A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Tóni bácsi a péceli sportpályán pogácsát és perecet árult. A pogácsán , a perecen haszna volt. Egy alkalommal ugyanannyi pogácsát adott el, mint perecet, így haszonra tett szert. Másnap viszont kétszer annyi pogácsát adott el, mint perecet. Hány százalék volt ekkor a haszna? (8 pont) Később Tóni bácsi kínálatát bővítette gumicukorral és muffinnal. Endre a szurkoláshoz három terméket vásárol. Hányféleképpen teheti ezt meg, ha egyféle termékből többet is vehet? (4 pont)
Megoldás. Ha a pogácsákért Ft-ot kapott, akkor ebből Ft a haszna. A perecekért kapott Ft-ból pedig Ft a haszna. A szöveg alapján tudjuk, hogy , azaz . Másnap: , vagyis , amiből Tóni bácsi haszna kb. 44,44% volt ezen a napon. Ismétléses kombinációról van szó, ezért az esetek száma: .
2. Az U2CK3 bolygón egy hónap napból áll. A helyiek szerint az összes nap alkalmas a három nemes tevékenység (repülés, tanulás, főzés) közül legalább az egyikre. Mindhárom nemes tevékenységre a hónapban csak három nap alkalmas. A repülésre alkalmas napok száma , a tanulásra alkalmas napok száma , a főzésre alkalmas napok száma . A hónap azon napjainak száma, amelyek csak repülésre és főzésre, amelyek csak repülésre és tanulásra, illetve amelyek csak tanulásra és főzésre alkalmasak, egy 2 hányadosú mértani sorozat három egymást követő elemei. Hány olyan nap van a hónapban, amely csak egy nemes tevékenységre alkalmas? (6 pont) Ha a nap közül véletlenszerűen kiválasztunk hármat, akkor mennyi a valószínűsége, hogy mindhárom nap csak főzésre alkalmas? (6 pont)
Megoldás. Készítsünk ábrát a szöveg alapján. A következő egyenletet írhatjuk fel: amiből .
Mivel , így 24 nap alkalmas pontosan egy nemes tevékenységre. A csak főzésre alkalmas napok száma: Kedvező esetek száma: , összes eset száma: . A keresett valószínűség: .
3. Végezzük el a következő integrálást: Határozzuk meg differenciálhányados függvényét. (5 pont)
Megoldás. Tudjuk, hogy , azaz , .
ahol .
4. Ábrázoljuk a következő hozzárendeléssel megadott függvényt: | | (8 pont) |
Legyen egy valós szám. Hány zérushelye van a függvénynek? (6 pont)
Megoldás. Az értelmezési tartomány: .
Végezzük el a következő átalakításokat:
Most már megrajzolható a függvény grafikonja. Az egyenlet megoldásainak száma adja a zérushelyeinek számát. Ha , akkor egy zérushely van. Ha , akkor két zérushely van. Ha , akkor egy zérushely van. Ha , akkor két zérushely van.
II. rész 5. Egy építőmérnök feladata egy szökőkút tervezése és építtetése. A telket nyugatról egy fal, délről egy sövény határolja, a fal és a sövény egymásra merőlegesen helyezkednek el. A telken áll egy szilvafa a faltól és a sövénytől egyaránt 7 m-re, egy cseresznyefa a faltól , a sövénytől 3 m-re, és egy szobor a faltól és a sövénytől 9 m-re. A szökőkutat úgy kell elhelyeznie, hogy a fáktól egyenlő távolságra legyen, és a szökőkút kétszer olyan messze legyen a szobortól, mint a cseresznyefától. Milyen messze épül a szökőkút a szobortól? (11 pont) A szökőkút építéséhez tartozó földmunka elvégzésével Ede , Béla óra alatt végezne. Béla reggel órakor hozzáfog a munkához, egy óra múlva csatlakozik hozzá Ede, egy alkalommal fél óra szünetet tartanak, majd együtt dolgoznak a munka befejezéséig. Hány órakor végeznek? (5 pont)
Megoldás. A fal vonala legyen a koordinátarendszerben az tengely, a sövény vonala pedig az tengely. A szökőkút koordinátái: , a szilvafáé: , a cseresznyefáé: , a szoboré: . A szökőkút távolsága a cseresznyefától legyen , azaz Mivel a szökőkút távolsága a két fától egyenlő, ezért a kút a szakasz felezőmerőlegesén kell, hogy legyen. A felezőpont koordinátái: , az vektor pedig a keresett egyenes normálvektora lesz. Ezek alapján a felezőmerőleges egyenlete: Mivel a szökőkút távolsága a szobortól kétszer akkora, mint a cseresznyefától, ezért Az (1), (2) és (3) egyenletekből álló egyenletrendszerből kaphatjuk a egyenletet. Az egyenletrendszer megoldásai: ekkor a szökőkút a telken kívülre esik. Vagyis a szökőkút a szobortól 10 m távolságra épülhet. Jelöljük -szel a közös munkaidőt. Felírható a következő egyenlet: | | Vagyis a munka megkezdése után eltelik 1 óra, amíg Béla egyedül dolgozik, majd 5,5 óra telik el a munka befejezéséig, melyben benne van a félórás pihenő is. Azaz 13 óra 30 perckor végeznek a munkával.
6. Egy számtani sorozatban az első és a negyedik tag reciprokának összege . A sorozat első, második és hatodik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Adjuk meg a számtani sorozat első tagját és a differenciáját. (16 pont)
Megoldás. Mivel a számtani sorozat első, második és hatodik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja, ezért . A szöveg alapján a következő egyenletet is felírhatjuk: A két egyenlet rendezésével kapjuk: | | Az első egyenletből kapjuk, hogy vagy I. eset: Ha , akkor , azaz . Vagyis: vagy . Az nem lehet. Az , megoldása a feladatnak. II. eset: Ha , akkor , azaz . Vagyis: vagy . Az nem lehet. Az , megoldása a feladatnak.
7. Két dobókockát feldobunk. Legyen a két dobott szám különbségének abszolútértéke. Mekkora a valószínűsége annak, hogy négyzetszám? (6 pont) Ábrázoljuk az valószínűségi változó eloszlását. (5 pont) Határozzuk meg várható értékét. (5 pont)
Megoldás. A táblázatban látjuk a lehetséges eseteket. Kedvező esetek száma: 20. Összes eset száma: 36.
A keresett valószínűség:
b) X012345 gyakoriság6108642 p(X)636 1036836636436236
Az X valószínűségi változó eloszlását a táblázat értékei alapján ábrázolhatjuk:
c) Az X várható értéke: | E(X)=0⋅636+1⋅1036+2⋅836+3⋅636+4⋅436+5⋅236=7036=3518. |
8. Az ABC háromszög oldalainak hossza: a=13 cm, b=14 cm, c=15 cm. a) Határozzuk meg a háromszög A csúcsából induló sa súlyvonalának és a c oldalhoz tartozó fc szögfelezőjének hosszát. (8 pont) b) Határozzuk meg a háromszög beírt és köré írt körének sugarát. (8 pont)
Megoldás. a) Az ABC háromszögben a koszinusztétel: | 152=132+142-2⋅13⋅14⋅cosγ. | Innen kapjuk, hogy Legyen a BC oldal felezőpontja F. Alkalmazzuk a koszinusztételt az AFC háromszögre: | sa2=6,52+142-2⋅6,5⋅14⋅513=168,25. | Vagyis sa=168,25≈12,97. A C-ből induló szögfelező a szemközti oldalt a D pontban metszi. A szögfelező a szemköztes oldalt a közrefogó oldalak arányában osztja, ebből kiszámítjuk a BD szakasz hosszát: A B csúcsnál lévő szög koszinuszát kiszámítjuk koszinusztétellel: cosβ=3365. A BCD háromszögben alkalmazzuk a koszinusztételt: | fc2=132+(659)2-2⋅13⋅659⋅3365=1019281, | ahonnan fc≈11,22. A háromszög sa súlyvonala kb. 12,97 cm, az fc szögfelezője kb. 11,22 cm. b) Kiszámítjuk a háromszög területét (pl. Heron-képlettel): | t=s(s-a)(s-b)(s-c)=21⋅8⋅7⋅6=84. | A beírt kör sugara: ϱ=ts=8421=4. A köré írt kör sugara: | r=abc4t=13⋅14⋅154⋅84=658=8,125. | A beírt kör sugara 4 cm, a köré írt sugara 8,125 cm.
9. Egy húrtrapéz alapú egyenes hasáb alakú edényben víz van. A trapéz párhuzamos oldalai 4 cm és 10 cm, szárai 5 cm, a test magassága 11,2 cm hosszú. Ha a testet a trapéz alakú alaplapjáról a legnagyobb területű oldallapjára fordítjuk, akkor az edényben levő víz magassága a harmadára változik. Határozzuk meg az edényben levő víz térfogatát. (16 pont)
Megoldás. Az adatok alapján: AK=3, a trapéz magassága: DK=4. Ha a test a trapéz alakú alaplapján áll, akkor a benne lévő víz térfogata: ahol m a víz magassága. A test legnagyobb területű oldallapja a 10-szer 11,2-es téglalap. A KDA▵∼TEA▵, ezért
Ha a test a 10-szer 11,2-es téglalap alakú oldallapján áll, akkor a benne lévő víz térfogata így írható fel: | V=10+10-2⋅m42⋅m3⋅11,2,vagyis10+10-2⋅m42⋅m3⋅11,2=28m. | Ebből kapjuk, hogy 11,2m2-112m=0, amiből m=0 vagy m=10. Az m=0 esetén az edényben nincs víz. Az m=10 esetén 280 cm3 víz van az edényben. |