Cím:	Megoldásvázlatok a 2008/9. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Marton Zsuzsanna
Füzet:	2009/január, 11 - 16. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Tóni bácsi a péceli sportpályán pogácsát és perecet árult. A pogácsán $25\%$, a perecen $60\%$ haszna volt. Egy alkalommal ugyanannyi pogácsát adott el, mint perecet, így $50\%$ haszonra tett szert. Másnap viszont kétszer annyi pogácsát adott el, mint perecet. $a)$ Hány százalék volt ekkor a haszna?  (8 pont) $b)$ Később Tóni bácsi kínálatát bővítette gumicukorral és muffinnal. Endre a szurkoláshoz három terméket vásárol. Hányféleképpen teheti ezt meg, ha egyféle termékből többet is vehet?  (4 pont)   Megoldás. $a)$ Ha a pogácsákért $g$ Ft-ot kapott, akkor ebből $0\mathrm{,}25g$ Ft a haszna. A perecekért kapott $r$ Ft-ból pedig $0\mathrm{,}6r$ Ft a haszna. A szöveg alapján tudjuk, hogy $0\mathrm{,}25g+0\mathrm{,}6r=0\mathrm{,}5\left(g+r\right)$, azaz $r=2\mathrm{,}5g$. Másnap: $0\mathrm{,}25\cdot 2g+0\mathrm{,}6r=x\left(2g+r\right)$, vagyis $0\mathrm{,}5g+1\mathrm{,}5g=x\left(2g+2\mathrm{,}5g\right)$, amiből $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{2}{\mathrm{4,5}}\approx 0\mathrm{,}4444.}\end{array}$ Tóni bácsi haszna kb. 44,44% volt ezen a napon. $b)$ Ismétléses kombinációról van szó, ezért az esetek száma: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7-1}{3}\right)=20$.   2. Az U2CK3 bolygón egy hónap $41$ napból áll. A helyiek szerint az összes nap alkalmas a három nemes tevékenység (repülés, tanulás, főzés) közül legalább az egyikre. Mindhárom nemes tevékenységre a hónapban csak három nap alkalmas. A repülésre alkalmas napok száma $19$, a tanulásra alkalmas napok száma $23$, a főzésre alkalmas napok száma $19$. $a)$ A hónap azon napjainak száma, amelyek csak repülésre és főzésre, amelyek csak repülésre és tanulásra, illetve amelyek csak tanulásra és főzésre alkalmasak, egy 2 hányadosú mértani sorozat három egymást követő elemei. Hány olyan nap van a hónapban, amely csak egy nemes tevékenységre alkalmas?  (6 pont) $b)$ Ha a $41$ nap közül véletlenszerűen kiválasztunk hármat, akkor mennyi a valószínűsége, hogy mindhárom nap csak főzésre alkalmas?  (6 pont)   Megoldás. $a)$ Készítsünk ábrát a szöveg alapján. A következő egyenletet írhatjuk fel: $\begin{array}{c}{\displaystyle 41=19+23+19-7x-2\cdot \mathrm{3,}}\end{array}$ amiből $x=2$.     Mivel $41-2-4-8-3=24$, így 24 nap alkalmas pontosan egy nemes tevékenységre. $b)$ A csak főzésre alkalmas napok száma: $\begin{array}{c}{\displaystyle 19-2-8-3=6.}\end{array}$ Kedvező esetek száma: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$, összes eset száma: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{41}{3}\right)=10660$. A keresett valószínűség: $p=\frac{20}{10660}\approx 0\mathrm{,}001876$.   3. $a)$ Végezzük el a következő integrálást: $\begin{array}{c}{\displaystyle \int \frac{1}{\text{cos}{}^{2}x\cdot \text{sin}{}^{2}x}dx\mathrm{.}}\end{array}$ (8 pont) $b)$ Határozzuk meg $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\left(x^2+3\right)\left(x^3+2x-1\right)}\end{array}$ differenciálhányados függvényét.  (5 pont)   Megoldás. $a)$ Tudjuk, hogy $\text{cos}{}^{2}x\cdot \text{sin}{}^{2}x\ne 0$, azaz $x\ne k\cdot \frac{\pi }{2}$, $k\in \text{Z}$. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \int \frac{1}{\text{cos}{}^{2}x\cdot \text{sin}{}^{2}x}dx}& {\displaystyle =\int \frac{\text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}x}{\text{cos}{}^{2}x\cdot \text{sin}{}^{2}x}dx=\int \frac{\text{sin}{}^{2}x}{\text{sin}{}^{2}x\cdot \text{cos}{}^{2}x}dx+\int \frac{\text{cos}{}^{2}x}{\text{cos}{}^{2}x\cdot \text{sin}{}^{2}x}dx=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\int \frac{1}{\text{cos}{}^{2}x}dx+\int \frac{1}{\text{sin}{}^{2}x}dx=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(\text{tg}x+C_1\right)+\left(-\text{ctg}x+C_2\right)=\text{tg}x-\text{ctg}x+C\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ahol $C_1\mathrm{,}{C}_2\mathrm{,}C\in \text{R}$. $b)$ ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\text{'}\left(x\right)}& {\displaystyle =\left(x^5+2x^3-x^2+3x^3+6x-3\right)\text{'}=\left(x^5+5x^3-x^2+6x-3\right)\text{'}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =5x^4+15x^2-2x+6.}\hfill \end{array}}$   4. $a)$ Ábrázoljuk a következő hozzárendeléssel megadott függvényt: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle -x^2+\mathrm{4,}}& {\displaystyle \text{ha }x\ge \mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{x^2-5x}{x^2-x-20}\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha }x<0\text{ és }x\ne 4.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ (8 pont) $b)$ Legyen $k$ egy valós szám. Hány zérushelye van a $g\left(x\right)=f\left(x\right)-k$ függvénynek?  (6 pont)   Megoldás. $a)$ Az értelmezési tartomány: $x\in \text{R}\backslash \left\{-4\right\}$.     Végezzük el a következő átalakításokat: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{x^2-5x}{x^2-x-20}}& {\displaystyle =\frac{x\left(x-5\right)}{\left(x-5\right)\left(x+4\right)}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{x+4-4}{x+4}=\frac{x+4}{x+4}-\frac{4}{x+4}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =-4\cdot \frac{1}{x+4}+1.}\hfill \end{array}}$ Most már megrajzolható a függvény grafikonja. $b)$ Az $f\left(x\right)=k$ egyenlet megoldásainak száma adja a $g\left(x\right)$ zérushelyeinek számát. Ha $k>4$, akkor egy zérushely van. Ha $1<k\le 4$, akkor két zérushely van. Ha $0\le k\le 1$, akkor egy zérushely van. Ha $k<0$, akkor két zérushely van.   II. rész   5. Egy építőmérnök feladata egy szökőkút tervezése és építtetése. A telket nyugatról egy fal, délről egy sövény határolja, a fal és a sövény egymásra merőlegesen helyezkednek el. A telken áll egy szilvafa a faltól és a sövénytől egyaránt 7 m-re, egy cseresznyefa a faltól $5$, a sövénytől 3 m-re, és egy szobor a faltól $18$ és a sövénytől 9 m-re. A szökőkutat úgy kell elhelyeznie, hogy a fáktól egyenlő távolságra legyen, és a szökőkút kétszer olyan messze legyen a szobortól, mint a cseresznyefától. $a)$ Milyen messze épül a szökőkút a szobortól?  (11 pont) $b)$ A szökőkút építéséhez tartozó földmunka elvégzésével Ede $10$, Béla $12$ óra alatt végezne. Béla reggel $7$ órakor hozzáfog a munkához, egy óra múlva csatlakozik hozzá Ede, egy alkalommal fél óra szünetet tartanak, majd együtt dolgoznak a munka befejezéséig. Hány órakor végeznek?  (5 pont)   Megoldás. $a)$ A fal vonala legyen a koordinátarendszerben az $y$ tengely, a sövény vonala pedig az $x$ tengely. A szökőkút koordinátái: $K\left(x;y\right)$, a szilvafáé: $S\left(7;7\right)$, a cseresznyefáé: $C\left(5;3\right)$, a szoboré: $B\left(18;9\right)$. A szökőkút távolsága a cseresznyefától legyen $t$, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-5\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=t^2\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Mivel a szökőkút távolsága a két fától egyenlő, ezért a kút a $CS$ szakasz felezőmerőlegesén kell, hogy legyen. A felezőpont koordinátái: $F\left(6;5\right)$, az $\overrightarrow{FS}\left(1;2\right)$ vektor pedig a keresett egyenes normálvektora lesz. Ezek alapján a felezőmerőleges egyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle x+2y=16.}\end{array}$ (2) Mivel a szökőkút távolsága a szobortól kétszer akkora, mint a cseresznyefától, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-18\right)}^2+{\left(y-9\right)}^2={\left(2t\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Az (1), (2) és (3) egyenletekből álló egyenletrendszerből kaphatjuk a $3y^2-38y+87=0$ egyenletet. Az egyenletrendszer megoldásai: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=-\frac{10}{3}\mathrm{,}{y}_1=\frac{29}{3}\mathrm{,}}\end{array}$ ekkor a szökőkút a telken kívülre esik. $\begin{array}{c}{\displaystyle x_2=\mathrm{10,}{y}_2=\mathrm{3,}{t}_2=5.}\end{array}$ Vagyis a szökőkút a szobortól 10 m távolságra épülhet. $b)$ Jelöljük $x$-szel a közös munkaidőt. Felírható a következő egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{12}+\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{10}\right)\cdot x=\mathrm{1,}\text{amiből}x=5.}\end{array}$ Vagyis a munka megkezdése után eltelik 1 óra, amíg Béla egyedül dolgozik, majd 5,5 óra telik el a munka befejezéséig, melyben benne van a félórás pihenő is. Azaz 13 óra 30 perckor végeznek a munkával.   6. Egy számtani sorozatban az első és a negyedik tag reciprokának összege $5\mathrm{,}5$. A sorozat első, második és hatodik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Adjuk meg a számtani sorozat első tagját és a differenciáját.  (16 pont)   Megoldás. Mivel a számtani sorozat első, második és hatodik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja, ezért $a\left(a+5d\right)={\left(a+d\right)}^2$. A szöveg alapján a következő egyenletet is felírhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{a+3d}=5\mathrm{,}5.}\end{array}$ A két egyenlet rendezésével kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle d\left(3a-d\right)}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 5\mathrm{,}5a^2+16\mathrm{,}5ad-3d-2a}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}\}}\end{array}$ Az első egyenletből kapjuk, hogy $d=0$ vagy $d=3a$ I. eset: Ha $d=0$, akkor $5\mathrm{,}5a^2-2a=0$, azaz $a\left(5\mathrm{,}5a-2\right)=0$. Vagyis: $a=0$ vagy $a=\frac{4}{11}$. Az $a=0$ nem lehet. Az $a=\frac{4}{11}$, $d=0$ megoldása a feladatnak. II. eset: Ha $d=3a$, akkor $5a^2-a=0$, azaz $a\left(5a-1\right)=0$. Vagyis: $a=0$ vagy $a=\frac{1}{5}$. Az $a=0$ nem lehet. Az $a=\frac{1}{5}$, $d=\frac{3}{5}$ megoldása a feladatnak.   7. Két dobókockát feldobunk. Legyen $X$ a két dobott szám különbségének abszolútértéke. $a)$ Mekkora a valószínűsége annak, hogy $X$ négyzetszám?  (6 pont) $b)$ Ábrázoljuk az $X$ valószínűségi változó eloszlását.  (5 pont) $c)$ Határozzuk meg $X$ várható értékét.  (5 pont)   Megoldás. $a)$ A táblázatban látjuk a lehetséges eseteket. Kedvező esetek száma: 20. Összes eset száma: 36.   ${\displaystyle \begin{array}{|ccccccc|}\hline \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"></math><span style="font-weight: bold;">0</span>̲}}\hfill \\ \hline\end{array}}$$\underline{\text{<span style="font-weight: bold;">1</span>}}$23$$4̲5  2$$1̲$$0̲$$1̲23$$4̲   32$$1̲$$0̲$$1̲23  432$$1̲$$0̲$$1̲25$$4̲32$$1̲$$0̲$$1̲65$$4̲32$$1̲$$0̲      A keresett valószínűség: $\begin{array}{c}{\displaystyle p=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}\mathrm{.}}\end{array}$   $b)$  ${\displaystyle \begin{array}{|ccccccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>X</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{5 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{gyakoriság}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{10}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>p</mi><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>X</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>6</mn></mrow><mrow><mn>36</mn></mrow></mfrac></mrow></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mn>36</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>8</mn></mrow><mrow><mn>36</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>6</mn></mrow><mrow><mn>36</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>36</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>36</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill \\ \hline\end{array}}$   Az $X$ valószínűségi változó eloszlását a táblázat értékei alapján ábrázolhatjuk:     $c)$ Az $X$ várható értéke: $\begin{array}{c}{\displaystyle E\left(X\right)=0\cdot \frac{6}{36}+1\cdot \frac{10}{36}+2\cdot \frac{8}{36}+3\cdot \frac{6}{36}+4\cdot \frac{4}{36}+5\cdot \frac{2}{36}=\frac{70}{36}=\frac{35}{18}\mathrm{.}}\end{array}$   8. Az $ABC$ háromszög oldalainak hossza: $a=13$ cm, $b=14$ cm, $c=15$ cm. $a)$ Határozzuk meg a háromszög $A$ csúcsából induló $s_a$ súlyvonalának és a $c$ oldalhoz tartozó $f_c$ szögfelezőjének hosszát.  (8 pont) $b)$ Határozzuk meg a háromszög beírt és köré írt körének sugarát.  (8 pont)   Megoldás. $a)$ Az $ABC$ háromszögben a koszinusztétel: $\begin{array}{c}{\displaystyle {15}^2={13}^2+{14}^2-2\cdot 13\cdot 14\cdot \text{cos}\gamma \mathrm{.}}\end{array}$ Innen kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\gamma =\frac{5}{13}\mathrm{,}\text{azaz}\gamma \approx 67\mathrm{,}{38}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Legyen a $BC$ oldal felezőpontja $F$. Alkalmazzuk a koszinusztételt az $AFC$ háromszögre: $\begin{array}{c}{\displaystyle s_a^2=6\mathrm{,}{5}^2+{14}^2-2\cdot 6\mathrm{,}5\cdot 14\cdot \frac{5}{13}=168\mathrm{,}25.}\end{array}$ Vagyis $s_a=\sqrt[]{168\mathrm{,}25}\approx 12\mathrm{,}97$. A $C$-ből induló szögfelező a szemközti oldalt a $D$ pontban metszi. A szögfelező a szemköztes oldalt a közrefogó oldalak arányában osztja, ebből kiszámítjuk a $BD$ szakasz hosszát: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{BD}{15-BD}=\frac{13}{14}\mathrm{,}\text{azaz}BD=\frac{65}{9}\mathrm{.}}\end{array}$ A $B$ csúcsnál lévő szög koszinuszát kiszámítjuk koszinusztétellel: $\text{cos}\beta =\frac{33}{65}$. A $BCD$ háromszögben alkalmazzuk a koszinusztételt: $\begin{array}{c}{\displaystyle f_c^2={13}^2+{\left(\frac{65}{9}\right)}^2-2\cdot 13\cdot \frac{65}{9}\cdot \frac{33}{65}=\frac{10192}{81}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $f_c\approx 11\mathrm{,}22$. A háromszög $s_a$ súlyvonala kb. 12,97 cm, az $f_c$ szögfelezője kb. 11,22 cm. $b)$ Kiszámítjuk a háromszög területét (pl. Heron-képlettel): $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\sqrt[]{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}=\sqrt[]{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84.}\end{array}$ A beírt kör sugara: $\varrho =\frac{t}{s}=\frac{84}{21}=4$. A köré írt kör sugara: $\begin{array}{c}{\displaystyle r=\frac{abc}{4t}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{65}{8}=8\mathrm{,}125.}\end{array}$ A beírt kör sugara 4 cm, a köré írt sugara 8,125 cm.   9. Egy húrtrapéz alapú egyenes hasáb alakú edényben víz van. A trapéz párhuzamos oldalai 4 cm és 10 cm, szárai 5 cm, a test magassága 11,2 cm hosszú. Ha a testet a trapéz alakú alaplapjáról a legnagyobb területű oldallapjára fordítjuk, akkor az edényben levő víz magassága a harmadára változik. Határozzuk meg az edényben levő víz térfogatát.  (16 pont)   Megoldás. Az adatok alapján: $AK=3$, a trapéz magassága: $DK=4$. Ha a test a trapéz alakú alaplapján áll, akkor a benne lévő víz térfogata: $\begin{array}{c}{\displaystyle V=\frac{10+4}{2}\cdot 4\cdot m=28m\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $m$ a víz magassága. A test legnagyobb területű oldallapja a 10-szer 11,2-es téglalap. A $KDA▵\sim TEA▵$, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{\frac{m}{3}}{4}\mathrm{,}\text{azaz}x=\frac{m}{4}\mathrm{.}}\end{array}$     Ha a test a 10-szer 11,2-es téglalap alakú oldallapján áll, akkor a benne lévő víz térfogata így írható fel: $\begin{array}{c}{\displaystyle V=\frac{10+10-2\cdot \frac{m}{4}}{2}\cdot \frac{m}{3}\cdot 11\mathrm{,}\mathrm{2,}\text{vagyis}\frac{10+10-2\cdot \frac{m}{4}}{2}\cdot \frac{m}{3}\cdot 11\mathrm{,}2=28m\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből kapjuk, hogy $11\mathrm{,}2m^2-112m=0$, amiből $m=0$ vagy $m=10$. Az $m=0$ esetén az edényben nincs víz. Az $m=10$ esetén 280 cm${}^3$ víz van az edényben.