A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: | | (11 pont) |
Megoldás. Értelmezési tartomány: . Az egyenlet ekvivalens átalakításai:
Az első tényező minden esetén pozitív, a második tényező esetén lesz 0. Az egyenlet két megoldása a 0 és 4. Ezek helyessége ellenőrizhető.
2. Az Aggteleki Nemzeti Park egyik legféltettebb, fokozottan védett növényritkasága a tornai vértő. Eszmei értéke 250 000 Ft. A növény tulajdonságait vizsgáló kutató úgy tapasztalta, hogy a tornai vértő növekedését közelítőleg a hozzárendelésű függvény írja le. A növény magassága cm, az eltelt idő pedig nap, . Milyen magas a mérés utolsó napján a növény? (3 pont) Melyik napon éri el a magassága a 4 cm-t? (3 pont) Magyarországon még jelentős az állomány. Az Európai Unióban lévő állomány kb. -a található itt, mintegy példány. Évi -os csökkenéssel számolva mennyi idő alatt csökken a magyarországi állomány a negyedére? (6 pont)
Megoldás. . A mérés utolsó napján a növény 5 cm magas. A egyenlet megoldása . A harmadik napon éri el a magasság a 4 cm-t. 4%-os csökkenés mellett év múlva az állomány példányszáma , ez az érték egyenlő az állomány negyedével, azaz
amiből a logaritmus azonosságának alkalmazásával: Megközelítőleg 34 év alatt csökken az állomány a negyedére.
3. Egy derékszögű háromszögben az átfogó hossza , a szögek szinusza pedig növekvő sorrendben egy számtani sorozat három egymást követő eleme. Mekkora a háromszög területe? (14 pont)
Megoldás. A derékszögű háromszög szögei növekvő sorrendben: , , . Mivel -tól -ig a szigorúan monoton növekvő, így , azaz .
Mivel ezek egy számtani sorozat egymást követő elemei, így . Négyzetre emelhetünk és a alkalmazásával kapjuk: , melynek megoldásai -ra 0,6 és . A nem lehetséges, hiszen derékszögű háromszög szögei esetén . A Pitagorasz-tétel alkalmazásával: , amiből . A háromszög területe:
4. Egy rombusz egyik tompaszögének csúcsából húzott két magasság hossza , a talppontjukat összekötő szakasz hossza pedig . Mekkorák a rombusz szögei? (10 pont) Mekkora a rombusz kerülete? (4 pont)
Megoldás. . Az háromszög egyenlőszárú a tengelyes szimmetria miatt. Így az alapjához tartozó magasság által keletkezett derékszögű háromszögben: , melyből és .
A háromszög is egyenlőszárú háromszög, így a csúcsnál lévő szög . Mivel a rombusz két szomszédos szögének összege , így a rombusz hegyesszögei -osak, tompaszögei -osak. Az derékszögű háromszögben , melyből . A rombusz kerülete: .
II. rész 5. Hány darab négyjegyű szám képezhető a páros számjegyek felhasználásával, ha a számjegyek nem ismétlődhetnek? (3 pont) Mennyi az így kapott négyjegyű számok összege? (5 pont) Öt cédulára rendre felírva a páros számjegyeket, majd egy urnába téve négyet kihúzunk közülük, és ezeket a kihúzás sorrendjében egymás mellé tesszük. Mennyi a valószínűsége, hogy ha a kapott szám négyjegyű, akkor hattal osztható? (8 pont)
Megoldás. A páros számjegyek (0, 2, 4, 6, 8) felhasználásával kell négyjegyű számokat előállítani. Az első helyen négy számjegy (2, 4, 6, 8), a második helyen (ha már egyet rögzítettünk az első helyen) szintén négy számjegy, a harmadik helyen három, a negyedik helyen két számjegy jöhet szóba. Tehát összesen db megfelelő négyjegyű szám képezhető. Ezen négyjegyű számokban
Tehát az összeg: | | azaz 519 960 az így kapott négyjegyű számok összege. Egy szám osztható 6-tal, ha osztható 2-vel és 3-mal is. Mivel az utolsó jegy biztosan osztható 2-vel, így csak a 3-mal való oszthatóságot kell figyelembe venni. A négyjegyű számokban szereplő számjegyek a következők lehetnek: | | Ezek összes permutációját véve (az első helyen 0 nem állhat), csak az I. és II. helyen szereplő jegyekből előállítható négyjegyű számok oszthatóak 3-mal, hiszen csak ezekben az esetekben osztható a számjegyek összege 3-mal. Mivel az első helyen 3 db, a második helyen 3 db, a harmadik helyen 2 db és a negyedik helyen 1 db számjegy állhat az I. és II. esetben, így a kedvező esetek száma , az összes esetek száma 96, így a keresett valószínűség .
6. Egy paralelogramma két szomszédos csúcsának koordinátái és , egyik oldalegyenesének egyenlete . A paralelogramma területe . Határozzuk meg a hiányzó csúcsok koordinátáit. (16 pont)
Megoldás. Az és koordinátáit behelyettesítve az adott egyenes egyenletébe látható, hogy az pont nem, de a pont az adott egyenesen rajta van. A paralelogramma területe . A paralelogramma magasságát az pontnak az adott egyenestől való távolsága adja. Az ponton áthaladó és az adott egyenesre merőleges egyenes egyenletének meghatározása: Az adott egyenes normálvektora: . A keresett egyenes normálvektora , az adott pont . A keresett egyenes egyenlete: .
A két egyenes metszéspontjának meghatározása: A és az egyenletrendszer megoldása: , , így . A paralelogramma magassága: . Ezt a területképletbe behelyettesítve: A csúcs meghatározása: . Mivel az adott egyenesnek is pontja, így . Egyenletrendszerként megoldva két pontot kapunk: , . Mivel a paralelogramma átlói felezik egymást, így az felezőpontja a két esetben: , , ami a felezője is. Ha koordinátájú, akkor , mely alapján , .
7. Adott az valós számokra értelmezett függvény. Ábrázoljuk az függvényt grafikonját. (8 pont) Határozzuk meg legkisebb és legnagyobb értékét a intervallumon. (2 pont) Adjuk meg az függvény grafikonjának abszcisszájú pontjához húzható érintőjének egyenletét. (6 pont)
Megoldás. A tört szorzatalakja: egyszerűsítés után , mely az hiperbolát adja.
Mivel a függvény a intervallumon szigorúan monoton csökkenő, ezért a legkisebb értéket az helyen veszi fel: , a legnagyobb értéket az helyen veszi fel: . Az érintő egyenlete: , ahol , és . | | így . Az érintő egyenlete: , azaz .
8. Vágjunk ki papírból egy 4 dm oldalú négyzetet és egy 4 dm oldalú szabályos háromszöget, majd vágjuk átlói mentén a négyzetet négy egybevágó derékszögű háromszögre. Három egyenlő szárú derékszögű háromszögből és az egyenlő oldalú háromszögből gúla hálózata állítható össze, mely egy építmény arányú kicsinyített mása az éleket tekintve. Mekkora az építmény felszíne, ha az alaplapot is hozzászámítjuk? (9 pont) A tömör építményt betonból szeretnénk elkészíteni. Mekkora mennyiséget fogunk felhasználni az egyes anyagokból, ha betonhoz 2500 kg cementre, 12m3 sóderre és 2400 l vízre van szükség? (5 pont) c) Mekkora a bedolgozott beton anyagköltsége, ha a megrendeléstől a szállításig (a kifizetéséig) az anyagárak 15%-kal emelkedtek, és a tervezéskor 1 mázsa cement ára 3100 Ft, 1m3 sóder ára 4200 Ft volt? (A vizet saját kútból vettük, így az nem növelte a költségeket.) (3 pont)
Megoldás. a) Az építmény oldalai a hasonlóság alapján 20-szorosára növekedtek, vagyis a 4 dm a valóságban 8 m lesz. A Pitagorasz-tétel alapján a derékszögű háromszögek befogói a=82. Az építmény felszíne: | A=a2⋅34+3⋅a22=83+3⋅16≈61,86. | Az építmény felülete kb. 61,86 m2.
b) Az építmény térfogatának kiszámításához tekintsük alaplapnak az egyik derékszögű háromszöget. Ekkor a térfogat: Mivel a 10 m3 betonhoz tudjuk a hozzávalókat, azért mindegyik anyagmennyiség 3,017-szeresét kell venni. Vagyis cementből 7542,5 kg, sóderből 36,204 m3, vízből 7240,8 l a szükséges anyagmennyiség. c) Tervezéskor a cement 75,425⋅3100=233817,5 Ft-ba, a sóder 36,204⋅4200=152056,8 Ft-ba került. Ez összesen 385 874,3 Ft. A bedolgozott beton anyagköltsége: 385874,3⋅1,15≈443755 Ft.
9. Az f(x)=x2+2x+p3+3p2+2p hozzárendelésű másodfokú függvénynek két különböző zérushelye van. Határozzuk meg a p paraméter értékét úgy, hogy a zérushelyek szorzata az f függvény 0 helyen felvett értékének négyzetével legyen egyenlő. (16 pont)
Megoldás. Az f(x) két különböző zérushelye miatt az x2+2x+p3+3p2+2p=0 másodfokú egyenlet diszkriminánsának pozitívnak kell lennie, azaz | D=4-4(p3+3p2+2p)>0, vagyis p3+3p2+2p<1. | A zérushelyek szorzata a gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján: A függvény 0 helyen felvett értéke: f(0)=p3+3p2+2p. A feladat szövege szerint: p3+3p2+2p=(p3+3p2+2p)2, mely y=p3+3p2+2p helyettesítéssel y=y2 hiányos másodfokú egyenlet alakban írható. Ennek megoldásai: y1=0, y2=1. 1. eset: p3+3p2+2p=0. Kiemeléssel a p(p2+3p+2)=0 alakot kapjuk, ennek megoldásai: p1=0, p2=-1, p3=-2. 2. eset: p3+3p2+2p=1. A diszkrimináns vizsgálatakor kapott feltétel miatt ez nem lehetséges. Vagyis a paraméter lehetséges értékei: p1=0, p2=-1, p3=-2. Ellenőrzéssel helyességük igazolható. |