Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Gerőcs László
Füzet:	2009/április, 194 - 196. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert az egész számpárok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 9^x\cdot 3^y}& {\displaystyle =\mathrm{81,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 6x+6y+5xy}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}\}}\end{array}$  (11 pont)   2. Az $\mathrm{1,2,3,}\text{...}\mathrm{,}n$ pozitív egész számok felhasználásával halmazokat képeztünk az alábbi módon: ${\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> halmaz a páros számok halmaza;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> halmaz a 3-mal osztható számok halmaza;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi></math> halmaz az 5-tel osztható számok halmaza. }}\hfill \end{array}}$ $a)$ Véletlenszerűen kiválasztva egy számot az $n$ db szám közül, mekkora annak a valószínűsége, hogy azt nem használtuk fel a halmazok képzésekor, ha $n=48$?  (6 pont) $b)$ Ha az $A\cap B\cap C$ halmaznak 2 eleme van, akkor hány eleme lehet az $\left(A\cap B\right)\setminus C$ halmaznak?  (7 pont)   3. Egy szarvasmarha telepen 1000 tehenet tartanak. Ezek egy évben 7 300 000 liter tejet adnak. A telep vezetősége azt tapasztalta, hogy ‐ valószínűleg az egy marhára jutó legelőterület növekedése miatt ‐ ha a tehenek számát 5%-kal csökkentik, akkor az egy tehénre jutó éves tejhozam 10%-kal növekszik. $a)$ A tehenek számának 5%-os csökkentése esetén mennyivel növekszik az éves tejtermelés a gazdaságban?  (5 pont) $b)$ Ilyen állomány esetében az a tény, hogy a tehenek számának $p\%$-os csökkentésével egy tehén éves tejhozama $2p\%$-kal növekszik, csak $p<20$ esetén érvényes. Hány százalékkal kell csökkenteni a tehénállományt, hogy az éves tejtermelés 10%-kal növekedjen?  (8 pont)   4. A $p_1<p_2<p_3<p_4$ prímszámokról a következőket tudjuk: $p_3=p_1+p_2$, $p_2^2+8$ is prímszám és $p_4=2p_1{p}_2{p}_3+p_1+p_3$. Számítsuk ki a $p_1{p}_2{p}_3{p}_4$ szorzat értékét.  (14 pont)   II. rész   5. A valós számok halmazán értelmezett $f\left(x\right)=x^3+p{x}^2+qx$ $\left(p\ne -\mathrm{2,}q\ne 0\right)$ függvényről tudjuk, hogy pontosan két zérushelye van, továbbá, hogy $f\left(2\right)=-p$. $a)$ Határozzuk meg a függvény zérushelyeit.  (8 pont) $b)$ Az $f\left(x\right)$ függvény origón átmenő érintője hol metszi a függvény görbéjét?  (8 pont)   6. Egy formatervező szimmetrikus trapéz alakú falemezre szerelt órát tervezett. Az óra körlapjának sugara 10 cm, középpontja a trapéz minden oldalától 12 cm távolságra van és a hosszabbik párhuzamos oldala a rövidebbnek kétszerese.     $a)$ Mekkora területű falemezre van szükség?  (7 pont) $b)$ 2 óra után legközelebb mikor lesz a két óramutató hajlásszöge ugyanakkora, mint 2-kor?  (9 pont)   7. Egy városi állatkertben a 4 ragadozót (egy nőstény tigrist, egy oroszlánt, egy leopárdot és egy jaguárt) 8 egymás melletti ketrecben helyezték el. $a)$ Hányféleképpen helyezhették el a ragadozókat a 8 ketrecben?  (4 pont) $b)$ Az állatgondozók azt tapasztalták, hogy ha két ragadozó szomszédos ketrecbe kerül, akkor azok rendkívül agresszívekké válnak. Hányféleképpen helyezhették el a ragadozókat a 8 ketrecben úgy, hogy szomszédos ketrecekbe ne kerüljenek állatok?  (5 pont) $c)$ A jaguárt elszállították, és hoztak helyébe egy hím tigrist. Annak érdekében, hogy a nőstény és a hím tigris ,,közeledjenek'' egymáshoz, e két tigrist szomszédos ketrecbe akarták elhelyezni. Ekkor hányféleképpen helyezhették el a ragadozókat, ha a két tigris szomszédos ketrecbe került, de ezen kívül nem voltak szomszédos ragadozók?  (7 pont)   8. Egy négyzet alapú ház tetőszerkezete négyzet alapú egyenes gúla. Az oldalélek az alapnégyzettel ${36}^{\circ }$-os szöget zárnak be. $a)$ Számítsuk ki a tetőszerkezet oldallapjának és alaplapjának a hajlásszögét.  (3 pont)     $b)$ Mekkora a tetőszerkezet légtere, ha az oldaléle 8 m hosszú?  (4 pont) $c)$ A tetőszerkezet alapnégyzetét ereszcsatorna veszi körül. A lehulló eső a tetőről az ereszcsatornába, onnan pedig a ház egyik sarkánál függőlegesen haladó csatornán keresztül az alá helyezett egyenes körhenger alakú hordóba folyik. A hordó átmérője 68 cm, magassága 120 cm. Egy 15 percig tartó nyári felhőszakadás során a híradások szerint 20 mm csapadék hullott óránként. Megtelik-e a felhőszakadás után a tetőről lefolyt vízzel a hordó?  (9 pont)   9. $a)$ Egy pedagógiai konferencia középiskolai szekciójába 12 fő jelentkezett. A 12 fős csoport két tagja (a moderátorok) a csoportból mindenkit ismertek. Öt olyan tagja volt a csoportnak, akik a moderátorokon kívül senkit sem ismertek; a szekció többi tagja közül pedig mindenki mindenkit ismert (az ismeretség minden esetben kölcsönös). Az első szekcióülés előtt, akik nem ismerték egymást, kézfogással bemutatkoztak egymásnak. Hány kézfogás történt?  (7 pont) $b)$ Az óvodai szekciónak három moderátora volt; ők szintén mindenkit ismertek a csoportból. A csoport többi tagjának a fele a moderátorokon kívül senkit sem ismert, míg a csoport többi tagja közül itt is mindenki mindenkit ismert (természetesen az ismeretség itt is minden esetben kölcsönös). Ebben a szekcióban is bemutatkoztak egymásnak azok, akik nem ismerték egymást, s így ebben a csoportban 35 kézfogásra került sor. Hány főből állt az óvodai szekció?  (9 pont)