Cím: Megoldásvázlatok a 2009/2. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Darnai István 
Füzet: 2009/március, 143 - 148. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Egy focicsapat 20 fős keretében 3 kapus, 6 hátvéd, 7 középpályás és 4 csatár van. Az egyik mérkőzésen 1 kapus, 4 hátvéd, 3 középpályás és 3 csatár fog szerepelni.
a) Hányféleképpen állíthatja ki az edző a kezdőcsapatot?  (6 pont)
b) Az edző legalább 40 pontot szeretne elérni az első 15 összecsapáson.
Hányféleképpen történhet ez meg, ha nem számít a megszerzett pontok sorrendje? (A győzelemért 3, a döntetlenért 1, a vereségért 0 pont jár.)  (5 pont)
 
Megoldás. a) 3 kapusból 1-et (31)=3-féleképpen, 6 hátvédből 4-et (64)=15-féleképpen, 7 középpályásból 3-at (73)=35-féleképpen, 4 csatárból 3-at (43)=4-féleképpen választhatunk.
Összesen 315354=6300-féleképpen választhatjuk ki a csapatot.
b) A lehetséges eredményeket (győzelmek, döntetlenek, vereségek) és a pontszámok összegét a következő táblázatban látjuk:
 
győzelmekdöntetlenekvereségekpontszámokösszeg150045141043140142132041131140
 
13 győzelem és 2 vereség 39 pontot ér, 13-nál kevesebb győzelem estén az elérhető maximális pontszám 39 (12 győzelem, 3 döntetlen, 0 vereség).
Összesen 5-féleképpen lehet legalább 40 pontot elérni.
 
2. Egy osztály félévi matematikajegyei a következőképpen alakultak:
 
osztályzat12345gyakoriság31078
 

a) Hányan kaptak jelest, ha tudjuk, hogy az osztályátlag 3,2 és 3,3 közé esik és az osztálylétszám páros?  (9 pont)
b) Határozzuk meg az osztályzatok móduszát és mediánját.  (4 pont)
 
Megoldás. Jelöljük az 5-ösök számát x-szel. Ekkor az átlag:
x¯=31+102+73+84+x53+10+7+8+x=76+5x28+x.
A feladat szövege szerint: 3,2<x¯<3,3.
3,2<76+5x28+x,amiből7,56<x,76+5x28+x<3,3,amibőlx<9,65.
A kettő összevetésével: 7,56<x<9,65.
Mivel x egész szám, ezért a lehetséges értékek: 8, 9, és tudjuk, hogy az osztálylétszám páros, így csak az x=8, lehet, és ekkor az osztálylétszám 36.
Vagyis 8 tanuló kapott jeles osztályzatot. (Ekkor az átlag: x¯=116363,22.)
b) A módusz a leggyakrabban előforduló elem, azaz m=2.
A medián a nagyság szerinti sorrend 18. és a 19. elemének számtani közepe, azaz M=3.
 
3. Egy 36 fős osztály ötéves érettségi találkozóján 32-en jelentek meg. Az elmondottakból kiderült, hogy a három leggyakoribb nyári úti cél Erdély, a Zemplén és az Őrség volt. Erdélyben 18-an nyaraltak, az Őrségben 21-en, míg a Zemplént 17-en választották. 11-en voltak Erdélyben és az Őrségben, 9-en az Őrségben és a Zemplénben, míg 8-an Erdélyben és a Zemplénben. Ugyanannyian vannak azok, akik mindhárom helyen nyaraltak már, mint azok, akik a felsoroltak egyikén sem jártak.
a) Készítsünk Venn-diagrammot.  (9 pont)
b) Mekkora a valószínűsége, hogy egy tanulót véletlenszerűen kiválasztva legalább két helyen nyaralt már a felsoroltak közül?  (4 pont)
 
Megoldás. a) Jelölje E az Erdélyben, Ő az Őrségben, Z a Zemplénben járt emberek halmazát. Ekkor:
|E|+|Ő|+|Z|-|EŐ|-|EZ|-|ŐZ|+|EŐZ|+|EŐZ¯|=32.
18+21+17-11-8-9+x+x=32, amiből x=2.
Most már a Venn-diagramm elkészíthető.
 
 

b) A legalább két helyen megfordulók száma:
9+6+7+2=24.
A keresett valószínűség:
P=2432=34.

 
4. Adott az ABCDE 10 cm oldalhosszúságú szabályos ötszög, és az A középpontú k kör, amely érinti a CD oldalt. Legyen a kör és DE metszéspontja F. Mekkora az EF távolság?  (14 pont)
 
Megoldás. Készítsünk ábrát. A koszinusztételből következik, hogy x2=a2+a2-2a2cos108, azaz x2=100+100-200cos108, amiből
x16,18.

 
 

A Pitagorasz-tételből adódik, hogy
r2=x2-(a2)2,
amiből r15,39.
A szinusztétel alapján:
sinφa=sin108r,amibőlsinφ=10sin10815,390,6180,azazφ38,17.
Ekkor δ=180-108-38,17=33,83.
Ismét a szinusztételt alkalmazzuk:
ysinδ=asinφ,amibőly=10sin33,83sin38,179,01
adódik.
A keresett szakasz hossza kb. 9,01 cm.
 

II. rész
 

5. Agyagból szeretnénk csonkakúp alakú bögrét készíteni. Az alapkör belső átmérője 6 cm, a fedőköré 9 cm, a bögre oldala a vízszintessel 80-os szöget zár be.
a) Hány deciliter folyadék fér a bögrébe?  (6 pont)
A fedőkör külső átmérője 9,3 cm, a bögre fala mindenütt azonos vastagságú, az alja 4 mm vastag, a fülét 1,5 cm átmérőjű 15 cm magas egyenes körhengerből készítik. Az agyag sűrűsége 2,3 g/cm3.
b) Mennyi 10000 bögre össztömege? (A tömeget kg-ban adjuk meg.)  (10 pont)
 
Megoldás. Készítsünk vázlatrajzot.
 
 

Mivel a bögre alapköreinek belső sugarai: Rb=4,5, rb=3, ezért x=Rb-rb=1,5. Felírható:
tg80=mbx=mb1,5,
amiből a bögre belső magassága: mb=1,5tg808,51.
Ekkor a bögre térfogata:
Vb=(Rb2+Rbrb+rb2)mbπ3=(4,52+4,53+32)8,51π3381.

A bögre térfogata: kb. 381 cm30,381 dm3=3,81 dl.
b) A külső adatokkal is elkészítjük az ábrát. A bögre nagyobb alapkörének külső sugara: Rk=4,65.
 
 

Tudjuk, hogy mk=mb+0,4=8,91. Ekkor:
tg80=mky=8,91y,amiből:y=8,91tg801,57.
Vagyis

rk=9,32-1,57=3,08.Vk=(Rk2+Rkrk+rk2)mkπ3=(4,652+4,653,08+3,082)8,91π3423,9.



A fül térfogata: Vfül=0,752π1526,5.
A keresett térfogat: V=Vk-Vb+Vfül=423,9-381+26,5=69,4.
Az összes bögre térfogata: 1000069,4=694000.
Az összes bögre tömege: m=6940002,3=1596200.
Vagyis a bögrék tömege kb. 1 596 200 g, ami kb. 1596 kg.
 
6. a) Határozzuk meg p értékét úgy, hogy a 9x2+(p+16)x+2,4p+1 kifejezés teljes négyzet legyen.  (9 pont)
b) Számoljuk ki a
35(9x2+66x+121)dx
kifejezés értékét.  (7 pont)
 
Megoldás. a) A kifejezés pontosan akkor teljes négyzet, ha a két zérushely egyenlő, azaz a diszkrimináns 0.

D=b2-4ac=(p+16)2-49(2,4p+1)=0,amibőlp2-54,4p+220=0.p1,2=54,4±2959,36-8802=54,4±45,62.



A kifejezés teljes négyzet lesz, ha p1=50, p2=4,4.
b)

359x2+66x+121dx=[3x3+33x2+121x]35=
=353+3352+1215-(333+3332+1213)==1805-741=1064.

 
7. Egy 15 millió lakosú országban egy cég vizsgálja a televízióműsorok nézettségét. 1500 háztartás tévékészülékeit szerelték fel egy olyan berendezéssel, amely mindig rögzíti, hogy ki, mikor, melyik csatorna adását nézte. Az így figyelt 3200 emberből ‐ akik nem- és korbeli összetétele a valóságot tükrözi ‐ tudják kiszámítani a nézettségi adatokat. A mintában szereplő 3200 fő kor és nem szerinti eloszlását az alábbi táblázat mutatja.
 
0‐1718‐2728‐3839‐4950‐6566‐nők540240220290110férfiak520230210270
 

a) Töltsük ki a táblázat hiányzó adatait, ha tudjuk, hogy a 65 évnél idősebb férfiak száma 375000, és a vizsgált személyek között 100-zal több a nő, mint a férfi.  (6 pont)
b) A szombat délelőtti gyerekműsort a minta 70 tagja nézte. Hány nézőt jelent ez országosan?  (2 pont)
c) Ha ebben az időben 1,7 millióan tévéztek, akkor az éppen tévézők hány százaléka nézte a gyerekműsort?  (2 pont)
d) Egy műsor nézettsége jó, ha az éppen akkor tévézők legalább 25%-a azt nézi. Egy péntek esti vetélkedőműsort 504-en néztek meg a mintából. Jó-e a műsor nézettsége, ha a lakosság 60%-a tévézett ekkor?  (6 pont)
 
Megoldás. a) 375000150000003200=80, vagyis a mintában szereplő 65 évnél idősebb férfiak száma 80.
Tudjuk, hogy x+(x+100)=3200, azaz x=1550. Vagyis 1550 férfi és 1650 nő van a mintában.

1550-520-230-210-270-80=240,1650-540-240-220-290-110=250.

Így megkaptuk a táblázat hiányzó adatait:
 
0‐1718‐2728‐3839‐4950‐6566‐  nők540250  240  220  290110  férfiak520240  230  210  27080   
 

b) 70320015000000=328125. Vagyis ez országosan 328 125 nézőt jelent.
c) 32812517000000,193=19,3%. A tévézők kb. 19,3%-a nézte a gyerekműsort.
d) 504320015000000=2362500, és 150000000,6=9000000, továbbá
23625009000000=0,2625=26,25%.
Vagyis a vizsgált műsornak jó a nézettsége.
 
8. Legyen A halmaz a ]-9π4;2π], B halmaz pedig a [π6;11π2[ intervallum. Adjuk meg a
(7sinx-2)2=(5sinx-6)2-4(sinx+2)
egyenlet megoldásait az A\B és az AB halmazokon.  (16 pont)
 
Megoldás. A műveletek elvégzése és a sinx=y helyettesítés után kapjuk:

49y2-28y+4=25y2-60y+36-4y-8,2y2+3y-2=0,y1=12,y2=-2.


y2 nem megoldás, mert (-1sinx1).
Vagyis sinx=12, azaz x1=π6+2k1π, x2=5π6+2k2π, k1,k2Z.
AB=]-9π4;π6],az intervallumba eső gyökök:  -11π6  és  -7π6.AB=[π6;2π],az intervallumba eső gyökök:  π6  és  5π6.

 
9. Oldjuk meg a következő egyenletet:
x+log21(3x+1)=xlog217+log21756.(16 pont)

 
Megoldás. A logaritmus azonosságai alapján:
log2121x+log21(3x+1)=log217x+log21756,log2121x(3x+1)=log21(7x756).
A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt:
21x(3x+1)=7x756,7x3x(3x+1)=7x756.
Mivel 7x0, ezért oszthatunk vele:

3x(3x+1)=756,(3x)2+3x-756=0,(3x)1,2=-1±1+47562=-1±552.y1=27,y2=-28.


A -28 nem megoldás, mert 3x>0. Vagyis 3x=33, azaz: x=3. Ez minden feltételnek megfelel, így valóban megoldása az egyenletnek.