Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Katz Sándor 
Füzet: 2007/március, 137 - 139. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Határozzuk meg a következő kifejezések pontos értékét:
a=lg10002007+lg0,0012007;
  (2 pont)
b=(2005!+2006!)(12006!-12007!);
  (4 pont)
c=(22007-1)(11+3+13+5+...+12005+2007).
  (5 pont)
 

2. Egy négyzet alapú egyenes hasáb (négyzetes oszlop) egy oldallapjának átlója 10 cm, a testátlója 12,5 cm. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata?  (12 pont)
 

3. Egy téglalap alakú parkban az ábra szerint három egymást és a téglalap oldalait érintő kör alakú virágágyást, valamint a park kerületén, a körök mentén, és a körök középpontjaira illeszkedő, az ábrára berajzolt összes vonal mentén utakat létesítettek. A két kisebb, egyenlő méretű ágyás sugara r=15 m.
 
 

a) Mekkora a nagy kör sugara?  (2 pont)
b) Milyen hosszú a teljes úthálózat?  (8 pont)
c) Hány százalékát tölti ki a három kör az egész téglalap területének?  (4 pont)
 

4. Adott a síkban 10 általános helyzetű egyenes. (Nincs köztük két párhuzamos, és bármely metszésponton csak két egyenes halad át.)
a) Hány metszéspontja van a 10 egyenesnek?  (2 pont)
b) Hány egymást nem fedő szakaszt, és hány félegyenest számolhatunk össze a 10 egyenesen?  (5 pont)
c) Véletlenszerűen kiválasztunk a keletkező egyenesdarabok (szakaszok és félegyenesek) közül kettőt. Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott két egyenesdarab azonos típusú lesz? (Mindegyik szakasz, vagy mindegyik félegyenes.)  (8 pont)
(Pl. ezen az ábrán 4 általános helyzetű egyenesnél 6 metszéspontot, 8 szakaszt és 8 félegyenest, azaz 16 egyenesdarabot számolhatunk össze.)
 
 

 

II. rész
 

5. Adott a koordinátarendszerben az A(2;2) és B(9;9) pont. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely illeszkedik az A és B pontokra és érinti az x tengelyt.  (16 pont)
 

6. Írjuk fel a páratlan természetes számokat a következő háromszög alakú táblázatba úgy, hogy minden sorban eggyel több szám szerepeljen, mint az előzőben:
1357911131517192123...

a) Melyik szám áll a 20. sor elején?  (3 pont)
b) Adjuk meg n függvényében, hogy melyik szám áll az n-edik sor elején, a végén, és mennyi a sorban szereplő számok összege.  (6 pont)
c) Mennyi lesz a számok összege abban a sorban, amelyben a 2007-es szám szerepel?  (3 pont)
d) Az első 100 sorból kiválasztunk véletlenszerűen egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a választott sorban a számok összege négyzetszám?  (4 pont)
 

7. a) Milyen valós x-ek elégítik ki a 4x+1-136x+9x+1=0 egyenletet?  (7 pont)
b) Milyen [0;180] intervallumba eső x szögek elégítik ki a következő egyenletet?
2sin2x+13sinxcosx-3cos2x=6.
  (9 pont)
 

8. A T területű ABC hegyesszögű háromszögbe írjunk téglalapot az 1. ábra szerint.
 

 
1. ábra
 

a) Az ADE háromszög A-ból induló magassága x-szerese az ABC A-ból induló m magasságának (0<x<1). Fejezzük ki az ADE háromszög és a DEFG téglalap területét T és x segítségével.  (4 pont)
b) Legfeljebb hányad részét tölti ki a téglalap az ABC háromszög területének?  (5 pont)
c) Legfeljebb hányad részét tölti ki a 2. ábra szerint berajzolt két téglalap az ABC háromszög területének?  (7 pont)
 

 
2. ábra
 

9. Melyek azok az n természetes számok, amelyekre teljesül a következő két feltétel?
Az 1n tizedes tört alakja véges.
Az n2-nek háromszor annyi pozitív osztója van, mint az n-nek.  (16 pont)