Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Gerőcs László 
Füzet: 2009/április, 194 - 196. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert az egész számpárok halmazán:
9x3y=81,6x+6y+5xy=0.}
 (11 pont)
 

2. Az 1,2,3,...,n pozitív egész számok felhasználásával halmazokat képeztünk az alábbi módon:
A  halmaz a páros számok halmaza;B  halmaz a 3-mal osztható számok halmaza;C  halmaz az 5-tel osztható számok halmaza.  

a) Véletlenszerűen kiválasztva egy számot az n db szám közül, mekkora annak a valószínűsége, hogy azt nem használtuk fel a halmazok képzésekor, ha n=48?  (6 pont)
b) Ha az ABC halmaznak 2 eleme van, akkor hány eleme lehet az (AB)C halmaznak?  (7 pont)
 

3. Egy szarvasmarha telepen 1000 tehenet tartanak. Ezek egy évben 7 300 000 liter tejet adnak. A telep vezetősége azt tapasztalta, hogy ‐ valószínűleg az egy marhára jutó legelőterület növekedése miatt ‐ ha a tehenek számát 5%-kal csökkentik, akkor az egy tehénre jutó éves tejhozam 10%-kal növekszik.
a) A tehenek számának 5%-os csökkentése esetén mennyivel növekszik az éves tejtermelés a gazdaságban?  (5 pont)
b) Ilyen állomány esetében az a tény, hogy a tehenek számának p%-os csökkentésével egy tehén éves tejhozama 2p%-kal növekszik, csak p<20 esetén érvényes. Hány százalékkal kell csökkenteni a tehénállományt, hogy az éves tejtermelés 10%-kal növekedjen?  (8 pont)
 

4. A p1<p2<p3<p4 prímszámokról a következőket tudjuk: p3=p1+p2, p22+8 is prímszám és p4=2p1p2p3+p1+p3.
Számítsuk ki a p1p2p3p4 szorzat értékét.  (14 pont)
 

II. rész
 

5. A valós számok halmazán értelmezett f(x)=x3+px2+qx (p-2,q0) függvényről tudjuk, hogy pontosan két zérushelye van, továbbá, hogy f(2)=-p.
a) Határozzuk meg a függvény zérushelyeit.  (8 pont)
b) Az f(x) függvény origón átmenő érintője hol metszi a függvény görbéjét?  (8 pont)
 

6. Egy formatervező szimmetrikus trapéz alakú falemezre szerelt órát tervezett. Az óra körlapjának sugara 10 cm, középpontja a trapéz minden oldalától 12 cm távolságra van és a hosszabbik párhuzamos oldala a rövidebbnek kétszerese.
 
 

a) Mekkora területű falemezre van szükség?  (7 pont)
b) 2 óra után legközelebb mikor lesz a két óramutató hajlásszöge ugyanakkora, mint 2-kor?  (9 pont)
 

7. Egy városi állatkertben a 4 ragadozót (egy nőstény tigrist, egy oroszlánt, egy leopárdot és egy jaguárt) 8 egymás melletti ketrecben helyezték el.
a) Hányféleképpen helyezhették el a ragadozókat a 8 ketrecben?  (4 pont)
b) Az állatgondozók azt tapasztalták, hogy ha két ragadozó szomszédos ketrecbe kerül, akkor azok rendkívül agresszívekké válnak. Hányféleképpen helyezhették el a ragadozókat a 8 ketrecben úgy, hogy szomszédos ketrecekbe ne kerüljenek állatok?  (5 pont)
c) A jaguárt elszállították, és hoztak helyébe egy hím tigrist. Annak érdekében, hogy a nőstény és a hím tigris ,,közeledjenek'' egymáshoz, e két tigrist szomszédos ketrecbe akarták elhelyezni. Ekkor hányféleképpen helyezhették el a ragadozókat, ha a két tigris szomszédos ketrecbe került, de ezen kívül nem voltak szomszédos ragadozók?  (7 pont)
 

8. Egy négyzet alapú ház tetőszerkezete négyzet alapú egyenes gúla. Az oldalélek az alapnégyzettel 36-os szöget zárnak be.
a) Számítsuk ki a tetőszerkezet oldallapjának és alaplapjának a hajlásszögét.  (3 pont)
 
 

b) Mekkora a tetőszerkezet légtere, ha az oldaléle 8 m hosszú?  (4 pont)
c) A tetőszerkezet alapnégyzetét ereszcsatorna veszi körül. A lehulló eső a tetőről az ereszcsatornába, onnan pedig a ház egyik sarkánál függőlegesen haladó csatornán keresztül az alá helyezett egyenes körhenger alakú hordóba folyik. A hordó átmérője 68 cm, magassága 120 cm. Egy 15 percig tartó nyári felhőszakadás során a híradások szerint 20 mm csapadék hullott óránként. Megtelik-e a felhőszakadás után a tetőről lefolyt vízzel a hordó?  (9 pont)
 

9. a) Egy pedagógiai konferencia középiskolai szekciójába 12 fő jelentkezett. A 12 fős csoport két tagja (a moderátorok) a csoportból mindenkit ismertek. Öt olyan tagja volt a csoportnak, akik a moderátorokon kívül senkit sem ismertek; a szekció többi tagja közül pedig mindenki mindenkit ismert (az ismeretség minden esetben kölcsönös). Az első szekcióülés előtt, akik nem ismerték egymást, kézfogással bemutatkoztak egymásnak. Hány kézfogás történt?  (7 pont)
b) Az óvodai szekciónak három moderátora volt; ők szintén mindenkit ismertek a csoportból. A csoport többi tagjának a fele a moderátorokon kívül senkit sem ismert, míg a csoport többi tagja közül itt is mindenki mindenkit ismert (természetesen az ismeretség itt is minden esetben kölcsönös). Ebben a szekcióban is bemutatkoztak egymásnak azok, akik nem ismerték egymást, s így ebben a csoportban 35 kézfogásra került sor. Hány főből állt az óvodai szekció?  (9 pont)