Cím: Megoldásvázlatok a 2008/8. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Fazekas Anna 
Füzet: 2008/december, 523 - 528. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
(x-2)2+4-4x+x2+6x-183-x=0.(11 pont)

 
Megoldás. Értelmezési tartomány: R\{3}.
Az egyenlet ekvivalens átalakításai:
(x-2)2+(x-2)2+-6(3-x)3-x=0,(x-2)2+|x-2|-6=0,(|x-2|+3)(|x-2|-2)=0.
Az első tényező minden x esetén pozitív, a második tényező |x-2|=2 esetén lesz 0. Az egyenlet két megoldása a 0 és 4. Ezek helyessége ellenőrizhető.
 
2. Az Aggteleki Nemzeti Park egyik legféltettebb, fokozottan védett növényritkasága a tornai vértő. Eszmei értéke 250 000 Ft.
A növény tulajdonságait vizsgáló kutató úgy tapasztalta, hogy a tornai vértő növekedését közelítőleg a h(x)=2+log2(x+1) hozzárendelésű függvény írja le. A növény magassága h cm, az eltelt idő pedig x nap, x[0;7].
a) Milyen magas a mérés utolsó napján a növény?  (3 pont)
b) Melyik napon éri el a magassága a 4 cm-t?  (3 pont)
c) Magyarországon még jelentős az állomány. Az Európai Unióban lévő állomány kb. 30%-a található itt, mintegy 600000 példány. Évi 4%-os csökkenéssel számolva mennyi idő alatt csökken a magyarországi állomány a negyedére?  (6 pont)
 
Megoldás. a) h(7)=2+log28=2+3=5. A mérés utolsó napján a növény 5 cm magas.
b) A 4=2+log2(x+1) egyenlet megoldása x=3. A harmadik napon éri el a magasság a 4 cm-t.
c) 4%-os csökkenés mellett n év múlva az állomány példányszáma 6000000,96n, ez az érték egyenlő az állomány negyedével, azaz
6000000,96n=6000004,0,96n=0,25,lg0,96n=lg0,25,
amiből a logaritmus azonosságának alkalmazásával:
n=lg0,25lg0,9633,96.
Megközelítőleg 34 év alatt csökken az állomány a negyedére.
 
3. Egy derékszögű háromszögben az átfogó hossza 5, a szögek szinusza pedig növekvő sorrendben egy számtani sorozat három egymást követő eleme. Mekkora a háromszög területe?  (14 pont)
 
Megoldás. A derékszögű háromszög szögei növekvő sorrendben: α, 90-α, 90. Mivel 0-tól 90-ig a sinx szigorúan monoton növekvő, így sinα<sin(90-α)<sin90, azaz sinα<cosα<1.
 
 

Mivel ezek egy számtani sorozat egymást követő elemei, így 1+sinα2=cosα. Négyzetre emelhetünk és a sin2α+cos2α=1 alkalmazásával kapjuk: 5sin2α+2sinα-3=0, melynek megoldásai sinα-ra 0,6 és -1. A -1 nem lehetséges, hiszen derékszögű háromszög szögei esetén 0<sinα1.
sinα=a5,0,6=a5,a=3.
A Pitagorasz-tétel alkalmazásával: 32+b2=52, amiből b=4. A háromszög területe:
T=342=6.

 
4. Egy rombusz egyik tompaszögének csúcsából húzott két magasság hossza 13, a talppontjukat összekötő szakasz hossza pedig 10.
a) Mekkorák a rombusz szögei?  (10 pont)
b) Mekkora a rombusz kerülete?  (4 pont)
 
Megoldás. a) 90-α. Az APT háromszög egyenlőszárú a tengelyes szimmetria miatt. Így az alapjához tartozó magasság által keletkezett derékszögű háromszögben: cosα=5130,3846, melyből α67,38 és 90-α=22,62.
 
 

A PTC háromszög is egyenlőszárú háromszög, így a C csúcsnál lévő szög 180-2(90-α)=134,76.
Mivel a rombusz két szomszédos szögének összege 180, így a rombusz hegyesszögei 45,24-osak, tompaszögei 134,76-osak.
b) Az APB derékszögű háromszögben sin45,24=13a, melyből a18,31. A rombusz kerülete: K=4a=73,24.
 

II. rész
 

5. a) Hány darab négyjegyű szám képezhető a páros számjegyek felhasználásával, ha a számjegyek nem ismétlődhetnek?  (3 pont)
b) Mennyi az így kapott négyjegyű számok összege?  (5 pont)
c) Öt cédulára rendre felírva a páros számjegyeket, majd egy urnába téve négyet kihúzunk közülük, és ezeket a kihúzás sorrendjében egymás mellé tesszük. Mennyi a valószínűsége, hogy ha a kapott szám négyjegyű, akkor hattal osztható?  (8 pont)
 
Megoldás. a) A páros számjegyek (0, 2, 4, 6, 8) felhasználásával kell négyjegyű számokat előállítani. Az első helyen négy számjegy (2, 4, 6, 8), a második helyen (ha már egyet rögzítettünk az első helyen) szintén négy számjegy, a harmadik helyen három, a negyedik helyen két számjegy jöhet szóba.
Tehát összesen 4432=96 db megfelelő négyjegyű szám képezhető.
b) Ezen négyjegyű számokban
 
024681. helyen (ezresek)0242424242. helyen (százasok)24181818183. helyen (tízesek)24181818184. helyen (egyesek)2418181818
 
Tehát az összeg:
00+(2+4+6+8)241000=480000,240+(2+4+6+8)18100=36000,240+(2+4+6+8)1810=3600,240+(2+4+6+8)181=360,
azaz 519 960 az így kapott négyjegyű számok összege.
c) Egy szám osztható 6-tal, ha osztható 2-vel és 3-mal is. Mivel az utolsó jegy biztosan osztható 2-vel, így csak a 3-mal való oszthatóságot kell figyelembe venni. A négyjegyű számokban szereplő számjegyek a következők lehetnek:
I. 0, 2, 4, 6, II. 0, 2, 4, 8, III. 0, 2, 6, 8, IV. 0, 4, 6, 8, V. 2, 4, 6, 8.
Ezek összes permutációját véve (az első helyen 0 nem állhat), csak az I. és II. helyen szereplő jegyekből előállítható négyjegyű számok oszthatóak 3-mal, hiszen csak ezekben az esetekben osztható a számjegyek összege 3-mal.
Mivel az első helyen 3 db, a második helyen 3 db, a harmadik helyen 2 db és a negyedik helyen 1 db számjegy állhat az I. és II. esetben, így a kedvező esetek száma 2(3321)=36, az összes esetek száma 96, így a keresett valószínűség p=3696=0,375.
 
6. Egy paralelogramma két szomszédos csúcsának koordinátái A(8;9) és B(0;3), egyik oldalegyenesének egyenlete x+2y=6. A paralelogramma területe 80. Határozzuk meg a hiányzó csúcsok koordinátáit.  (16 pont)
 
Megoldás. Az A és B koordinátáit behelyettesítve az adott egyenes egyenletébe látható, hogy az A pont nem, de a B pont az adott egyenesen rajta van. A paralelogramma területe T=am. A paralelogramma magasságát az A pontnak az adott egyenestől való távolsága adja. Az A ponton áthaladó és az adott egyenesre merőleges egyenes egyenletének meghatározása:
Az adott egyenes normálvektora: ne(1;2). A keresett egyenes normálvektora n(2;-1), az adott pont A(8;9). A keresett egyenes egyenlete: 2x-y=7.
 
 

A két egyenes T metszéspontjának meghatározása: A 2x-y=7 és az x+2y=6 egyenletrendszer megoldása: x=4, y=1, így T(4;1). A paralelogramma magassága: m=|AT|=808,94. Ezt a területképletbe behelyettesítve:
a=8080=808,94.
A C(c1;c2) csúcs meghatározása: a=|BC|=c12+(c2-3)2=80. Mivel C az adott egyenesnek is pontja, így c1+2c2=6. Egyenletrendszerként megoldva két C pontot kapunk: C1(-8;7), C2(8;-1).
Mivel a paralelogramma átlói felezik egymást, így az AC felezőpontja a két esetben: F1(0;8), F2(8;4), ami a BD felezője is. Ha D(d1;d2) koordinátájú, akkor F(d12;d2+32), mely alapján D1(0;13), D2(16;5).
 
7. Adott az R{-1;6} valós számokra értelmezett
f(x)=2x2-9x-11x2-5x-6
függvény.
a) Ábrázoljuk az f függvényt grafikonját.  (8 pont)
b) Határozzuk meg f legkisebb és legnagyobb értékét a [0;5] intervallumon.  (2 pont)
c) Adjuk meg az f függvény grafikonjának 5 abszcisszájú pontjához húzható érintőjének egyenletét.  (6 pont)
 
Megoldás. a) A 2x2-9x-11x2-5x-6 tört szorzatalakja:
2(x-5,5)(x+1)(x-6)(x+1),
egyszerűsítés után f(x)=2x-11x-6, mely az
f(x)=1x-6+2
hiperbolát adja.
 
 

b) Mivel a függvény a [0;5] intervallumon szigorúan monoton csökkenő, ezért a legkisebb értéket az x=5 helyen veszi fel: f(5)=1, a legnagyobb értéket az x=0 helyen veszi fel: f(0)=116.
c) Az érintő egyenlete: y-y0=m(x-x0), ahol x0=5, y0=1 és m=f'(x0).
f'(x)=(1x-6+2)'=-1(x-6)2,
így m=f'(5)=-1. Az érintő egyenlete: y-1=-(x-5), azaz y=-x+6.
 
8. Vágjunk ki papírból egy 4 dm oldalú négyzetet és egy 4 dm oldalú szabályos háromszöget, majd vágjuk átlói mentén a négyzetet négy egybevágó derékszögű háromszögre. Három egyenlő szárú derékszögű háromszögből és az egyenlő oldalú háromszögből gúla hálózata állítható össze, mely egy építmény 1:20 arányú kicsinyített mása az éleket tekintve.
a) Mekkora az építmény felszíne, ha az alaplapot is hozzászámítjuk?  (9 pont)
b) A tömör építményt betonból szeretnénk elkészíteni. Mekkora mennyiséget fogunk felhasználni az egyes anyagokból, ha 10m3 betonhoz 2500 kg cementre, 12m3 sóderre és 2400 l vízre van szükség?  (5 pont)
c) Mekkora a bedolgozott beton anyagköltsége, ha a megrendeléstől a szállításig (a kifizetéséig) az anyagárak 15%-kal emelkedtek, és a tervezéskor 1 mázsa cement ára 3100 Ft, 1m3 sóder ára 4200 Ft volt? (A vizet saját kútból vettük, így az nem növelte a költségeket.)  (3 pont)
 
Megoldás. a) Az építmény oldalai a hasonlóság alapján 20-szorosára növekedtek, vagyis a 4 dm a valóságban 8 m lesz.
A Pitagorasz-tétel alapján a derékszögű háromszögek befogói a=82. Az építmény felszíne:
A=a234+3a22=83+31661,86.
Az építmény felülete kb. 61,86 m2.
 
 

b) Az építmény térfogatának kiszámításához tekintsük alaplapnak az egyik derékszögű háromszöget. Ekkor a térfogat:
V=Ta3=1682330,17.
Mivel a 10 m3 betonhoz tudjuk a hozzávalókat, azért mindegyik anyagmennyiség 3,017-szeresét kell venni. Vagyis cementből 7542,5 kg, sóderből 36,204 m3, vízből 7240,8 l a szükséges anyagmennyiség.
c) Tervezéskor a cement 75,4253100=233817,5 Ft-ba, a sóder 36,2044200=152056,8 Ft-ba került. Ez összesen 385 874,3 Ft.
A bedolgozott beton anyagköltsége: 385874,31,15443755 Ft.
 
9. Az f(x)=x2+2x+p3+3p2+2p hozzárendelésű másodfokú függvénynek két különböző zérushelye van. Határozzuk meg a p paraméter értékét úgy, hogy a zérushelyek szorzata az f függvény 0 helyen felvett értékének négyzetével legyen egyenlő.  (16 pont)
 
Megoldás. Az f(x) két különböző zérushelye miatt az x2+2x+p3+3p2+2p=0 másodfokú egyenlet diszkriminánsának pozitívnak kell lennie, azaz
D=4-4(p3+3p2+2p)>0,  vagyis  p3+3p2+2p<1.
A zérushelyek szorzata a gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján:
x1x2=p3+3p2+2p.
A függvény 0 helyen felvett értéke: f(0)=p3+3p2+2p.
A feladat szövege szerint: p3+3p2+2p=(p3+3p2+2p)2, mely y=p3+3p2+2p helyettesítéssel y=y2 hiányos másodfokú egyenlet alakban írható. Ennek megoldásai: y1=0, y2=1.
1. eset: p3+3p2+2p=0. Kiemeléssel a p(p2+3p+2)=0 alakot kapjuk, ennek megoldásai: p1=0, p2=-1, p3=-2.
2. eset: p3+3p2+2p=1. A diszkrimináns vizsgálatakor kapott feltétel miatt ez nem lehetséges.
Vagyis a paraméter lehetséges értékei: p1=0, p2=-1, p3=-2. Ellenőrzéssel helyességük igazolható.