Cím:	Megoldásvázlatok a 2008/8. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Fazekas Anna
Füzet:	2008/december, 523 - 528. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-2\right)}^2+\sqrt[]{4-4x+x^2}+\frac{6x-18}{3-x}=0.}\end{array}$ (11 pont)   Megoldás. Értelmezési tartomány: $\text{R}\backslash \left\{3\right\}$. Az egyenlet ekvivalens átalakításai: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\left(x-2\right)}^2+\sqrt[]{{\left(x-2\right)}^2}+\frac{-6\left(3-x\right)}{3-x}}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(x-2\right)}^2+|x-2|-6}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(|x-2|+3\right)\left(|x-2|-2\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Az első tényező minden $x$ esetén pozitív, a második tényező $|x-2|=2$ esetén lesz 0. Az egyenlet két megoldása a 0 és 4. Ezek helyessége ellenőrizhető.   2. Az Aggteleki Nemzeti Park egyik legféltettebb, fokozottan védett növényritkasága a tornai vértő. Eszmei értéke 250 000 Ft. A növény tulajdonságait vizsgáló kutató úgy tapasztalta, hogy a tornai vértő növekedését közelítőleg a $h\left(x\right)=2+\text{log}{}_2\left(x+1\right)$ hozzárendelésű függvény írja le. A növény magassága $h$ cm, az eltelt idő pedig $x$ nap, $x\in \left[0;7\right]$. $a)$ Milyen magas a mérés utolsó napján a növény?  (3 pont) $b)$ Melyik napon éri el a magassága a 4 cm-t?  (3 pont) $c)$ Magyarországon még jelentős az állomány. Az Európai Unióban lévő állomány kb. $30\%$-a található itt, mintegy $600000$ példány. Évi $4\%$-os csökkenéssel számolva mennyi idő alatt csökken a magyarországi állomány a negyedére?  (6 pont)   Megoldás. $a)$ $h\left(7\right)=2+\text{log}{}_{2}8=2+3=5$. A mérés utolsó napján a növény 5 cm magas. $b)$ A $4=2+\text{log}{}_2\left(x+1\right)$ egyenlet megoldása $x=3$. A harmadik napon éri el a magasság a 4 cm-t. $c)$ 4%-os csökkenés mellett $n$ év múlva az állomány példányszáma $600000\cdot 0\mathrm{,}{96}^n$, ez az érték egyenlő az állomány negyedével, azaz ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 600000\cdot 0\mathrm{,}{96}^n}& {\displaystyle =\frac{600000}{4}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0\mathrm{,}{96}^n}& {\displaystyle =0\mathrm{,}\mathrm{25,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{lg}0\mathrm{,}{96}^n}& {\displaystyle =\text{lg}0\mathrm{,}\mathrm{25,}}\hfill \end{array}}$ amiből a logaritmus azonosságának alkalmazásával: $\begin{array}{c}{\displaystyle n=\frac{\text{lg}0\mathrm{,}25}{\text{lg}0\mathrm{,}96}\approx 33\mathrm{,}96.}\end{array}$ Megközelítőleg 34 év alatt csökken az állomány a negyedére.   3. Egy derékszögű háromszögben az átfogó hossza $5$, a szögek szinusza pedig növekvő sorrendben egy számtani sorozat három egymást követő eleme. Mekkora a háromszög területe?  (14 pont)   Megoldás. A derékszögű háromszög szögei növekvő sorrendben: $\alpha$, ${90}^{\circ }-\alpha$, ${90}^{\circ }$. Mivel $0^{\circ }$-tól ${90}^{\circ }$-ig a $\text{sin}x$ szigorúan monoton növekvő, így $\text{sin}\alpha <\text{sin}\left({90}^{\circ }-\alpha \right)<\text{sin}{90}^{\circ }$, azaz $\text{sin}\alpha <\text{cos}\alpha <1$.     Mivel ezek egy számtani sorozat egymást követő elemei, így $\frac{1+\text{sin}\alpha }{2}=\text{cos}\alpha$. Négyzetre emelhetünk és a $\text{sin}{}^2\alpha +\text{cos}{}^2\alpha =1$ alkalmazásával kapjuk: $5\text{sin}{}^2\alpha +2\text{sin}\alpha -3=0$, melynek megoldásai $\text{sin}\alpha$-ra 0,6 és $-1$. A $-1$ nem lehetséges, hiszen derékszögű háromszög szögei esetén $0<\text{sin}\alpha \le 1$. $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\alpha =\frac{a}{5}\mathrm{,}0\mathrm{,}6=\frac{a}{5}\mathrm{,}a=3.}\end{array}$ A Pitagorasz-tétel alkalmazásával: $3^2+b^2=5^2$, amiből $b=4$. A háromszög területe: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\frac{3\cdot 4}{2}=6.}\end{array}$   4. Egy rombusz egyik tompaszögének csúcsából húzott két magasság hossza $13$, a talppontjukat összekötő szakasz hossza pedig $10$. $a)$ Mekkorák a rombusz szögei?  (10 pont) $b)$ Mekkora a rombusz kerülete?  (4 pont)   Megoldás. $a)$ ${90}^{\circ }-\alpha$. Az $APT$ háromszög egyenlőszárú a tengelyes szimmetria miatt. Így az alapjához tartozó magasság által keletkezett derékszögű háromszögben: $\text{cos}\alpha =\frac{5}{13}\approx 0\mathrm{,}3846$, melyből $\alpha \approx 67\mathrm{,}{38}^{\circ }$ és ${90}^{\circ }-\alpha =22\mathrm{,}{62}^{\circ }$.     A $PTC$ háromszög is egyenlőszárú háromszög, így a $C$ csúcsnál lévő szög ${180}^{\circ }-2\left({90}^{\circ }-\alpha \right)=134\mathrm{,}{76}^{\circ }$. Mivel a rombusz két szomszédos szögének összege ${180}^{\circ }$, így a rombusz hegyesszögei $45\mathrm{,}{24}^{\circ }$-osak, tompaszögei $134\mathrm{,}{76}^{\circ }$-osak. $b)$ Az $APB$ derékszögű háromszögben $\text{sin}45\mathrm{,}{24}^{\circ }=\frac{13}{a}$, melyből $a\approx 18\mathrm{,}31$. A rombusz kerülete: $K=4a=73\mathrm{,}24$.   II. rész   5. $a)$ Hány darab négyjegyű szám képezhető a páros számjegyek felhasználásával, ha a számjegyek nem ismétlődhetnek?  (3 pont) $b)$ Mennyi az így kapott négyjegyű számok összege?  (5 pont) $c)$ Öt cédulára rendre felírva a páros számjegyeket, majd egy urnába téve négyet kihúzunk közülük, és ezeket a kihúzás sorrendjében egymás mellé tesszük. Mennyi a valószínűsége, hogy ha a kapott szám négyjegyű, akkor hattal osztható?  (8 pont)   Megoldás. $a)$ A páros számjegyek (0, 2, 4, 6, 8) felhasználásával kell négyjegyű számokat előállítani. Az első helyen négy számjegy (2, 4, 6, 8), a második helyen (ha már egyet rögzítettünk az első helyen) szintén négy számjegy, a harmadik helyen három, a negyedik helyen két számjegy jöhet szóba. Tehát összesen $4\cdot 4\cdot 3\cdot 2=96$ db megfelelő négyjegyű szám képezhető. $b)$ Ezen négyjegyű számokban   ${\displaystyle \begin{array}{|cccccc|}\hline {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}& \hfill {\displaystyle \text{2}}& \hfill {\displaystyle \text{4}}& \hfill {\displaystyle \text{6}}& \hfill {\displaystyle \text{8}}\\ {\displaystyle \text{1. helyen (ezresek)}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}& \hfill {\displaystyle \text{24}}& \hfill {\displaystyle \text{24}}& \hfill {\displaystyle \text{24}}& \hfill {\displaystyle \text{24}}\\ {\displaystyle \text{2. helyen (százasok)}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{24}}& \hfill {\displaystyle \text{18}}& \hfill {\displaystyle \text{18}}& \hfill {\displaystyle \text{18}}& \hfill {\displaystyle \text{18}}\\ {\displaystyle \text{3. helyen (tízesek)}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{24}}& \hfill {\displaystyle \text{18}}& \hfill {\displaystyle \text{18}}& \hfill {\displaystyle \text{18}}& \hfill {\displaystyle \text{18}}\\ {\displaystyle \text{4. helyen (egyesek)}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{24}}& \hfill {\displaystyle \text{18}}& \hfill {\displaystyle \text{18}}& \hfill {\displaystyle \text{18}}& \hfill {\displaystyle \text{18}}\\ \hline\end{array}}$   Tehát az összeg: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle 0\cdot 0}& {\displaystyle +\left(2+4+6+8\right)\cdot 24\cdot 1000}\hfill & {\displaystyle =480\mathrm{000,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 24\cdot 0}& {\displaystyle +\left(2+4+6+8\right)\cdot 18\cdot 100}\hfill & {\displaystyle =36\mathrm{000,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 24\cdot 0}& {\displaystyle +\left(2+4+6+8\right)\cdot 18\cdot 10}\hfill & {\displaystyle =\mathrm{3600,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 24\cdot 0}& {\displaystyle +\left(2+4+6+8\right)\cdot 18\cdot 1}\hfill & {\displaystyle =\mathrm{360,}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ azaz 519 960 az így kapott négyjegyű számok összege. $c)$ Egy szám osztható 6-tal, ha osztható 2-vel és 3-mal is. Mivel az utolsó jegy biztosan osztható 2-vel, így csak a 3-mal való oszthatóságot kell figyelembe venni. A négyjegyű számokban szereplő számjegyek a következők lehetnek: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{I. 0, 2, 4, 6, II. 0, 2, 4, 8, III. 0, 2, 6, 8, IV. 0, 4, 6, 8, V. 2, 4, 6, 8.}}\end{array}$ Ezek összes permutációját véve (az első helyen 0 nem állhat), csak az I. és II. helyen szereplő jegyekből előállítható négyjegyű számok oszthatóak 3-mal, hiszen csak ezekben az esetekben osztható a számjegyek összege 3-mal. Mivel az első helyen 3 db, a második helyen 3 db, a harmadik helyen 2 db és a negyedik helyen 1 db számjegy állhat az I. és II. esetben, így a kedvező esetek száma $2\cdot \left(3\cdot 3\cdot 2\cdot 1\right)=36$, az összes esetek száma 96, így a keresett valószínűség $p=\frac{36}{96}=0\mathrm{,}375$.   6. Egy paralelogramma két szomszédos csúcsának koordinátái $A\left(8;9\right)$ és $B\left(0;3\right)$, egyik oldalegyenesének egyenlete $x+2y=6$. A paralelogramma területe $80$. Határozzuk meg a hiányzó csúcsok koordinátáit.  (16 pont)   Megoldás. Az $A$ és $B$ koordinátáit behelyettesítve az adott egyenes egyenletébe látható, hogy az $A$ pont nem, de a $B$ pont az adott egyenesen rajta van. A paralelogramma területe $T=am$. A paralelogramma magasságát az $A$ pontnak az adott egyenestől való távolsága adja. Az $A$ ponton áthaladó és az adott egyenesre merőleges egyenes egyenletének meghatározása: Az adott egyenes normálvektora: ${\text{n}}_e\left(1;2\right)$. A keresett egyenes normálvektora $\text{n}\left(2;-1\right)$, az adott pont $A\left(8;9\right)$. A keresett egyenes egyenlete: $2x-y=7$.     A két egyenes $T$ metszéspontjának meghatározása: A $2x-y=7$ és az $x+2y=6$ egyenletrendszer megoldása: $x=4$, $y=1$, így $T\left(4;1\right)$. A paralelogramma magassága: $m=|\overrightarrow{AT}|=\sqrt[]{80}\approx 8\mathrm{,}94$. Ezt a területképletbe behelyettesítve: $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{80}{\sqrt[]{80}}=\sqrt[]{80}\approx 8\mathrm{,}94.}\end{array}$ A $C\left(c_1;c_2\right)$ csúcs meghatározása: $a=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt[]{c_1^2+{\left(c_2-3\right)}^2}=\sqrt[]{80}$. Mivel $C$ az adott egyenesnek is pontja, így $c_1+2c_2=6$. Egyenletrendszerként megoldva két $C$ pontot kapunk: $C_1\left(-8;7\right)$, $C_2\left(8;-1\right)$. Mivel a paralelogramma átlói felezik egymást, így az $AC$ felezőpontja a két esetben: $F_1\left(0;8\right)$, $F_2\left(8;4\right)$, ami a $BD$ felezője is. Ha $D\left(d_1;d_2\right)$ koordinátájú, akkor $F\left(\frac{d_1}{2};\frac{d_2+3}{2}\right)$, mely alapján $D_1\left(0;13\right)$, $D_2\left(16;5\right)$.   7. Adott az $\text{R}\setminus \left\{-1;6\right\}$ valós számokra értelmezett $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2x^2-9x-11}{x^2-5x-6}}\end{array}$ függvény. $a)$ Ábrázoljuk az $f$ függvényt grafikonját.  (8 pont) $b)$ Határozzuk meg $f$ legkisebb és legnagyobb értékét a $\left[0;5\right]$ intervallumon.  (2 pont) $c)$ Adjuk meg az $f$ függvény grafikonjának $5$ abszcisszájú pontjához húzható érintőjének egyenletét.  (6 pont)   Megoldás. $a)$ A $\frac{2x^2-9x-11}{x^2-5x-6}$ tört szorzatalakja: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2\left(x-5\mathrm{,}5\right)\left(x+1\right)}{\left(x-6\right)\left(x+1\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ egyszerűsítés után $f\left(x\right)=\frac{2x-11}{x-6}$, mely az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{x-6}+2}\end{array}$ hiperbolát adja.     $b)$ Mivel a függvény a $\left[0;5\right]$ intervallumon szigorúan monoton csökkenő, ezért a legkisebb értéket az $x=5$ helyen veszi fel: $f\left(5\right)=1$, a legnagyobb értéket az $x=0$ helyen veszi fel: $f\left(0\right)=\frac{11}{6}$. $c)$ Az érintő egyenlete: $y-y_0=m\left(x-x_0\right)$, ahol $x_0=5$, $y_0=1$ és $m=f\text{'}\left(x_0\right)$. $\begin{array}{c}{\displaystyle f\text{'}\left(x\right)={\left(\frac{1}{x-6}+2\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{{\left(x-6\right)}^2}\mathrm{,}}\end{array}$ így $m=f\text{'}\left(5\right)=-1$. Az érintő egyenlete: $y-1=-\left(x-5\right)$, azaz $y=-x+6$.   8. Vágjunk ki papírból egy 4 dm oldalú négyzetet és egy 4 dm oldalú szabályos háromszöget, majd vágjuk átlói mentén a négyzetet négy egybevágó derékszögű háromszögre. Három egyenlő szárú derékszögű háromszögből és az egyenlő oldalú háromszögből gúla hálózata állítható össze, mely egy építmény $1:20$ arányú kicsinyített mása az éleket tekintve. $a)$ Mekkora az építmény felszíne, ha az alaplapot is hozzászámítjuk?  (9 pont) $b)$ A tömör építményt betonból szeretnénk elkészíteni. Mekkora mennyiséget fogunk felhasználni az egyes anyagokból, ha $10\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ betonhoz 2500 kg cementre, $12\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ sóderre és 2400 l vízre van szükség?  (5 pont) $c)$ Mekkora a bedolgozott beton anyagköltsége, ha a megrendeléstől a szállításig (a kifizetéséig) az anyagárak $15\%$-kal emelkedtek, és a tervezéskor $1$ mázsa cement ára 3100 Ft, $1\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ sóder ára 4200 Ft volt? (A vizet saját kútból vettük, így az nem növelte a költségeket.)  (3 pont)   Megoldás. $a)$ Az építmény oldalai a hasonlóság alapján 20-szorosára növekedtek, vagyis a 4 dm a valóságban 8 m lesz. A Pitagorasz-tétel alapján a derékszögű háromszögek befogói $a=\frac{8}{\sqrt[]{2}}$. Az építmény felszíne: $\begin{array}{c}{\displaystyle A=\frac{a^2\cdot \sqrt[]{3}}{4}+3\cdot \frac{a^2}{2}=8\sqrt[]{3}+3\cdot 16\approx 61\mathrm{,}86.}\end{array}$ Az építmény felülete kb. 61,86 m${}^2$.     $b)$ Az építmény térfogatának kiszámításához tekintsük alaplapnak az egyik derékszögű háromszöget. Ekkor a térfogat: $\begin{array}{c}{\displaystyle V=\frac{T\cdot a}{3}=\frac{16\cdot \frac{8}{\sqrt[]{2}}}{3}\approx 30\mathrm{,}17.}\end{array}$ Mivel a 10 m${}^3$ betonhoz tudjuk a hozzávalókat, azért mindegyik anyagmennyiség 3,017-szeresét kell venni. Vagyis cementből 7542,5 kg, sóderből 36,204 m${}^3$, vízből 7240,8 l a szükséges anyagmennyiség. $c)$ Tervezéskor a cement $75\mathrm{,}425\cdot 3100=233817\mathrm{,}5$ Ft-ba, a sóder $36\mathrm{,}204\cdot 4200=152056\mathrm{,}8$ Ft-ba került. Ez összesen 385 874,3 Ft. A bedolgozott beton anyagköltsége: $385874\mathrm{,}3\cdot 1\mathrm{,}15\approx 443755$ Ft.   9. Az $f\left(x\right)=x^2+2x+p^3+3p^2+2p$ hozzárendelésű másodfokú függvénynek két különböző zérushelye van. Határozzuk meg a $p$ paraméter értékét úgy, hogy a zérushelyek szorzata az $f$ függvény $0$ helyen felvett értékének négyzetével legyen egyenlő.  (16 pont)   Megoldás. Az $f\left(x\right)$ két különböző zérushelye miatt az $x^2+2x+p^3+3p^2+2p=0$ másodfokú egyenlet diszkriminánsának pozitívnak kell lennie, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle D=4-4\left(p^3+3p^2+2p\right)>\mathrm{0,}\text{ vagyis }{p}^3+3p^2+2p<1.}\end{array}$ A zérushelyek szorzata a gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1{x}_2=p^3+3p^2+2p\mathrm{.}}\end{array}$ A függvény 0 helyen felvett értéke: $f\left(0\right)=p^3+3p^2+2p$. A feladat szövege szerint: $p^3+3p^2+2p={\left(p^3+3p^2+2p\right)}^2$, mely $y=p^3+3p^2+2p$ helyettesítéssel $y=y^2$ hiányos másodfokú egyenlet alakban írható. Ennek megoldásai: $y_1=0$, $y_2=1$. 1. eset: $p^3+3p^2+2p=0$. Kiemeléssel a $p\left(p^2+3p+2\right)=0$ alakot kapjuk, ennek megoldásai: $p_1=0$, $p_2=-1$, $p_3=-2$. 2. eset: $p^3+3p^2+2p=1$. A diszkrimináns vizsgálatakor kapott feltétel miatt ez nem lehetséges. Vagyis a paraméter lehetséges értékei: $p_1=0$, $p_2=-1$, $p_3=-2$. Ellenőrzéssel helyességük igazolható.