Cím:	Megoldásvázlatok a 2007/3. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Katz Sándor
Füzet:	2007/április, 208 - 213. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Határozzuk meg a következő kifejezések pontos értékét: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a}& {\displaystyle =\text{lg}{1000}^{2007}+\text{lg}0\mathrm{,}{001}^{2007};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle \text{ <span style="font-weight: normal;font-style: normal;">(<span style="font-style: italic;">2 pont</span>)</span>}}\\ \hfill {\displaystyle b}& {\displaystyle =\left(2005!+2006!\right)\left(\frac{1}{2006!}-\frac{1}{2007!}\right);}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle \text{ <span style="font-weight: normal;font-style: normal;">(<span style="font-style: italic;">4 pont</span>)</span>}}\\ \hfill {\displaystyle c}& {\displaystyle =\left(\frac{2}{\sqrt[]{2007}-1}\right)\left(\frac{1}{1+\sqrt[]{3}}+\frac{1}{\sqrt[]{3}+\sqrt[]{5}}+\text{...}+\frac{1}{\sqrt[]{2005}+\sqrt[]{2007}}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$  (5 pont)   Megoldás. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a}& {\displaystyle =\text{lg}{1000}^{2007}+\text{lg}0\mathrm{,}{001}^{2007}=2007\left(\text{lg}1000+\text{lg}0\mathrm{,}001\right)=2007\left(3-3\right)=0.}\hfill \\ \hfill {\displaystyle b}& {\displaystyle =\left(2005!+2006!\right)\left(\frac{1}{2006!}-\frac{1}{2007!}\right)=2005!\left(1+2006\right)\frac{2007-1}{2007!}=1.}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c}& {\displaystyle =\frac{2}{\sqrt[]{2007}-1}\cdot \left(\frac{1}{1+\sqrt[]{3}}+\frac{1}{\sqrt[]{3}+\sqrt[]{5}}+\text{...}+\frac{1}{\sqrt[]{2005}+\sqrt[]{2007}}\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{\sqrt[]{2007}-1}\cdot \left(\frac{\sqrt[]{3}-1}{2}+\frac{\sqrt[]{5}-\sqrt[]{3}}{2}+\text{...}+\frac{\sqrt[]{2007}-\sqrt[]{2005}}{2}\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{\sqrt[]{2007}-1}\cdot \frac{\sqrt[]{2007}-1}{2}=1.}\hfill \end{array}}$   2. Egy négyzet alapú egyenes hasáb (négyzetes oszlop) egy oldallapjának átlója 10 cm, a testátlója 12,5 cm. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata?  (12 pont)   Megoldás. Készítsünk ábrát.     Az $ABA\text{'}$ és $ACA\text{'}$ derékszögű háromszögekben: $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2+b^2=\mathrm{100,}2a^2+b^2=156\mathrm{,}25.}\end{array}$ Ebből $a=7\mathrm{,}5$ cm, $b\approx 6\mathrm{,}614$ cm. $V=a^{2}b\approx 372\mathrm{,}04\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$. $A=2a^2+4ab\approx 310\mathrm{,}9\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$.   3. Egy téglalap alakú parkban az ábra szerint három egymást és a téglalap oldalait érintő kör alakú virágágyást, valamint a park kerületén, a körök mentén, és a körök középpontjaira illeszkedő, az ábrára berajzolt összes vonal mentén utakat létesítettek. A két kisebb, egyenlő méretű ágyás sugara $r=15$ m.     $a)$ Mekkora a nagy kör sugara?  (2 pont) $b)$ Milyen hosszú a teljes úthálózat?  (8 pont) $c)$ Hány százalékát tölti ki a három kör az egész téglalap területének?  (4 pont)   Megoldás. $a)$ A nagy kör sugara kétszerese a kis kör sugarának, tehát $R=30$ m. $b)$ Használjuk az ábra jelöléseit. Az úthálózathoz a két kis kör $E$ érintkezési pontjának és a nagy kör $O$ középpontjának távolságát kell meghatároznunk. Az $OKE$ derékszögű háromszögben $OK=r+R=45$ m. $\begin{array}{c}{\displaystyle OE=\sqrt[]{{45}^2-{15}^2}=\sqrt[]{1800}\approx 42\mathrm{,}4\text{m. }}\end{array}$ Így a téglalap hosszabbik oldala: $30+42\mathrm{,}4+15\approx 87\mathrm{,}4$ m. A teljes úthálózat hossza: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 3AB+2BC+2OK+2KE+2R\pi +2\cdot 2r\pi =}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =3\cdot 87\mathrm{,}4+2\cdot 60+2\cdot 45+30+60\pi +2\cdot 30\pi \approx 879\mathrm{,}2\text{m. }}\hfill \end{array}}$ $c)$ A három kör területe: $R^2\pi +2r^2\pi =4241\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$, a téglalapé: $60\cdot 87\mathrm{,}4=5244\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$. A körök területe kb. 80,9%-a a téglalap területének.   4. Adott a síkban $10$ általános helyzetű egyenes. (Nincs köztük két párhuzamos, és bármely metszésponton csak két egyenes halad át.) $a)$ Hány metszéspontja van a $10$ egyenesnek?  (2 pont) $b)$ Hány egymást nem fedő szakaszt, és hány félegyenest számolhatunk össze a $10$ egyenesen?  (5 pont) $c)$ Véletlenszerűen kiválasztunk a keletkező egyenesdarabok (szakaszok és félegyenesek) közül kettőt. Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott két egyenesdarab azonos típusú lesz? (Mindegyik szakasz, vagy mindegyik félegyenes.)  (8 pont)     (Pl. ezen az ábrán $4$ általános helyzetű egyenesnél $6$ metszéspontot, $8$ szakaszt és $8$ félegyenest, azaz $16$ egyenesdarabot számolhatunk össze.)   Megoldás. $a)$ Bármely két egyenes meghatároz egy metszéspontot, ezért $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=45$ metszéspont van. $b)$ Minden egyenest 9 másik metsz, és a 9 metszéspont között 8 szakasz és a két ,,végén'' 1‐1 félegyenes van. Tehát 80 szakaszt és 20 félegyenest számolhatunk össze. $c)$ 100 egyenesdarab közül két egyenesdarabot $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{2}\right)$, két szakaszt $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{2}\right)$, két félegyenest $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)$-féleképpen választhatunk ki. Tehát annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott két egyenesdarab azonos típusú lesz: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{80}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{2}\right)}=\frac{\frac{80\cdot 79}{2}+\frac{20\cdot 19}{2}}{\frac{100\cdot 99}{2}}=\frac{6700}{9900}=\frac{67}{99}=0\mathrm{,}\dot{6}\dot{7}\mathrm{.}}\end{array}$   II. rész   5. Adott a koordinátarendszerben az $A\left(2;2\right)$ és $B\left(9;9\right)$ pont. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely illeszkedik az $A$ és $B$ pontokra és érinti az $x$ tengelyt.  (16 pont)   I. megoldás (paraméteres). Legyen a keresett kör középpontja $O\left(u;v\right)$. Mivel a kör érinti az $x$ tengelyt, azért sugara $v$, egyenlete: ${\left(x-u\right)}^2+{\left(y-v\right)}^2=v^2$. $O$ illeszkedik az $AB$ szakasz felező merőlegesére, $f$-re: $f:x+y=11$, így $u+v=11$, ebből $u=11-v$.     $A\left(2;2\right)$ a kör egy pontja: ${\left(2-u\right)}^2+{\left(2-v\right)}^2=v^2$. Beírva $u$-t: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left[2-\left(11-v\right)\right]}^2+{\left(2-v\right)}^2=v^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből: $v_1=5$ és $v_2=17$. Ezekhez: $u_1=6$ és $u_2=-6$. Két kört kapunk, amelyek egyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-6\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=25\text{ és }{\left(x+6\right)}^2+{\left(y-17\right)}^2=289.}\end{array}$   II. megoldás (a szerkesztés menetét követve). Az $AB$ egyenes a $P\left(0;0\right)$ pontban metszi az $x$ tengelyt. A $P$ pontból a körhöz húzott érintőszakasz hossza mértani közepe a pontból húzott szelő két darabjának, $PA$-nak és $PB$-nek: $\begin{array}{c}{\displaystyle P{E}^2=PA\cdot PB=2\sqrt[]{2}\cdot 9\sqrt[]{2}=36.}\end{array}$ Így $P$-ből mindkét irányba fel kell mérnünk az $x$ tengelyre a $PE=6$ hosszúságú szakaszt. Így kapjuk a két érintési pontot: $E_1\left(6;0\right)$ és $E_2\left(-6;0\right)$. A két középpont második koordinátáit az $f:x+y=11$ egyenletből kaphatjuk: $v_1=5$ és $v_2=17$. A két kör egyenlete: ${\left(x-6\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=25$ és ${\left(x+6\right)}^2+{\left(y-17\right)}^2=289$.   III. megoldás (mértani helyekkel). Az $A\left(2;2\right)$ pontra illeszkedő és $x$ tengelyt érintő körök középpontjai egyenlő távolságra vannak $A$-tól és az $x$ tengelytől, ezért ezek mértani helye az $A$ fókuszú, $x$ tengely vezéregyenesű parabola, amelynek egyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle y=\frac{1}{4}{\left(x-2\right)}^2+1.}\end{array}$ Ugyanígy a $B\left(9;9\right)$ pontra illeszkedő és $x$ tengelyt érintő körök középpontjainak mértani helye az $y=\frac{1}{18}{\left(x-9\right)}^2+4\mathrm{,}5$ egyenletű parabola. A két parabola metszéspontjai lesznek a keresett középpontok: $O_1\left(6;5\right)$ és $O_2\left(-6;17\right)$. A két kör egyenlete: ${\left(x-6\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=25$ és ${\left(x+6\right)}^2+{\left(y-17\right)}^2=289$.   6. Írjuk fel a páratlan természetes számokat a következő háromszög alakú táblázatba úgy, hogy minden sorban eggyel több szám szerepeljen, mint az előzőben: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccccc}\hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 1}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 3}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 7}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 9}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 11}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 13}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 15}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 17}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 19}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 21}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 23}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{...}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ $a)$ Melyik szám áll a $20$. sor elején?  (3 pont) $b)$ Adjuk meg $n$ függvényében, hogy melyik szám áll az $n$-edik sor elején, a végén, és mennyi a sorban szereplő számok összege.  (6 pont) $c)$ Mennyi lesz a számok összege abban a sorban, amelyben a $2007$-es szám szerepel?  (3 pont) $d)$ Az első $100$ sorból kiválasztunk véletlenszerűen egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a választott sorban a számok összege négyzetszám?  (4 pont)   Megoldás. $a)$ Az egyes sorokban rendre $\mathrm{1,2,3,}\text{...}\mathrm{,19,20}$ db szám szerepel, azaz a sor elején levő számok közötti különbség rendre 2-vel nő. Így a 20. sor elején az $\begin{array}{c}{\displaystyle 1+2+4+6+\text{...}+19\cdot 2=1+\frac{\left(2+38\right)\cdot 19}{2}=381}\end{array}$ szerepel. $b)$ Az egyes sorokban rendre $\mathrm{1,2,3,}\text{...}\mathrm{,}n$ db szám szerepel, így az $n$. sor elején az $\begin{array}{c}{\displaystyle 1+2+4+6+\text{...}+2\left(n-1\right)=1+\frac{\left(2+2\left(n-1\right)\right)\cdot \left(n-1\right)}{2}=n^2-n+1}\end{array}$ szám áll. Az $n$-edik sorban álló $n$ szám 2 differenciájú számtani sorozatot alkot, ezért a sor végén az elsőnél $2\left(n-1\right)$-gyel nagyobb szám, azaz az $n^2+n-1$ szerepel. Az $n$-edik sorban álló $n$ szám összege: $\begin{array}{c}{\displaystyle S_n=\frac{\left[\left(n^2-n+1\right)+\left(n^2+n-1\right)\right]n}{2}=n^3\mathrm{.}}\end{array}$ $c)$ Azt kell meghatároznunk, hogy melyik sorban szerepel a 2007, azaz melyik a legkisebb $n$, amelyre $2007\le n^2+n-1$. A ${44}^2+44-1$ még csak 1979, de a ${45}^2+45-1=2069$, tehát 2007 a 45. sorban szerepel. Ebben a sorban a számok összege: ${45}^3=91125$. $d)$ Azt keressük, hogy az első 100 köbszám közül melyek négyzetszámok. Ezek a hatodik hatványok: $1^6\mathrm{,}{2}^6\mathrm{,}{3}^6\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{10}^6$. Tehát a keresett valószínűség: $P=\frac{10}{100}=0\mathrm{,}1$.   7. $a)$ Milyen valós $x$-ek elégítik ki a $4^{x+1}-13\cdot 6^x+9^{x+1}=0$ egyenletet?  (7 pont) $b)$ Milyen $\left[0^{\circ };{180}^{\circ }\right]$ intervallumba eső $x$ szögek elégítik ki a következő egyenletet? $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\text{sin}{}^{2}x+13\text{sin}x\text{cos}x-3\text{cos}{}^{2}x=6.}\end{array}$ (9 pont)   Megoldás. $a)$ Az egyenlet így is írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\cdot 4^x-13\cdot 6^x+9\cdot 9^x=0.}\end{array}$ Minden tag másodfokú a $2^x$, illetve a $3^x$ változókra. Ilyenkor célszerű mindkét oldalt elosztani az egyik másodfokú kifejezéssel, pl. $9^x$-nel. Mivel ez nem lehet 0, így az eredetivel ekvivalens egyenlethez jutunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}-13\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^x+9=0.}\end{array}$ Az $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ jelöléssel: $\begin{array}{c}{\displaystyle 4y^2-13y+9=0.}\end{array}$ ($*$) Ennek gyökei: $y_1=1$ vagy $y_2=\frac{9}{4}$. Ebből kapjuk: $x_1=0$ vagy $x_2=-2$. Minden lépés ekvivalens átalakítás volt, ezért a kapott számok megoldásai az egyenletnek. $b)$ Írjunk a jobb oldalon 6 helyére $\left(6\text{sin}{}^{2}x+6\text{cos}{}^{2}x\right)$-et, és redukáljuk 0-ra: $\begin{array}{c}{\displaystyle 0=4\text{sin}{}^{2}x-13\text{sin}x\text{cos}x+9\text{cos}{}^{2}x\mathrm{.}}\end{array}$ Osszuk el mindkét oldalt $\text{cos}{}^{2}x$-szel. Mivel $\text{cos}{}^{2}x$ zérushelyei nem megoldások, így az eredetivel ekvivalens egyenlethez jutunk: $0=4\text{tg}{}^{2}x-13\text{tg}x+9$. Az $y=\text{tg}x$ jelöléssel az $a)$ feladat $\left(*\right)$ egyenletét kapjuk. Abból pedig az $x_1={45}^{\circ }$ vagy az $x_2=66\mathrm{,}{04}^{\circ }$ gyököt kapjuk. Most is minden lépés ekvivalens átalakítás volt, ezért a kapott szögek a megoldások.   8. A $T$ területű $ABC$ hegyesszögű háromszögbe írjunk téglalapot az 1. ábra szerint.     1. ábra   $a)$ Az $ADE$ háromszög $A$-ból induló magassága $x$-szerese az $ABC$ $A$-ból induló $m$ magasságának $\left(0<x<1\right)$. Fejezzük ki az $ADE$ háromszög és a $DEFG$ téglalap területét $T$ és $x$ segítségével.  (4 pont) $b)$ Legfeljebb hányad részét tölti ki a téglalap az $ABC$ háromszög területének?  (5 pont) $c)$ Legfeljebb hányad részét tölti ki a 2. ábra szerint berajzolt két téglalap az $ABC$ háromszög területének?  (7 pont)     2. ábra   Megoldás. $a)$ Az $ADE$ háromszög hasonló az $ABC$ háromszöghöz, és a hasonlóság aránya $x$, ezért: $t_{ADE▵}=x^2\cdot T$. $DE=xa$, $DG=\left(1-x\right)m$, ezért $t_{DEFG}=xa\left(1-x\right)m=x\left(1-x\right)2T$. $b)$ $\begin{array}{c}{\displaystyle x\left(1-x\right)=x-x^2=-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ Ennek maximuma $\frac{1}{4}$, ha $x=\frac{1}{2}$. Ezért $t_{DEFG}=x\left(1-x\right)2T$ maximuma $\frac{T}{2}$, ha $x=\frac{1}{2}$. Tehát a téglalap legfeljebb a háromszög területének felét töltheti ki, ha a téglalap magassága éppen a háromszög magasságának fele. $c)$ Ha a fenti jelölések szerint osztjuk a magasságot, akkor az alsó téglalap területe $x\left(1-x\right)2T$. A felső téglalap területe, mint az előző pontban láttuk, legfeljebb az $ADE$ háromszög területének fele lehet, tehát $\frac{1}{2}{x}^{2}T$. Keressük tehát a $\begin{array}{c}{\displaystyle t_1+t_2=\left[2x\left(1-x\right)+\frac{1}{2}{x}^2\right]T=\left[-\frac{3}{2}{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{2}{3}\right]T}\end{array}$ maximumát. Látható, hogy ennek a maximuma $\frac{2}{3}T$, ha $x=\frac{2}{3}$. Tehát a két téglalappal a háromszög területének maximum a kétharmadát tudjuk kitölteni, ha mindkét téglalap magassága harmadrésze a háromszög magasságának.   Megjegyzés. Hibás az a megoldás, hogy az első téglalapot válasszuk a lehető legnagyobbnak, $\frac{1}{2}T$-nek aztán a másodikat megint a lehető legnagyobbnak, $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}T=\frac{1}{8}T$-nek, mert így csak $\frac{5}{8}T$-t kapunk, ami kisebb, mint $\frac{2}{3}T$.   9. Melyek azok az $n$ természetes számok, amelyekre teljesül a következő két feltétel? ‐ Az $\frac{1}{n}$ tizedes tört alakja véges. ‐ Az $n^2$-nek háromszor annyi pozitív osztója van, mint az $n$-nek.  (16 pont)   Megoldás. Az $\frac{1}{n}$ tizedes tört alakja véges, ha $n$ törzstényezős alakjában 2-n és 5-ön kívül más törzstényező nem szerepel: $n=2^x\cdot 5^y$ ($x\mathrm{,}y\in \text{N}$). Az $n$ osztóinak száma: $\text{d}\left(n\right)=\left(x+1\right)\left(y+1\right)$, az $n^2=2^{2x}{5}^{2y}$ osztóinak száma: $\text{d}\left(n^2\right)=\left(2x+1\right)\left(2y+1\right)$. $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\left(x+1\right)\left(y+1\right)=\left(2x+1\right)\left(2y+1\right);xy-x-y-2=0;\left(x-1\right)\left(y-1\right)=3.}\end{array}$ Az $x\ge 0$, $y\ge 0$ miatt csak $x=2$, $y=4$ vagy $x=4$, $y=2$ lehet. Azaz $n=2^2\cdot 5^4=2500$, vagy $n=2^4\cdot 5^2=400$. A 2500 és a 400 is megfelel a feltételeknek.