Cím: Megoldásvázlatok a 2007/2. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2007/március, 140 - 144. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Az ABC szabályos háromszögben az A középpontú, AB sugarú kör kisebbik BC ívének B-hez közelebbi harmadolópontja D, C-hez közelebbi harmadolópontja pedig E. A B középpontú AB sugarú kör kisebbik AC ívének felezőpontja F. Mekkorák az ABDECF hatszög belső szögei?  (11 pont)
 
Megoldás. Az ABC szabályos háromszög minden szöge 60-os. Az AFB és az FBC egyenlőszárú háromszögnek B-nél 30-os szárszöge van, ezért az alapokon fekvő szögeik 75-osak. A CAE, az EAD és a DAB egyenlőszárú háromszögeknek A-nál 20-os szárszögük van, ezért az alapokon fekvő szögeik 80-osak. Ezek alapján a szögek a következők:
 
 

A-nál 75, B-nél 80, D-nél és E-nél 280, azaz 160, C-nél 80+75-60=95, F-nél 275, azaz 150.
 
2. Oldjuk meg a következő egyenletet:
x2-2x-15lg(5-x)sin(x-π3)=0.(12 pont)

 
Megoldás. A négyzetgyök értelmezése miatt: x2-2x-150, azaz x]-;-3][5;[, a logaritmus definíciója miatt: x]-;5[. Vagyis a feladat értelmezési tartománya: x]-;-3].
A három tényező zérushelyeit külön-külön megvizsgáljuk.
Az első tényező zérushelyei a -3 és az 5, de a feladat értelmezési tartományának csak a -3 felel meg.
A második tényező zérushelye a 4, de ez nincs benne az értelmezési tartományban.
A harmadik tényező zérushelyei: x=π3+kπ, ahol k egész szám. A feladat értelmezési tartománya miatt azonban k<-1.
A megoldás: x1=-3, x2=π3+kπ, ahol k<-1 egész szám.
 
3. Egy vihar után tizenkét telefonvonal közül négy nem működik. Ekkor négy vonalon megpróbálunk telefonálni. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a négy hívásból pontosan kettő lesz sikeres?  (14 pont)
 
Megoldás. Kiszámítjuk az összes lehetőséget. A 12 vonal közül négyen próbálunk telefonálni, így a 12-ből 4-et kell kiválasztani (a sorrend nem számít). Ezt (124)=495-féleképpen tehetjük meg. Most a vizsgált esemény szempontjából kedvező eseteket számoljuk össze. A két sikeres hívás a nyolc jó vezetéken, a két sikertelen hívás a négy rossz vezetéken történik (a sorrend itt sem számít). Ez (82)(42)=286=168-féleképpen történhet.
A keresett valószínűség: p=1684950,34.
 
4. Mutassuk meg, hogy az {an} számtani sorozatban:
(x-y)az+(y-z)ax=(x-z)ay,
ahol x, y és z természetes számok.  (14 pont)
 
Megoldás. Fejezzük ki az első tag és a különbség segítségével a feladatban szereplő tagokat:
ax=a1+(x-1)d,ay=a1+(y-1)d,az=a1+(z-1)d.
Írjuk fel a páronkénti különbségüket:
ax-ay=(x-y)d,ay-az=(y-z)d,ax-az=(x-z)d.
Ha d0, akkor ezeket a következő alakban is írhatjuk:
ax-aydaz=(x-y)az,ay-azdax=(y-z)ax,ax-azday=(x-z)ay.
Mivel az első kettő összege a harmadikat adja, azért a bizonyítandó állítást kaptuk.
Ha d=0, akkor ax=ay=az, az állítás ekkor is igaz.
 

II. rész
 

5. Egy húrtrapéz három csúcsának koordinátája a következő: (-1;-3); (5;-1); (2;3). Határozzuk meg a negyedik csúcs koordinátáit, ha az ismeretlen pont két koordinátájának szorzata negatív.  (16 pont)
 
Megoldás. A feladat feltételei szerint a negyedik pontnak a II. vagy a IV. negyedben kell lennie.
Legyen A(-1;-3); B(5;-1); C(2;3).
1. eset: AB a szár. Belátható, hogy ekkor a D csúcs a III. negyedben van.
2. eset: AB a hosszabb alap, BC a szár, aminek hossza 5. A C pontra illeszkedő AB-vel párhuzamos egyenes egyenlete: x-3y=-7. Ez az egyenes az A középpontú 5 sugarú körből (amelynek egyenlete: (x+1)2+(y+3)2=25) kimetszi a D pontot. Két metszéspontot kapunk. A D1(-4;1) nem jó, mert ekkor a négyszög olyan paralelogramma, ami nem húrtrapéz. A D2(-1;2) minden feltételnek megfelel.
 
 

3. eset: AC a hosszabb alap, BC a szár, aminek hossza 5. A B pontra illeszkedő AC-vel párhuzamos egyenes egyenlete: 2x-y=11. Ez az egyenes az A középpontú 5 sugarú körből kimetszi a D pontot. Két metszéspontot kapunk. A D3(2;-7) nem jó, mert ekkor a négyszög olyan paralelogramma, ami nem húrtrapéz. A D4(4;-3) minden feltételnek megfelel.
Vagyis a (-1;2), illetve a (4;-3) koordinátájú pont lehet a húrtrapéz negyedik csúcsa.
 
6. Egy iskola két párhuzamos osztálya közös dolgozatot írt, az elérhető legmagasabb pontszám 120 pont volt. Az A osztályban 74 pont, a B osztályban 84 pont lett az átlag. Az A osztályos lányok átlaga 71 pont, a B osztályos lányok pedig 81 pontot értek el átlagosan. Az összes lány átlaga 79 pont lett. A fiúk átlaga az A osztályban 76 pont, a B osztályban pedig 90 pont. Mennyi a két osztályban az összes fiú átlagpontszáma?  (16 pont)
 
Megoldás. Készítsünk egy táblázatot a rendelkezésünkre álló adatok alapján. A két osztályban az összes fiú átlagpontszáma legyen x.
lányokfiúkosztályA717674B819084  összes79x
Legyen az A osztályban a lány, a B osztályban b lány, az A osztályban c fiú, a B osztályban d fiú. Ekkor a táblázat első sora alapján:
71a+76c=74(a+c).(1)
A táblázat második sora alapján:
81b+90d=84(b+d).(2)
A táblázat első oszlopa alapján:
71a+81b=79(a+b).(3)
A táblázat második oszlopa alapján:
76c+90d=x(c+d),  vagyis:  x=76c+90dc+d.(4)
  Az (1), (2) és (3) egyenleteket rendezzük:(1)-ből:c=1,5a;(2)-ből:d=0,5b;(3)-ból:b=4a.
Vagyis d=0,54a=2a.
Alkalmazzuk (4)-ben a c=1,5a és a d=2a helyettesítéseket:
x=76c+90dc+d=761,5a+902a1,5a+2a=294a3,5a=84.
A két osztályban az összes fiú átlagpontszáma 84.
 
7. Egy kis patak vízmélységét a folyás irányára merőlegesen az f:[0;3]R, xx3-9x9 függvény adja meg (ahol az egységek métert jelentenek).
a) A patak szélétől hány méterre a legmélyebb a víz?
b) Mekkora a legnagyobb vízmélység?
c) Mekkora a patak percenkénti vízhozama, ha a folyási sebességét 0,5ms-nak vehetjük?
 
Megoldás. a) A függvény minimumhelyét keressük. Vegyük a függvény deriváltját:
f'(x)=19(3x2-9)=13(x2-3).
[0;3] intervallumon egyetlen zérushelye van: x=3. Itt a derivált előjelet vált, negatívból pozitív lesz, ezért a függvénynek az x=3 a minimumhelye. Vagyis a patak egyik szélétől 3, a másik szélétől 3-3 méterre a legmélyebb a víz.
 
 

b) A legnagyobb vízmélységet akkor kapjuk, ha a függvény minimumértékét kiszámítjuk.
f(3)=(3)3-939=33-939=-233-1,15.
Vagyis kb. 1,15 méter a legnagyobb vízmélység.
c) A patak keresztmetszetének területét a következő integrál adja:
039x-x39dx=19[9x22-x44]03=19(812-814)=2,25.
Vagyis 2,25 m2 a keresztmetszete a vizsgált helyen a pataknak, így a percenkénti vízhozam 0,5602,25m3=67,5m3.
 
8. Egy ötszög csúcsainak koordinátája: A(0;0), B(12;5), C(12;6), D(10;8), E(4;6).
a) Hány rácspont található az ötszög határvonalán?
b) Hány rácspont található az ötszög belsejében?
c) A rácspontokra rajzolt sokszögek területét meghatározhatjuk a következő képlettel: t=h+2b-22, ahol h a határvonalon, b a belsejében lévő rácspontok számát jelöli. Mennyi ezen képlet szerint a feladatban szereplő ötszög területe?
d) Határozzuk meg a fenti képlet ismerete nélkül az ötszög területét.  (16 pont)
 
Megoldás. a) Az AB és a BC szakaszokon nincs rácspont, a CD, a DE és a AE szakaszokon pedig 1‐1 db van. A csúcspontokkal együtt összesen 8 db van. (Ahol bizonytalanok vagyunk a döntésben, hogy a rácspont illeszkedik-e a szakaszra, ott a két pontra illeszkedő egyenes egyenletével gyorsan lehet dönteni.)
 
 

b) Az egyenesek ismeretében az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ordinátákhoz rendre 2, 3, 5, 7, 8, 7, 3 pont tartozik.
Vagyis összesen 35 rácspont van az ötszög belsejében.
c) Számításaink szerint: h=8, b=35. Ezeket a megadott képletbe behelyettesítve:
t=h+2b-22=8+235-22=38.

d) Az ötszög befoglalható egy 12-szer 8-as téglalapba. A téglalapból négy derékszögű háromszöget és egy kis téglalapot kell levágnunk, hogy az ABCDE ötszöget kapjuk. Vagyis: t=96-30-2-6-12-8=38.
 
9. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
log3log2(4x2)+log13log121x=1.(16 pont)

 
Megoldás. A feladat értelmezési tartománya: x>0.
Végezzük el a következő átalakításokat:
log3log2(4x2)-log3log12(x)-1=1,log3log2(4x2)-log3log2x=1,log3log2(4x2)log2x=1=log33.
A logaritmus függvény kölcsönös egyértelműsége miatt:
log2(4x2)log2x=3,  vagyis  log2(4x2)=3log2x.
Ezt így is írhatjuk: log2(4x2)=log2x3, azaz 4x2=x3. Vagyis az egyenlet egyedüli megoldása az értelmezési tartományon: x=4.