Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Simon János
Füzet:	2009/szeptember, 326 - 327. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Mutassuk meg, hogy az $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$ (ahol $x\ne 0$ valós szám) hozzárendeléssel megadott függvényre minden $a\ne 0$, $b\ne 0$ valós számpár esetén teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(a\right)+f\left(b\right)+2ab\cdot f\left(ab\right)=\frac{f\left(ab\right)}{f\left(a+b\right)}\mathrm{.}}\end{array}$  (11 pont)   2. A természetes számok sorozatából valamelyik számtól kezdve kiválasztjuk minden 12. számot addig, míg a kiválasztott számok összege 2010 lesz. A kiválasztott számok száma 10-nél több, de 100-nál kevesebb. Melyik számot választottuk ki először és összesen hány darabot?  (12 pont)   3. Mutassuk meg, hogy ha egy háromszög oldalaira teljesül az $a^2+b^2>5c^2$ egyenlőtlenség, akkor $c$ a háromszög legkisebb oldala.  (14 pont)   4. Van-e megoldása a $\text{sin}{}^{6}x+\text{sin}{}^{4}x+2\text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}x=4\text{sin}{}^{5}x$ egyenletnek a $\left]0;\frac{\pi }{2}\right[$-on?  (14 pont)     II. rész   5. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2\cdot \text{log}{}_4\left(5x^2-2x-3\right)-x\cdot \text{log}{}_{\frac{1}{4}}\left(5x^2-2x-3\right)\le x^2+x\mathrm{.}}\end{array}$ (16 pont)   6. A Stadion parkjában található ,,rúgófal'' felső lyukába 10%, az alsóba 40% valószínűséggel talál be Márton. $a)$ Mindkét lyukra egyszer lőve mennyi a valószínűsége, hogy A: egyszer sem talál; B: egyszer talál? $b)$ Hányszor kell az alsó lyukra lőnie, hogy több mint 95% valószínűséggel legalább egyszer beletaláljon? $c)$ Mennyi a valószínűsége, hogy háromszor az alsóra, majd háromszor a felsőre lőve pontosan egyszer talál? $d)$ Krisztián észrevette, hogy Marci találati valószínűsége nem konstans. Találat után (az eredeti valószínűség) $\frac{1}{10}$ részével nő, ha nem talál, $\frac{1}{10}$ részével csökken az eredeti találati valószínűség. Marci kétszer lő az alsó lyukra. Mekkora a valószínűsége, hogy pontosan egyszer talál?  (16 pont)   7. Adott a derékszögű koordinátarendszerben a $K\left(-2;3\right)$ középpontú $r=5$ sugarú kör és három pont: $A\left(6;2\right)$, $B\left(-3;5\right)$ és $C\left(-5;y_0\right)$, ahol $y_0>0$. $a)$ Mekkora a kör $AB$ egyenesre illeszkedő húrjának hossza? $b)$ A $C$ pont illeszkedik a körre. A kör $C$-ben húzott érintője legyen az $e$ egyenes. Mekkora területű az a háromszög, amelyet az $e$ egyenes, az $y$ tengely és az $AB$ egyenes fog közre?  (16 pont)   8. Egy felújításra váró ház 8 m széles és 4 m magas oromzatát mutatja a mellékelt ábra. Az oromzat ívét leíró görbe érintője a végpontokban vízszintes. Az építész a görbét az $f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^2+c$ függvény grafikonjával szeretné megadni.     $a)$ Határozzuk meg az $f\left(x\right)$ függvény hozzárendelési szabályában szereplő $a$, $b$ és $c$ konstansokat. $b)$ Minimum hány doboz festékre lesz szükség az oromzat kétszeri újrafestéséhez, ha $1\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$-re $350\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ festék szükséges, és 2 literes, 4 literes, illetve 5 literes kiszerelésben kapható a festék?  (16 pont)   9. Architectos fejedelem három fiával és seregeivel elfoglalt egy várost. A városfal három sarkán három egyforma négyzetes oszlop alakú torony állt, melyek alapéle 8 m, magasságuk 40 m volt. A győzelem emlékére a három fiú a három tornyot átalakítatta. Mindhárom átépítés nagyon hasonló volt egymáshoz. Az eredeti tornyok fedőlapjainak szomszédos élfelezőpontjait összekötő szakaszok mentén levágtak négy egyforma sarkot. Ezeket a megmaradt fedőlapra ültették az ábrának megfelelően úgy, hogy az új toronytető egymáshoz kapcsolódó rombuszokból állt.     A legidősebb fiú tornyának felszíne nem változott az átépítés után. A középső fiú úgy végezte el az átalakítást, hogy a torony teljes felszíne a lehető legkisebb lett. A legfiatalabb fiú tornyán a szomszédos tetősíkok ${120}^{\circ }$-os szöget zártak be. Adjuk meg az átépített tornyok magasságát.  (16 pont)