A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Az szabályos háromszögben az középpontú, sugarú kör kisebbik ívének -hez közelebbi harmadolópontja , -hez közelebbi harmadolópontja pedig . A középpontú sugarú kör kisebbik ívének felezőpontja . Mekkorák az hatszög belső szögei? (11 pont) Megoldás. Az szabályos háromszög minden szöge -os. Az és az egyenlőszárú háromszögnek -nél -os szárszöge van, ezért az alapokon fekvő szögeik -osak. A , az és a egyenlőszárú háromszögeknek -nál -os szárszögük van, ezért az alapokon fekvő szögeik -osak. Ezek alapján a szögek a következők:
-nál , -nél , -nél és -nél , azaz , -nél , -nél , azaz .
2. Oldjuk meg a következő egyenletet: | | (12 pont) |
Megoldás. A négyzetgyök értelmezése miatt: , azaz , a logaritmus definíciója miatt: . Vagyis a feladat értelmezési tartománya: . A három tényező zérushelyeit külön-külön megvizsgáljuk. Az első tényező zérushelyei a és az 5, de a feladat értelmezési tartományának csak a felel meg. A második tényező zérushelye a 4, de ez nincs benne az értelmezési tartományban. A harmadik tényező zérushelyei: , ahol egész szám. A feladat értelmezési tartománya miatt azonban . A megoldás: , , ahol egész szám.
3. Egy vihar után tizenkét telefonvonal közül négy nem működik. Ekkor négy vonalon megpróbálunk telefonálni. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a négy hívásból pontosan kettő lesz sikeres? (14 pont) Megoldás. Kiszámítjuk az összes lehetőséget. A 12 vonal közül négyen próbálunk telefonálni, így a 12-ből 4-et kell kiválasztani (a sorrend nem számít). Ezt -féleképpen tehetjük meg. Most a vizsgált esemény szempontjából kedvező eseteket számoljuk össze. A két sikeres hívás a nyolc jó vezetéken, a két sikertelen hívás a négy rossz vezetéken történik (a sorrend itt sem számít). Ez -féleképpen történhet. A keresett valószínűség: .
4. Mutassuk meg, hogy az számtani sorozatban: ahol , és természetes számok. (14 pont) Megoldás. Fejezzük ki az első tag és a különbség segítségével a feladatban szereplő tagokat: | | Írjuk fel a páronkénti különbségüket: | | Ha , akkor ezeket a következő alakban is írhatjuk: | | Mivel az első kettő összege a harmadikat adja, azért a bizonyítandó állítást kaptuk. Ha , akkor , az állítás ekkor is igaz.
II. rész 5. Egy húrtrapéz három csúcsának koordinátája a következő: ; ; . Határozzuk meg a negyedik csúcs koordinátáit, ha az ismeretlen pont két koordinátájának szorzata negatív. (16 pont) Megoldás. A feladat feltételei szerint a negyedik pontnak a II. vagy a IV. negyedben kell lennie. Legyen ; ; . 1. eset: a szár. Belátható, hogy ekkor a csúcs a III. negyedben van. 2. eset: a hosszabb alap, a szár, aminek hossza 5. A pontra illeszkedő -vel párhuzamos egyenes egyenlete: . Ez az egyenes az középpontú 5 sugarú körből (amelynek egyenlete: ) kimetszi a pontot. Két metszéspontot kapunk. A nem jó, mert ekkor a négyszög olyan paralelogramma, ami nem húrtrapéz. A minden feltételnek megfelel.
3. eset: a hosszabb alap, a szár, aminek hossza 5. A pontra illeszkedő -vel párhuzamos egyenes egyenlete: . Ez az egyenes az középpontú 5 sugarú körből kimetszi a pontot. Két metszéspontot kapunk. A nem jó, mert ekkor a négyszög olyan paralelogramma, ami nem húrtrapéz. A minden feltételnek megfelel. Vagyis a , illetve a koordinátájú pont lehet a húrtrapéz negyedik csúcsa.
6. Egy iskola két párhuzamos osztálya közös dolgozatot írt, az elérhető legmagasabb pontszám pont volt. Az osztályban pont, a osztályban pont lett az átlag. Az osztályos lányok átlaga pont, a osztályos lányok pedig pontot értek el átlagosan. Az összes lány átlaga pont lett. A fiúk átlaga az osztályban pont, a osztályban pedig pont. Mennyi a két osztályban az összes fiú átlagpontszáma? (16 pont) Megoldás. Készítsünk egy táblázatot a rendelkezésünkre álló adatok alapján. A két osztályban az összes fiú átlagpontszáma legyen . | | Legyen az A osztályban a lány, a B osztályban b lány, az A osztályban c fiú, a B osztályban d fiú. Ekkor a táblázat első sora alapján: A táblázat második sora alapján: A táblázat első oszlopa alapján: A táblázat második oszlopa alapján: | 76c+90d=x(c+d), vagyis: x=76c+90dc+d. | (4) | Az (1), (2) és (3) egyenleteket rendezzük:(1)-ből:c=1,5a;(2)-ből:d=0,5b;(3)-ból:b=4a. Vagyis d=0,5⋅4a=2a. Alkalmazzuk (4)-ben a c=1,5a és a d=2a helyettesítéseket: | x=76c+90dc+d=76⋅1,5a+90⋅2a1,5a+2a=294a3,5a=84. | A két osztályban az összes fiú átlagpontszáma 84.
7. Egy kis patak vízmélységét a folyás irányára merőlegesen az f:[0;3]→R, x↦x3-9x9 függvény adja meg (ahol az egységek métert jelentenek). a) A patak szélétől hány méterre a legmélyebb a víz? b) Mekkora a legnagyobb vízmélység? c) Mekkora a patak percenkénti vízhozama, ha a folyási sebességét 0,5ms-nak vehetjük?
Megoldás. a) A függvény minimumhelyét keressük. Vegyük a függvény deriváltját: | f'(x)=19(3x2-9)=13(x2-3). | A [0;3] intervallumon egyetlen zérushelye van: x=3. Itt a derivált előjelet vált, negatívból pozitív lesz, ezért a függvénynek az x=3 a minimumhelye. Vagyis a patak egyik szélétől 3, a másik szélétől 3-3 méterre a legmélyebb a víz.
b) A legnagyobb vízmélységet akkor kapjuk, ha a függvény minimumértékét kiszámítjuk. | f(3)=(3)3-939=33-939=-233≈-1,15. | Vagyis kb. 1,15 méter a legnagyobb vízmélység. c) A patak keresztmetszetének területét a következő integrál adja: | ∫039x-x39dx=19[9x22-x44]03=19(812-814)=2,25. | Vagyis 2,25 m2 a keresztmetszete a vizsgált helyen a pataknak, így a percenkénti vízhozam 0,5⋅60⋅2,25m3=67,5m3.
8. Egy ötszög csúcsainak koordinátája: A(0;0), B(12;5), C(12;6), D(10;8), E(4;6). a) Hány rácspont található az ötszög határvonalán? b) Hány rácspont található az ötszög belsejében? c) A rácspontokra rajzolt sokszögek területét meghatározhatjuk a következő képlettel: t=h+2b-22, ahol h a határvonalon, b a belsejében lévő rácspontok számát jelöli. Mennyi ezen képlet szerint a feladatban szereplő ötszög területe? d) Határozzuk meg a fenti képlet ismerete nélkül az ötszög területét. (16 pont) Megoldás. a) Az AB és a BC szakaszokon nincs rácspont, a CD, a DE és a AE szakaszokon pedig 1‐1 db van. A csúcspontokkal együtt összesen 8 db van. (Ahol bizonytalanok vagyunk a döntésben, hogy a rácspont illeszkedik-e a szakaszra, ott a két pontra illeszkedő egyenes egyenletével gyorsan lehet dönteni.)
b) Az egyenesek ismeretében az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ordinátákhoz rendre 2, 3, 5, 7, 8, 7, 3 pont tartozik. Vagyis összesen 35 rácspont van az ötszög belsejében. c) Számításaink szerint: h=8, b=35. Ezeket a megadott képletbe behelyettesítve: d) Az ötszög befoglalható egy 12-szer 8-as téglalapba. A téglalapból négy derékszögű háromszöget és egy kis téglalapot kell levágnunk, hogy az ABCDE ötszöget kapjuk. Vagyis: t=96-30-2-6-12-8=38.
9. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: | log3log2(4x2)+log13log121x=1. | (16 pont) |
Megoldás. A feladat értelmezési tartománya: x>0. Végezzük el a következő átalakításokat:
log3log2(4x2)-log3log12(x)-1=1,log3log2(4x2)-log3log2x=1,log3log2(4x2)log2x=1=log33.
A logaritmus függvény kölcsönös egyértelműsége miatt: | log2(4x2)log2x=3, vagyis log2(4x2)=3log2x. | Ezt így is írhatjuk: log2(4x2)=log2x3, azaz 4x2=x3. Vagyis az egyenlet egyedüli megoldása az értelmezési tartományon: x=4. |