Cím: Megoldásvázlatok a 2007/3. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Katz Sándor 
Füzet: 2007/április, 208 - 213. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Határozzuk meg a következő kifejezések pontos értékét:
a=lg10002007+lg0,0012007; (2 pont)b=(2005!+2006!)(12006!-12007!); (4 pont)c=(22007-1)(11+3+13+5+...+12005+2007).
 (5 pont)
 
Megoldás.
a=lg10002007+lg0,0012007=2007(lg1000+lg0,001)=2007(3-3)=0.b=(2005!+2006!)(12006!-12007!)=2005!(1+2006)2007-12007!=1.c=22007-1(11+3+13+5+...+12005+2007)==22007-1(3-12+5-32+...+2007-20052)==22007-12007-12=1.

 
2. Egy négyzet alapú egyenes hasáb (négyzetes oszlop) egy oldallapjának átlója 10 cm, a testátlója 12,5 cm. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata?  (12 pont)
 
Megoldás. Készítsünk ábrát.
 
 

Az ABA' és ACA' derékszögű háromszögekben:
a2+b2=100,2a2+b2=156,25.
Ebből a=7,5 cm, b6,614 cm.
V=a2b372,04cm3.
A=2a2+4ab310,9cm2.
 
3. Egy téglalap alakú parkban az ábra szerint három egymást és a téglalap oldalait érintő kör alakú virágágyást, valamint a park kerületén, a körök mentén, és a körök középpontjaira illeszkedő, az ábrára berajzolt összes vonal mentén utakat létesítettek. A két kisebb, egyenlő méretű ágyás sugara r=15 m.
 
 

a) Mekkora a nagy kör sugara?  (2 pont) b) Milyen hosszú a teljes úthálózat?  (8 pont) c) Hány százalékát tölti ki a három kör az egész téglalap területének?  (4 pont)
 
Megoldás. a) A nagy kör sugara kétszerese a kis kör sugarának, tehát R=30 m.
b) Használjuk az ábra jelöléseit. Az úthálózathoz a két kis kör E érintkezési pontjának és a nagy kör O középpontjának távolságát kell meghatároznunk. Az OKE derékszögű háromszögben OK=r+R=45 m.
OE=452-152=180042,4m.  
Így a téglalap hosszabbik oldala: 30+42,4+1587,4 m. A teljes úthálózat hossza:
3AB+2BC+2OK+2KE+2Rπ+22rπ==387,4+260+245+30+60π+230π879,2m.  



c) A három kör területe: R2π+2r2π=4241m2, a téglalapé: 6087,4=5244m2.
A körök területe kb. 80,9%-a a téglalap területének.
 
4. Adott a síkban 10 általános helyzetű egyenes. (Nincs köztük két párhuzamos, és bármely metszésponton csak két egyenes halad át.)
a) Hány metszéspontja van a 10 egyenesnek?  (2 pont) b) Hány egymást nem fedő szakaszt, és hány félegyenest számolhatunk össze a 10 egyenesen?  (5 pont) c) Véletlenszerűen kiválasztunk a keletkező egyenesdarabok (szakaszok és félegyenesek) közül kettőt. Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott két egyenesdarab azonos típusú lesz? (Mindegyik szakasz, vagy mindegyik félegyenes.)  (8 pont)
 
 

(Pl. ezen az ábrán 4 általános helyzetű egyenesnél 6 metszéspontot, 8 szakaszt és 8 félegyenest, azaz 16 egyenesdarabot számolhatunk össze.)
 
Megoldás. a) Bármely két egyenes meghatároz egy metszéspontot, ezért (102)=45 metszéspont van.
b) Minden egyenest 9 másik metsz, és a 9 metszéspont között 8 szakasz és a két ,,végén'' 1‐1 félegyenes van. Tehát 80 szakaszt és 20 félegyenest számolhatunk össze.
c) 100 egyenesdarab közül két egyenesdarabot (1002), két szakaszt (802), két félegyenest (202)-féleképpen választhatunk ki.
Tehát annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott két egyenesdarab azonos típusú lesz:
(802)+(202)(1002)=80792+20192100992=67009900=6799=0,6˙7˙.

 

II. rész
 

5. Adott a koordinátarendszerben az A(2;2) és B(9;9) pont. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely illeszkedik az A és B pontokra és érinti az x tengelyt.  (16 pont)
 
I. megoldás (paraméteres). Legyen a keresett kör középpontja O(u;v). Mivel a kör érinti az x tengelyt, azért sugara v, egyenlete: (x-u)2+(y-v)2=v2. O illeszkedik az AB szakasz felező merőlegesére, f-re: f:x+y=11, így u+v=11, ebből u=11-v.
 
 

A(2;2) a kör egy pontja: (2-u)2+(2-v)2=v2. Beírva u-t:
[2-(11-v)]2+(2-v)2=v2.
Ebből: v1=5 és v2=17. Ezekhez: u1=6 és u2=-6.
Két kört kapunk, amelyek egyenlete:
(x-6)2+(y-5)2=25  és  (x+6)2+(y-17)2=289.

 
II. megoldás (a szerkesztés menetét követve). Az AB egyenes a P(0;0) pontban metszi az x tengelyt. A P pontból a körhöz húzott érintőszakasz hossza mértani közepe a pontból húzott szelő két darabjának, PA-nak és PB-nek:
PE2=PAPB=2292=36.

Így P-ből mindkét irányba fel kell mérnünk az x tengelyre a PE=6 hosszúságú szakaszt. Így kapjuk a két érintési pontot: E1(6;0) és E2(-6;0).
A két középpont második koordinátáit az f:x+y=11 egyenletből kaphatjuk: v1=5 és v2=17.
A két kör egyenlete: (x-6)2+(y-5)2=25 és (x+6)2+(y-17)2=289.
 
III. megoldás (mértani helyekkel). Az A(2;2) pontra illeszkedő és x tengelyt érintő körök középpontjai egyenlő távolságra vannak A-tól és az x tengelytől, ezért ezek mértani helye az A fókuszú, x tengely vezéregyenesű parabola, amelynek egyenlete:
y=14(x-2)2+1.

Ugyanígy a B(9;9) pontra illeszkedő és x tengelyt érintő körök középpontjainak mértani helye az y=118(x-9)2+4,5 egyenletű parabola.
A két parabola metszéspontjai lesznek a keresett középpontok: O1(6;5) és O2(-6;17).
A két kör egyenlete: (x-6)2+(y-5)2=25 és (x+6)2+(y-17)2=289.
 
6. Írjuk fel a páratlan természetes számokat a következő háromszög alakú táblázatba úgy, hogy minden sorban eggyel több szám szerepeljen, mint az előzőben:
1357911131517192123...

a) Melyik szám áll a 20. sor elején?  (3 pont) b) Adjuk meg n függvényében, hogy melyik szám áll az n-edik sor elején, a végén, és mennyi a sorban szereplő számok összege.  (6 pont) c) Mennyi lesz a számok összege abban a sorban, amelyben a 2007-es szám szerepel?  (3 pont) d) Az első 100 sorból kiválasztunk véletlenszerűen egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a választott sorban a számok összege négyzetszám?  (4 pont)
 
Megoldás. a) Az egyes sorokban rendre 1,2,3,...,19,20 db szám szerepel, azaz a sor elején levő számok közötti különbség rendre 2-vel nő. Így a 20. sor elején az
1+2+4+6+...+192=1+(2+38)192=381
szerepel.
b) Az egyes sorokban rendre 1,2,3,...,n db szám szerepel, így az n. sor elején az
1+2+4+6+...+2(n-1)=1+(2+2(n-1))(n-1)2=n2-n+1
szám áll.
Az n-edik sorban álló n szám 2 differenciájú számtani sorozatot alkot, ezért a sor végén az elsőnél 2(n-1)-gyel nagyobb szám, azaz az n2+n-1 szerepel.
Az n-edik sorban álló n szám összege:
Sn=[(n2-n+1)+(n2+n-1)]n2=n3.

c) Azt kell meghatároznunk, hogy melyik sorban szerepel a 2007, azaz melyik a legkisebb n, amelyre 2007n2+n-1. A 442+44-1 még csak 1979, de a 452+45-1=2069, tehát 2007 a 45. sorban szerepel. Ebben a sorban a számok összege: 453=91125.
d) Azt keressük, hogy az első 100 köbszám közül melyek négyzetszámok. Ezek a hatodik hatványok: 16,26,36,...,106. Tehát a keresett valószínűség: P=10100=0,1.
 
7. a) Milyen valós x-ek elégítik ki a 4x+1-136x+9x+1=0 egyenletet?  (7 pont) b) Milyen [0;180] intervallumba eső x szögek elégítik ki a következő egyenletet?
2sin2x+13sinxcosx-3cos2x=6.(9 pont)

 
Megoldás. a) Az egyenlet így is írható:
44x-136x+99x=0.

Minden tag másodfokú a 2x, illetve a 3x változókra. Ilyenkor célszerű mindkét oldalt elosztani az egyik másodfokú kifejezéssel, pl. 9x-nel. Mivel ez nem lehet 0, így az eredetivel ekvivalens egyenlethez jutunk:
4(23)2x-13(23)x+9=0.

Az y=(23)x jelöléssel:
4y2-13y+9=0.(*)
Ennek gyökei: y1=1 vagy y2=94. Ebből kapjuk: x1=0 vagy x2=-2.
Minden lépés ekvivalens átalakítás volt, ezért a kapott számok megoldásai az egyenletnek.
b) Írjunk a jobb oldalon 6 helyére (6sin2x+6cos2x)-et, és redukáljuk 0-ra:
0=4sin2x-13sinxcosx+9cos2x.
Osszuk el mindkét oldalt cos2x-szel. Mivel cos2x zérushelyei nem megoldások, így az eredetivel ekvivalens egyenlethez jutunk: 0=4tg2x-13tgx+9.
Az y=tgx jelöléssel az a) feladat (*) egyenletét kapjuk. Abból pedig az x1=45 vagy az x2=66,04 gyököt kapjuk. Most is minden lépés ekvivalens átalakítás volt, ezért a kapott szögek a megoldások.
 
8. A T területű ABC hegyesszögű háromszögbe írjunk téglalapot az 1. ábra szerint.
 

 
1. ábra
 

a) Az ADE háromszög A-ból induló magassága x-szerese az ABC A-ból induló m magasságának (0<x<1). Fejezzük ki az ADE háromszög és a DEFG téglalap területét T és x segítségével.  (4 pont) b) Legfeljebb hányad részét tölti ki a téglalap az ABC háromszög területének?  (5 pont) c) Legfeljebb hányad részét tölti ki a 2. ábra szerint berajzolt két téglalap az ABC háromszög területének?  (7 pont)
 

 
2. ábra
 

Megoldás. a) Az ADE háromszög hasonló az ABC háromszöghöz, és a hasonlóság aránya x, ezért: tADE=x2T.
DE=xa, DG=(1-x)m, ezért tDEFG=xa(1-x)m=x(1-x)2T.
b)
x(1-x)=x-x2=-(x-12)2+14.
Ennek maximuma 14, ha x=12.
Ezért tDEFG=x(1-x)2T maximuma T2, ha x=12. Tehát a téglalap legfeljebb a háromszög területének felét töltheti ki, ha a téglalap magassága éppen a háromszög magasságának fele.
c) Ha a fenti jelölések szerint osztjuk a magasságot, akkor az alsó téglalap területe x(1-x)2T.
A felső téglalap területe, mint az előző pontban láttuk, legfeljebb az ADE háromszög területének fele lehet, tehát 12x2T. Keressük tehát a
t1+t2=[2x(1-x)+12x2]T=[-32(x-23)2+23]T
maximumát.
Látható, hogy ennek a maximuma 23T, ha x=23.
Tehát a két téglalappal a háromszög területének maximum a kétharmadát tudjuk kitölteni, ha mindkét téglalap magassága harmadrésze a háromszög magasságának.
 
Megjegyzés. Hibás az a megoldás, hogy az első téglalapot válasszuk a lehető legnagyobbnak, 12T-nek aztán a másodikat megint a lehető legnagyobbnak, 1214T=18T-nek, mert így csak 58T-t kapunk, ami kisebb, mint 23T.
 
9. Melyek azok az n természetes számok, amelyekre teljesül a következő két feltétel?
Az 1n tizedes tört alakja véges.
Az n2-nek háromszor annyi pozitív osztója van, mint az n-nek.  (16 pont)

 
Megoldás. Az 1n tizedes tört alakja véges, ha n törzstényezős alakjában 2-n és 5-ön kívül más törzstényező nem szerepel: n=2x5y (x,yN).
Az n osztóinak száma: d(n)=(x+1)(y+1), az n2=22x52y osztóinak száma: d(n2)=(2x+1)(2y+1).
3(x+1)(y+1)=(2x+1)(2y+1);xy-x-y-2=0;(x-1)(y-1)=3.
Az x0, y0 miatt csak x=2, y=4 vagy x=4, y=2 lehet. Azaz n=2254=2500, vagy n=2452=400.
A 2500 és a 400 is megfelel a feltételeknek.