Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Katz Sándor
Füzet:	2007/március, 137 - 139. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Határozzuk meg a következő kifejezések pontos értékét: $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\text{lg}{1000}^{2007}+\text{lg}0\mathrm{,}{001}^{2007};}\end{array}$   (2 pont) $\begin{array}{c}{\displaystyle b=\left(2005!+2006!\right)\left(\frac{1}{2006!}-\frac{1}{2007!}\right);}\end{array}$   (4 pont) $\begin{array}{c}{\displaystyle c=\left(\frac{2}{\sqrt[]{2007}-1}\right)\left(\frac{1}{1+\sqrt[]{3}}+\frac{1}{\sqrt[]{3}+\sqrt[]{5}}+\text{...}+\frac{1}{\sqrt[]{2005}+\sqrt[]{2007}}\right)\mathrm{.}}\end{array}$   (5 pont)   2. Egy négyzet alapú egyenes hasáb (négyzetes oszlop) egy oldallapjának átlója 10 cm, a testátlója 12,5 cm. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata?  (12 pont)   3. Egy téglalap alakú parkban az ábra szerint három egymást és a téglalap oldalait érintő kör alakú virágágyást, valamint a park kerületén, a körök mentén, és a körök középpontjaira illeszkedő, az ábrára berajzolt összes vonal mentén utakat létesítettek. A két kisebb, egyenlő méretű ágyás sugara $r=15$ m.     $a)$ Mekkora a nagy kör sugara?  (2 pont) $b)$ Milyen hosszú a teljes úthálózat?  (8 pont) $c)$ Hány százalékát tölti ki a három kör az egész téglalap területének?  (4 pont)   4. Adott a síkban $10$ általános helyzetű egyenes. (Nincs köztük két párhuzamos, és bármely metszésponton csak két egyenes halad át.) $a)$ Hány metszéspontja van a $10$ egyenesnek?  (2 pont) $b)$ Hány egymást nem fedő szakaszt, és hány félegyenest számolhatunk össze a $10$ egyenesen?  (5 pont) $c)$ Véletlenszerűen kiválasztunk a keletkező egyenesdarabok (szakaszok és félegyenesek) közül kettőt. Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott két egyenesdarab azonos típusú lesz? (Mindegyik szakasz, vagy mindegyik félegyenes.)  (8 pont) (Pl. ezen az ábrán $4$ általános helyzetű egyenesnél $6$ metszéspontot, $8$ szakaszt és $8$ félegyenest, azaz $16$ egyenesdarabot számolhatunk össze.)       II. rész   5. Adott a koordinátarendszerben az $A\left(2;2\right)$ és $B\left(9;9\right)$ pont. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely illeszkedik az $A$ és $B$ pontokra és érinti az $x$ tengelyt.  (16 pont)   6. Írjuk fel a páratlan természetes számokat a következő háromszög alakú táblázatba úgy, hogy minden sorban eggyel több szám szerepeljen, mint az előzőben: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccccc}\hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 1}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 3}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 5}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 7}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 9}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 11}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 13}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 15}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 17}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 19}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 21}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 23}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{...}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ $a)$ Melyik szám áll a 20. sor elején?  (3 pont) $b)$ Adjuk meg $n$ függvényében, hogy melyik szám áll az $n$-edik sor elején, a végén, és mennyi a sorban szereplő számok összege.  (6 pont) $c)$ Mennyi lesz a számok összege abban a sorban, amelyben a $2007$-es szám szerepel?  (3 pont) $d)$ Az első $100$ sorból kiválasztunk véletlenszerűen egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a választott sorban a számok összege négyzetszám?  (4 pont)   7. $a)$ Milyen valós $x$-ek elégítik ki a $4^{x+1}-13\cdot 6^x+9^{x+1}=0$ egyenletet?  (7 pont) $b)$ Milyen $\left[0^{\circ };{180}^{\circ }\right]$ intervallumba eső $x$ szögek elégítik ki a következő egyenletet? $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\text{sin}{}^{2}x+13\text{sin}x\text{cos}x-3\text{cos}{}^{2}x=6.}\end{array}$   (9 pont)   8. A $T$ területű $ABC$ hegyesszögű háromszögbe írjunk téglalapot az 1. ábra szerint.     1. ábra   $a)$ Az $ADE$ háromszög $A$-ból induló magassága $x$-szerese az $ABC$ $A$-ból induló $m$ magasságának ($0<x<1$). Fejezzük ki az $ADE$ háromszög és a $DEFG$ téglalap területét $T$ és $x$ segítségével.  (4 pont) $b)$ Legfeljebb hányad részét tölti ki a téglalap az $ABC$ háromszög területének?  (5 pont) $c)$ Legfeljebb hányad részét tölti ki a 2. ábra szerint berajzolt két téglalap az $ABC$ háromszög területének?  (7 pont)     2. ábra   9. Melyek azok az $n$ természetes számok, amelyekre teljesül a következő két feltétel? ‐ Az $\frac{1}{n}$ tizedes tört alakja véges. ‐ Az $n^2$-nek háromszor annyi pozitív osztója van, mint az $n$-nek.  (16 pont)