlop alakú torony állt, melyek alapéle 8 m, magasságuk 40 m volt. A győzelem emlékére a három fiú a három tornyot átalakítatta. Mindhárom átépítés nagyon hasonló volt egymáshoz. Az eredeti tornyok fedőlapjainak szomszédos élfelezőpontjait összekötő szakaszok mentén levágtak négy egyforma sarkot. Ezeket a megmaradt fedőlapra ültették az ábrának megfelelően úgy, hogy az új toronytető egymáshoz kapcsolódó rombuszokból állt.
 
 

A legidősebb fiú tornyának felszíne nem változott az átépítés után.
A középső fiú úgy végezte el az átalakítást, hogy a torony teljes felszíne a lehető legkisebb lett.
A legfiatalabb fiú tornyán a szomszédos tetősíkok 120-os szöget zártak be.
Adjuk meg az átépített tornyok magasságát.  (16 pont)