A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Határozzuk meg a következő kifejezések pontos értékét:
(5 pont)
Megoldás.
2. Egy négyzet alapú egyenes hasáb (négyzetes oszlop) egy oldallapjának átlója 10 cm, a testátlója 12,5 cm. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? (12 pont) Megoldás. Készítsünk ábrát.
Az és derékszögű háromszögekben: Ebből cm, cm. . A=2a2+4ab≈310,9cm2.
3. Egy téglalap alakú parkban az ábra szerint három egymást és a téglalap oldalait érintő kör alakú virágágyást, valamint a park kerületén, a körök mentén, és a körök középpontjaira illeszkedő, az ábrára berajzolt összes vonal mentén utakat létesítettek. A két kisebb, egyenlő méretű ágyás sugara r=15 m.
a) Mekkora a nagy kör sugara? (2 pont) b) Milyen hosszú a teljes úthálózat? (8 pont) c) Hány százalékát tölti ki a három kör az egész téglalap területének? (4 pont) Megoldás. a) A nagy kör sugara kétszerese a kis kör sugarának, tehát R=30 m. b) Használjuk az ábra jelöléseit. Az úthálózathoz a két kis kör E érintkezési pontjának és a nagy kör O középpontjának távolságát kell meghatároznunk. Az OKE derékszögű háromszögben OK=r+R=45 m. Így a téglalap hosszabbik oldala: 30+42,4+15≈87,4 m. A teljes úthálózat hossza: 3AB+2BC+2OK+2KE+2Rπ+2⋅2rπ==3⋅87,4+2⋅60+2⋅45+30+60π+2⋅30π≈879,2m.
c) A három kör területe: R2π+2r2π=4241m2, a téglalapé: 60⋅87,4=5244m2. A körök területe kb. 80,9%-a a téglalap területének.
4. Adott a síkban 10 általános helyzetű egyenes. (Nincs köztük két párhuzamos, és bármely metszésponton csak két egyenes halad át.) a) Hány metszéspontja van a 10 egyenesnek? (2 pont) b) Hány egymást nem fedő szakaszt, és hány félegyenest számolhatunk össze a 10 egyenesen? (5 pont) c) Véletlenszerűen kiválasztunk a keletkező egyenesdarabok (szakaszok és félegyenesek) közül kettőt. Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott két egyenesdarab azonos típusú lesz? (Mindegyik szakasz, vagy mindegyik félegyenes.) (8 pont) (Pl. ezen az ábrán 4 általános helyzetű egyenesnél 6 metszéspontot, 8 szakaszt és 8 félegyenest, azaz 16 egyenesdarabot számolhatunk össze.)
Megoldás. a) Bármely két egyenes meghatároz egy metszéspontot, ezért (102)=45 metszéspont van. b) Minden egyenest 9 másik metsz, és a 9 metszéspont között 8 szakasz és a két ,,végén'' 1‐1 félegyenes van. Tehát 80 szakaszt és 20 félegyenest számolhatunk össze. c) 100 egyenesdarab közül két egyenesdarabot (1002), két szakaszt (802), két félegyenest (202)-féleképpen választhatunk ki. Tehát annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott két egyenesdarab azonos típusú lesz: | (802)+(202)(1002)=80⋅792+20⋅192100⋅992=67009900=6799=0,6˙7˙. |
II. rész 5. Adott a koordinátarendszerben az A(2;2) és B(9;9) pont. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely illeszkedik az A és B pontokra és érinti az x tengelyt. (16 pont) I. megoldás (paraméteres). Legyen a keresett kör középpontja O(u;v). Mivel a kör érinti az x tengelyt, azért sugara v, egyenlete: (x-u)2+(y-v)2=v2. O illeszkedik az AB szakasz felező merőlegesére, f-re: f:x+y=11, így u+v=11, ebből u=11-v.
A(2;2) a kör egy pontja: (2-u)2+(2-v)2=v2. Beírva u-t: Ebből: v1=5 és v2=17. Ezekhez: u1=6 és u2=-6. Két kört kapunk, amelyek egyenlete: | (x-6)2+(y-5)2=25 és (x+6)2+(y-17)2=289. |
II. megoldás (a szerkesztés menetét követve). Az AB egyenes a P(0;0) pontban metszi az x tengelyt. A P pontból a körhöz húzott érintőszakasz hossza mértani közepe a pontból húzott szelő két darabjának, PA-nak és PB-nek: Így P-ből mindkét irányba fel kell mérnünk az x tengelyre a PE=6 hosszúságú szakaszt. Így kapjuk a két érintési pontot: E1(6;0) és E2(-6;0). A két középpont második koordinátáit az f:x+y=11 egyenletből kaphatjuk: v1=5 és v2=17. A két kör egyenlete: (x-6)2+(y-5)2=25 és (x+6)2+(y-17)2=289.
III. megoldás (mértani helyekkel). Az A(2;2) pontra illeszkedő és x tengelyt érintő körök középpontjai egyenlő távolságra vannak A-tól és az x tengelytől, ezért ezek mértani helye az A fókuszú, x tengely vezéregyenesű parabola, amelynek egyenlete: Ugyanígy a B(9;9) pontra illeszkedő és x tengelyt érintő körök középpontjainak mértani helye az y=118(x-9)2+4,5 egyenletű parabola. A két parabola metszéspontjai lesznek a keresett középpontok: O1(6;5) és O2(-6;17). A két kör egyenlete: (x-6)2+(y-5)2=25 és (x+6)2+(y-17)2=289.
6. Írjuk fel a páratlan természetes számokat a következő háromszög alakú táblázatba úgy, hogy minden sorban eggyel több szám szerepeljen, mint az előzőben: a) Melyik szám áll a 20. sor elején? (3 pont) b) Adjuk meg n függvényében, hogy melyik szám áll az n-edik sor elején, a végén, és mennyi a sorban szereplő számok összege. (6 pont) c) Mennyi lesz a számok összege abban a sorban, amelyben a 2007-es szám szerepel? (3 pont) d) Az első 100 sorból kiválasztunk véletlenszerűen egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a választott sorban a számok összege négyzetszám? (4 pont) Megoldás. a) Az egyes sorokban rendre 1,2,3,...,19,20 db szám szerepel, azaz a sor elején levő számok közötti különbség rendre 2-vel nő. Így a 20. sor elején az | 1+2+4+6+...+19⋅2=1+(2+38)⋅192=381 | szerepel. b) Az egyes sorokban rendre 1,2,3,...,n db szám szerepel, így az n. sor elején az | 1+2+4+6+...+2(n-1)=1+(2+2(n-1))⋅(n-1)2=n2-n+1 | szám áll. Az n-edik sorban álló n szám 2 differenciájú számtani sorozatot alkot, ezért a sor végén az elsőnél 2(n-1)-gyel nagyobb szám, azaz az n2+n-1 szerepel. Az n-edik sorban álló n szám összege: | Sn=[(n2-n+1)+(n2+n-1)]n2=n3. |
c) Azt kell meghatároznunk, hogy melyik sorban szerepel a 2007, azaz melyik a legkisebb n, amelyre 2007≤n2+n-1. A 442+44-1 még csak 1979, de a 452+45-1=2069, tehát 2007 a 45. sorban szerepel. Ebben a sorban a számok összege: 453=91125. d) Azt keressük, hogy az első 100 köbszám közül melyek négyzetszámok. Ezek a hatodik hatványok: 16,26,36,...,106. Tehát a keresett valószínűség: P=10100=0,1.
7. a) Milyen valós x-ek elégítik ki a 4x+1-13⋅6x+9x+1=0 egyenletet? (7 pont) b) Milyen [0∘;180∘] intervallumba eső x szögek elégítik ki a következő egyenletet? | 2sin2x+13sinxcosx-3cos2x=6. | (9 pont) |
Megoldás. a) Az egyenlet így is írható: Minden tag másodfokú a 2x, illetve a 3x változókra. Ilyenkor célszerű mindkét oldalt elosztani az egyik másodfokú kifejezéssel, pl. 9x-nel. Mivel ez nem lehet 0, így az eredetivel ekvivalens egyenlethez jutunk: Az y=(23)x jelöléssel: Ennek gyökei: y1=1 vagy y2=94. Ebből kapjuk: x1=0 vagy x2=-2. Minden lépés ekvivalens átalakítás volt, ezért a kapott számok megoldásai az egyenletnek. b) Írjunk a jobb oldalon 6 helyére (6sin2x+6cos2x)-et, és redukáljuk 0-ra: | 0=4sin2x-13sinxcosx+9cos2x. | Osszuk el mindkét oldalt cos2x-szel. Mivel cos2x zérushelyei nem megoldások, így az eredetivel ekvivalens egyenlethez jutunk: 0=4tg2x-13tgx+9. Az y=tgx jelöléssel az a) feladat (*) egyenletét kapjuk. Abból pedig az x1=45∘ vagy az x2=66,04∘ gyököt kapjuk. Most is minden lépés ekvivalens átalakítás volt, ezért a kapott szögek a megoldások.
8. A T területű ABC hegyesszögű háromszögbe írjunk téglalapot az 1. ábra szerint.
1. ábra a) Az ADE háromszög A-ból induló magassága x-szerese az ABC A-ból induló m magasságának (0<x<1). Fejezzük ki az ADE háromszög és a DEFG téglalap területét T és x segítségével. (4 pont) b) Legfeljebb hányad részét tölti ki a téglalap az ABC háromszög területének? (5 pont) c) Legfeljebb hányad részét tölti ki a 2. ábra szerint berajzolt két téglalap az ABC háromszög területének? (7 pont) 2. ábra Megoldás. a) Az ADE háromszög hasonló az ABC háromszöghöz, és a hasonlóság aránya x, ezért: tADE▵=x2⋅T. DE=xa, DG=(1-x)m, ezért tDEFG=xa(1-x)m=x(1-x)2T. b) Ennek maximuma 14, ha x=12. Ezért tDEFG=x(1-x)2T maximuma T2, ha x=12. Tehát a téglalap legfeljebb a háromszög területének felét töltheti ki, ha a téglalap magassága éppen a háromszög magasságának fele. c) Ha a fenti jelölések szerint osztjuk a magasságot, akkor az alsó téglalap területe x(1-x)2T. A felső téglalap területe, mint az előző pontban láttuk, legfeljebb az ADE háromszög területének fele lehet, tehát 12x2T. Keressük tehát a | t1+t2=[2x(1-x)+12x2]T=[-32(x-23)2+23]T | maximumát. Látható, hogy ennek a maximuma 23T, ha x=23. Tehát a két téglalappal a háromszög területének maximum a kétharmadát tudjuk kitölteni, ha mindkét téglalap magassága harmadrésze a háromszög magasságának.
Megjegyzés. Hibás az a megoldás, hogy az első téglalapot válasszuk a lehető legnagyobbnak, 12T-nek aztán a másodikat megint a lehető legnagyobbnak, 12⋅14T=18T-nek, mert így csak 58T-t kapunk, ami kisebb, mint 23T.
9. Melyek azok az n természetes számok, amelyekre teljesül a következő két feltétel?
‐ | Az 1n tizedes tört alakja véges. |
‐ | Az n2-nek háromszor annyi pozitív osztója van, mint az n-nek. (16 pont) |
Megoldás. Az 1n tizedes tört alakja véges, ha n törzstényezős alakjában 2-n és 5-ön kívül más törzstényező nem szerepel: n=2x⋅5y (x,y∈N). Az n osztóinak száma: d(n)=(x+1)(y+1), az n2=22x52y osztóinak száma: d(n2)=(2x+1)(2y+1). | 3(x+1)(y+1)=(2x+1)(2y+1);xy-x-y-2=0;(x-1)(y-1)=3. | Az x≥0, y≥0 miatt csak x=2, y=4 vagy x=4, y=2 lehet. Azaz n=22⋅54=2500, vagy n=24⋅52=400. A 2500 és a 400 is megfelel a feltételeknek. |