Cím: Megoldásvázlatok a 2008/9. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Marton Zsuzsanna 
Füzet: 2009/január, 11 - 16. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Tóni bácsi a péceli sportpályán pogácsát és perecet árult. A pogácsán 25%, a perecen 60% haszna volt. Egy alkalommal ugyanannyi pogácsát adott el, mint perecet, így 50% haszonra tett szert. Másnap viszont kétszer annyi pogácsát adott el, mint perecet.
a) Hány százalék volt ekkor a haszna?  (8 pont)
b) Később Tóni bácsi kínálatát bővítette gumicukorral és muffinnal. Endre a szurkoláshoz három terméket vásárol. Hányféleképpen teheti ezt meg, ha egyféle termékből többet is vehet?  (4 pont)
 
Megoldás. a) Ha a pogácsákért g Ft-ot kapott, akkor ebből 0,25g Ft a haszna. A perecekért kapott r Ft-ból pedig 0,6r Ft a haszna. A szöveg alapján tudjuk, hogy 0,25g+0,6r=0,5(g+r), azaz
r=2,5g.
Másnap: 0,252g+0,6r=x(2g+r), vagyis 0,5g+1,5g=x(2g+2,5g), amiből
x=24,50,4444.
Tóni bácsi haszna kb. 44,44% volt ezen a napon.
b) Ismétléses kombinációról van szó, ezért az esetek száma: (7-13)=20.
 
2. Az U2CK3 bolygón egy hónap 41 napból áll. A helyiek szerint az összes nap alkalmas a három nemes tevékenység (repülés, tanulás, főzés) közül legalább az egyikre. Mindhárom nemes tevékenységre a hónapban csak három nap alkalmas. A repülésre alkalmas napok száma 19, a tanulásra alkalmas napok száma 23, a főzésre alkalmas napok száma 19.
a) A hónap azon napjainak száma, amelyek csak repülésre és főzésre, amelyek csak repülésre és tanulásra, illetve amelyek csak tanulásra és főzésre alkalmasak, egy 2 hányadosú mértani sorozat három egymást követő elemei. Hány olyan nap van a hónapban, amely csak egy nemes tevékenységre alkalmas?  (6 pont)
b) Ha a 41 nap közül véletlenszerűen kiválasztunk hármat, akkor mennyi a valószínűsége, hogy mindhárom nap csak főzésre alkalmas?  (6 pont)
 
Megoldás. a) Készítsünk ábrát a szöveg alapján. A következő egyenletet írhatjuk fel:
41=19+23+19-7x-23,
amiből x=2.
 
 

Mivel 41-2-4-8-3=24, így 24 nap alkalmas pontosan egy nemes tevékenységre.
b) A csak főzésre alkalmas napok száma:
19-2-8-3=6.

Kedvező esetek száma: (63)=20, összes eset száma: (413)=10660.
A keresett valószínűség: p=20106600,001876.
 
3. a) Végezzük el a következő integrálást:
1cos2xsin2xdx.(8 pont)

b) Határozzuk meg
f(x)=(x2+3)(x3+2x-1)
differenciálhányados függvényét.  (5 pont)
 
Megoldás. a) Tudjuk, hogy cos2xsin2x0, azaz xkπ2, kZ.
1cos2xsin2xdx=sin2x+cos2xcos2xsin2xdx=sin2xsin2xcos2xdx+cos2xcos2xsin2xdx==1cos2xdx+1sin2xdx==(tgx+C1)+(-ctgx+C2)=tgx-ctgx+C,
ahol C1,C2,CR.
b)
f'(x)=(x5+2x3-x2+3x3+6x-3)'=(x5+5x3-x2+6x-3)'==5x4+15x2-2x+6.

 
4. a) Ábrázoljuk a következő hozzárendeléssel megadott függvényt:
f(x)={-x2+4,ha  x0,x2-5xx2-x-20,ha  x<0  és  x4.(8 pont)

b) Legyen k egy valós szám. Hány zérushelye van a g(x)=f(x)-k függvénynek?  (6 pont)
 
Megoldás. a) Az értelmezési tartomány: xR\{-4}.
 
 

Végezzük el a következő átalakításokat:
x2-5xx2-x-20=x(x-5)(x-5)(x+4)==x+4-4x+4=x+4x+4-4x+4==-41x+4+1.
Most már megrajzolható a függvény grafikonja.
b) Az f(x)=k egyenlet megoldásainak száma adja a g(x) zérushelyeinek számát.
Ha k>4, akkor egy zérushely van.
Ha 1<k4, akkor két zérushely van.
Ha 0k1, akkor egy zérushely van.
Ha k<0, akkor két zérushely van.
 

II. rész
 

5. Egy építőmérnök feladata egy szökőkút tervezése és építtetése. A telket nyugatról egy fal, délről egy sövény határolja, a fal és a sövény egymásra merőlegesen helyezkednek el. A telken áll egy szilvafa a faltól és a sövénytől egyaránt 7 m-re, egy cseresznyefa a faltól 5, a sövénytől 3 m-re, és egy szobor a faltól 18 és a sövénytől 9 m-re. A szökőkutat úgy kell elhelyeznie, hogy a fáktól egyenlő távolságra legyen, és a szökőkút kétszer olyan messze legyen a szobortól, mint a cseresznyefától.
a) Milyen messze épül a szökőkút a szobortól?  (11 pont)
b) A szökőkút építéséhez tartozó földmunka elvégzésével Ede 10, Béla 12 óra alatt végezne. Béla reggel 7 órakor hozzáfog a munkához, egy óra múlva csatlakozik hozzá Ede, egy alkalommal fél óra szünetet tartanak, majd együtt dolgoznak a munka befejezéséig. Hány órakor végeznek?  (5 pont)
 
Megoldás. a) A fal vonala legyen a koordinátarendszerben az y tengely, a sövény vonala pedig az x tengely.
A szökőkút koordinátái: K(x;y), a szilvafáé: S(7;7), a cseresznyefáé: C(5;3), a szoboré: B(18;9). A szökőkút távolsága a cseresznyefától legyen t, azaz
(x-5)2+(y-3)2=t2.(1)
Mivel a szökőkút távolsága a két fától egyenlő, ezért a kút a CS szakasz felezőmerőlegesén kell, hogy legyen.
A felezőpont koordinátái: F(6;5), az FS(1;2) vektor pedig a keresett egyenes normálvektora lesz. Ezek alapján a felezőmerőleges egyenlete:
x+2y=16.(2)
Mivel a szökőkút távolsága a szobortól kétszer akkora, mint a cseresznyefától, ezért
(x-18)2+(y-9)2=(2t)2.(3)
Az (1), (2) és (3) egyenletekből álló egyenletrendszerből kaphatjuk a 3y2-38y+87=0 egyenletet. Az egyenletrendszer megoldásai:
x1=-103,y1=293,
ekkor a szökőkút a telken kívülre esik.
x2=10,y2=3,t2=5.
Vagyis a szökőkút a szobortól 10 m távolságra épülhet.
b) Jelöljük x-szel a közös munkaidőt. Felírható a következő egyenlet:
112+(112+110)x=1,amibőlx=5.
Vagyis a munka megkezdése után eltelik 1 óra, amíg Béla egyedül dolgozik, majd 5,5 óra telik el a munka befejezéséig, melyben benne van a félórás pihenő is.
Azaz 13 óra 30 perckor végeznek a munkával.
 
6. Egy számtani sorozatban az első és a negyedik tag reciprokának összege 5,5. A sorozat első, második és hatodik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Adjuk meg a számtani sorozat első tagját és a differenciáját.  (16 pont)
 
Megoldás. Mivel a számtani sorozat első, második és hatodik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja, ezért a(a+5d)=(a+d)2. A szöveg alapján a következő egyenletet is felírhatjuk:
1a+1a+3d=5,5.

A két egyenlet rendezésével kapjuk:
d(3a-d)=0,5,5a2+16,5ad-3d-2a=0.}
Az első egyenletből kapjuk, hogy d=0 vagy d=3a
I. eset: Ha d=0, akkor 5,5a2-2a=0, azaz a(5,5a-2)=0. Vagyis: a=0 vagy a=411. Az a=0 nem lehet. Az a=411, d=0 megoldása a feladatnak.
II. eset: Ha d=3a, akkor 5a2-a=0, azaz a(5a-1)=0. Vagyis: a=0 vagy a=15. Az a=0 nem lehet. Az a=15, d=35 megoldása a feladatnak.
 
7. Két dobókockát feldobunk. Legyen X a két dobott szám különbségének abszolútértéke.
a) Mekkora a valószínűsége annak, hogy X négyzetszám?  (6 pont)
b) Ábrázoljuk az X valószínűségi változó eloszlását.  (5 pont)
c) Határozzuk meg X várható értékét.  (5 pont)
 
Megoldás. a) A táblázatban látjuk a lehetséges eseteket. Kedvező esetek száma: 20. Összes eset száma: 36.
 
123456  10̲1̲234̲5  21̲0̲1̲234̲   321̲0̲1̲23  4321̲0̲1̲254̲321̲0̲1̲654̲321̲0̲   
 

A keresett valószínűség:
p=2036=59.

 
b)  X012345  gyakoriság6108642  p(X)636   1036836636436236

 
Az X valószínűségi változó eloszlását a táblázat értékei alapján ábrázolhatjuk:
 
 

c) Az X várható értéke:
E(X)=0636+11036+2836+3636+4436+5236=7036=3518.

 
8. Az ABC háromszög oldalainak hossza: a=13 cm, b=14 cm, c=15 cm.
a) Határozzuk meg a háromszög A csúcsából induló sa súlyvonalának és a c oldalhoz tartozó fc szögfelezőjének hosszát.  (8 pont)
b) Határozzuk meg a háromszög beírt és köré írt körének sugarát.  (8 pont)
 
Megoldás. a) Az ABC háromszögben a koszinusztétel:
152=132+142-21314cosγ.
Innen kapjuk, hogy
cosγ=513,azazγ67,38.
Legyen a BC oldal felezőpontja F. Alkalmazzuk a koszinusztételt az AFC háromszögre:
sa2=6,52+142-26,514513=168,25.
Vagyis sa=168,2512,97.
A C-ből induló szögfelező a szemközti oldalt a D pontban metszi. A szögfelező a szemköztes oldalt a közrefogó oldalak arányában osztja, ebből kiszámítjuk a BD szakasz hosszát:
BD15-BD=1314,azazBD=659.
A B csúcsnál lévő szög koszinuszát kiszámítjuk koszinusztétellel: cosβ=3365.
A BCD háromszögben alkalmazzuk a koszinusztételt:
fc2=132+(659)2-2136593365=1019281,
ahonnan fc11,22.
A háromszög sa súlyvonala kb. 12,97 cm, az fc szögfelezője kb. 11,22 cm.
b) Kiszámítjuk a háromszög területét (pl. Heron-képlettel):
t=s(s-a)(s-b)(s-c)=21876=84.
A beírt kör sugara: ϱ=ts=8421=4. A köré írt kör sugara:
r=abc4t=131415484=658=8,125.
A beírt kör sugara 4 cm, a köré írt sugara 8,125 cm.
 
9. Egy húrtrapéz alapú egyenes hasáb alakú edényben víz van. A trapéz párhuzamos oldalai 4 cm és 10 cm, szárai 5 cm, a test magassága 11,2 cm hosszú. Ha a testet a trapéz alakú alaplapjáról a legnagyobb területű oldallapjára fordítjuk, akkor az edényben levő víz magassága a harmadára változik. Határozzuk meg az edényben levő víz térfogatát.  (16 pont)
 
Megoldás. Az adatok alapján: AK=3, a trapéz magassága: DK=4. Ha a test a trapéz alakú alaplapján áll, akkor a benne lévő víz térfogata:
V=10+424m=28m,
ahol m a víz magassága.
A test legnagyobb területű oldallapja a 10-szer 11,2-es téglalap. A KDATEA, ezért
x3=m34,azazx=m4.

 
 

Ha a test a 10-szer 11,2-es téglalap alakú oldallapján áll, akkor a benne lévő víz térfogata így írható fel:
V=10+10-2m42m311,2,vagyis10+10-2m42m311,2=28m.
Ebből kapjuk, hogy 11,2m2-112m=0, amiből m=0 vagy m=10.
Az m=0 esetén az edényben nincs víz.
Az m=10 esetén 280 cm3 víz van az edényben.