Cím: Megoldásvázlatok a 2006/9. sz. emelt szintű gyakorló feladatokhoz
Szerző(k):  Juhászné Kunstár Mária ,  Marczis György ,  Mihály Mária ,  Székely András ,  Tóth István 
Füzet: 2007/január, 6 - 11. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. a) Egy 1600 kötetes iskolai könyvtár magyar és angol nyelvű könyvekből áll. Magyar nyelvű a könyvek p%-a. Ezen könyvek p%-a angol fordításban is megtalálható a könyvtárban. Az eredetileg angol nyelven írt könyvek száma 64. Határozza meg a magyar és az angol nyelvű könyvek arányát.
b) Év végén a beszerzéseket követő felújítás során az összes könyvet egyforma dobozokba pakoljuk. Ha dobozonként 25 könyvet teszünk, akkor 17 könyv kimarad, ha 27 könyvet csomagolunk, akkor négy doboz üresen marad és az utolsónak megrakott dobozba is fér még 5 könyv. Hány dobozunk volt a pakoláshoz? Hány könyvvel gyarapodott a könyvtár állománya az év végére?
 

Megoldás. a) Magyar nyelvű könyv 1600p100, abból angolra fordított 1600p210000. Ha ehhez hozzávesszük az eredetileg angol nyelven írottakat, akkor a teljes angol nyelvű állományt kapjuk, ami (100-p)%-nak felel meg. Így az egyenlet:
1600p210000+64=1600100-p100,
amiből adódik, hogy p2+100p-9600=0. Ennek egyetlen pozitív megoldása a p=60.
Magyar nyelvű könyv 960, angol nyelvű 640 db van, így az arányuk 3:2.
b) A dobozok számát d-vel jelölve, a könyvek számát felírhatjuk 25d+17, illetve 27(d-5)+22 alakban. A megfelelő egyenlőség felírásából d=65 adódik.
Visszahelyettesítve 1642 könyvet kapunk, vagyis 42 könyvvel gyarapodott az állomány.
 
2. Az x2+y2=25 egyenletű körhöz a 3 abszcisszájú pontjaiban érintőket rajzolunk.
a) Írjuk fel az érintők egyenletét.
b) Határozzuk meg az érintők hajlásszögét.
 

Megoldás. a) Az érintési pontok koordinátái: P1(3;4), P2(3;-4). A kör középpontja az origó. A 3 abszcisszájú pontokban rajzolt érintők normálvektorai: (3;4), (3;-4).
Az érintők egyenlete: 3x+4y=25, 3x-4y=25.
b) A hajlásszög megegyezik a normálvektorok hajlásszögével, tompaszög esetén a kiegészítőszögével: |ne|=|nf|=5. A vektorok skaláris szorzata:
nenf=33+4(-4)=9-16=-7,nenf=|ne||nf|cosα,cosα=-725.
(Az α az egyenesek iránytangensének ismeretében is meghatározható.)
α106,261,85 radián. Mivel ez tompaszög, azért az egyenesek hajlásszöge αe,f73,741,29 radián.
 
3. Mely valós számok teljesítik a
log4-5x(4x2+1-4x)+log2x-1(13x-4-10x2)=4
egyenlőséget?
 

Megoldás. Figyelembe véve, hogy 4x2+1-4x=(2x-1)2 és 13x-4-10x2=(4-5x)(2x-1), az értelmezési tartomány a következőképpen alakul: 4-5x>0 és 4-5x1 és 2x-1>0 és 2x-11, amiből 12<x<45 és x35.
A logaritmus azonosságainak felhasználásával, új változó, az y=log4-5x(2x-1) bevezetésével és felismerve, hogy log4-5x(2x-1)=1log2x-1(4-5x) kapjuk a következő, másodfokúra vezethető egyenletet: 2y+1y=3. Megoldásai: y1=1 és y2=12.
Az elsőből: log4-5x(2x-1)=1, azaz 2x-1=4-5x, amiből x1=57 adódik, és ez megoldás.
A másodikból log4-5x(2x-1)=12, azaz 2x-1=4-5x, amiből: x2=34 és x3=-1. Ez utóbbi nem megoldása sem a fenti, sem az eredeti egyenletnek.
Összegezve: az egyenlőséget két valós szám teljesíti. A megoldások: 34 és 57.
 
4. Egy öttagú családban a szülők életkorának összege 80 év, közülük az apa az idősebb. Három fiuk életkora prímszám differenciájú számtani sorozat három egymást követő eleme, összegük 30. Hány évesek a család tagjai, ha az apa két évvel ezelőtt háromszor annyi idős volt, mint a legidősebb fiú, akinek a születésekor az anya 20 évesnél idősebb volt?
 

Megoldás. Legyen az apa életkora x év. Az anya életkora így 80-x. Mivel a férj idősebb a feleségnél, x41. A feltétel alapján a fiúk életkora 10-p, 10, 10+p, ahol p prímszám.
Két évvel ezelőtt az apa x-2, legidősebb fia 8+p éves volt. Így x-2=3(8+p), vagyis x=26+3p, azaz 26+3p41. Ebből p5. Az anya és legidősebb fia életkorának különbsége: (80-x)-(10+p)>20, amiből x<50-p. Mivel x=26+3p, azért 26+3p<50-p, azaz p<6. Ezek alapján 5p<6, vagyis p=5.
Az apa 41, az anya 39 éves, a fiaik életkora: 5; 10; 15.
 

II. rész
 

5. Egy dobozban nyolc, tapintásra teljesen egyforma golyó van. Egyikükre a 3, másik kettőre a 2, ötre pedig az 1 számot írták. Valaki a golyók közül hármat kivesz, majd összeadja a golyókról leolvasott számokat.
a) Milyen eredményeket kaphat így?
b) Mennyi az egyes eredmények valószínűsége?
 

Megoldás. a) A lehetséges összegek: 3=1+1+1;  4=1+1+2;  5=1+1+3=1+2+2;  6=1+2+3;  7=2+2+3.
b) Az összes golyóhármas száma C83=(83)=56 (8 golyó közül 3-at kell sorrend nélkül kiválasztani).
A 3 összeg kedvező eseteinek száma C53=(53)=10 (az 5 db 1-gyel jelölt golyó közül 3-at kell sorrend nélkül kiválasztani), így ennek a valószínűsége P3=C53C83=10560,1786.
A 4 összeghez 2 db 1-gyel jelölt mellé 1 db 2-vel jelöltet kell választani, a kedvező esetek száma C52C21=(52)(21)=102=20, ezért P4=20560,3571.
Az 5 összeget két különböző módon is megkaphatjuk, ezt láthattuk az a) kérdésre adott válasznál, ezért a kedvező esetek száma: C52C11+C51C22=101+51=15, vagyis P5=15560,2679.
A 6 összegre: C51C21C11=521=10, vagyis P6=10560,1786.
A 7 összegre: C22C11=11=1, vagyis P7=1560,0179.
 
6. Egy téglalap két oldala 6cm és 4cm hosszú. Hol helyezkedik el a hosszabbik középvonalon az a P pont, amelyből az egyik 4cm hosszú oldal kétszer akkora szögben látszik, mint a másik 4cm-es oldal?
 

Megoldás. A középvonal egyenese szimmetriatengely, ezért az ábrán az azonosan jelölt szögek egyenlők. Legyen FP=x, ekkor PG=6-x.
 
 

Az AFP derékszögű háromszögben tgα=2x, a BGP derékszögű háromszögben tg2α=26-x. A tg2α=2tgα1-tg2α azonosságba helyettesítsük be az előbbieket, és rendezzük az egyenletet:
26-x=22x1-(2x)2,ahonnan3x2-12x-4=0,x1=2+4334,309;x2<0.
Két adott tulajdonságú pont van a hosszabbik középvonalon, a középpontra szimmetrikusan, attól 433-11,309 egységnyire.
 
7. Egy négyoldalú egyenes gúla alaplapja a oldalú négyzet és minden oldaléle 30-os szöget zár be a gúla magasságával.
Mekkora területű síkidomban metszi a gúlát egy olyan sík, amelyik átmegy a gúla alaplapjának egyik csúcsán és merőleges a szemközti oldalélre?
 

 
Megoldás. Tekintsük az SABCD gúla A csúcsára illeszkedő, SC-re merőleges síkot. Ez SC-t E pontban, SB-t M-ben, SD-t N-ben, a gúla SO magasságát pedig G pontban metszi.
 
 

A sík merőlegessége miatt AESC, a gúla szimmetrikus voltából NMDB következik. ASO=CSO=30, CSO=EAC, mert merőleges szárú szögek, így 2AO=AS=SC=a2, az ACS háromszög szabályos, magassága az AE, és így AE=a232=a62. Az ACS szabályos háromszögben G magasságpont és súlypont is, tehát a G pont az SBD szabályos háromszögben súlypont lesz, harmadolja SO-t, így a párhuzamos szelők tétele miatt MN=23DB=23a2.
Az AMEN síknégyszög 2‐2 szomszédos oldala egyenlő a gúla ACS síkra vonatkozó szimmetriája miatt, ezért e négyszög deltoid, területe az átlók szorzatának fele:
T=AEMN2=a622a232=a233.

 
8. A 2006-os május‐júniusi érettségi vizsgán az emelt szintű írásbeli dolgozatok javításával kapcsolatban az összes vizsgatárgynál tett tanulói észrevételek (beadványok) megoszlását látjuk az alábbi táblázatban.
TantárgyBeadványok számaÍrásbeli dolgozatok számaMagyar nyelv és irodalom118716251Történelem166011617Matematika165716408Biológia185515530Fizika114911745Angol nyelv114513956Kémia121811814Egyéb161418700Összesen548546021

a) Ábrázoljuk kördiagrammal a beadványok megoszlását.
b) Mennyi a terjedelme a hét tantárgynál a beadványok, illetve az írásbeli dolgozatok számának?
c) Határozzuk meg a beadványok számának a szórását a hét tantárgy figyelembevételével.
d) Melyik tantárgynál ,,reklamáltak'' leginkább az érettségizők?
e) Számítsuk ki a hét tantárgyhoz tartozó beadványok számának részarányát százalékban (vagyis a beadványok számát az írásbeli dolgozatok számához képest), majd határozzuk meg az összesített részaránytól való átlagos abszolút eltérést.
 

 
Megoldás. a)
 
 

b) A beadványok tantárgyankénti számának terjedelme: 1660-145=1515.
Az írásbeli dolgozatok tantárgyankénti számának terjedelme: 11617-1745=9872.
c) A beadványok számának szórása:
D7(x)=Q7538,
ahol
Q=(1187-a¯)2+(1660-a¯)2+(657-a¯)2+(855-a¯)2+(149-a¯)2++(145-a¯)2+(218-a¯)2,ahol  a¯  a hét adat számtani közepe:  a¯696.

d) Magyar nyelv és irodalomnál, itt a legnagyobb a részarány (18,99%).
e) Az összesített részarány az összes beadvány száma az összes dolgozat számához képest: 11,92. A százalékban kifejezett részarányok átlagos abszolút eltérése:
S7(11,92)=b73,77,aholb=|18,99-11,92|+|14,29-11,92|+|10,25-11,92|+|15,46-11,92|++|8,54-11,92|+|3,67-11,92|+|12,02-11,92|.



 
9. Az y=ax2+bx+c parabola átmegy az origón, és az E(3;6) pontjához húzott érintő meredeksége -4.
a) Írjuk fel a parabola egyenletét.
b) Adjuk meg a parabola fentebb megadott érintőjének egyenletét.
c) Milyen arányban osztja az y=2x egyenes a parabola és az x tengely által közrefogott síkidom területét?
 

Megoldás. a) A parabola egyenlete: y=ax2+bx+c. O(0;0) rajta van a parabolán, ezért c=0. E(3;6) is rajta van a parabolán, ezért 6=9a+3b+c, vagyis
2=3a+b.(1)
Az érintő meredekségét a derivált adott helyen vett helyettesítési értéke adja meg: y'=2ax+b. Mivel mE=-4, azért
6a+b=-4.(2)
Az (1), (2) egyenletrendszer megoldása: a=-2 és b=8.
Így a szóban forgó parabola egyenlete: y=-2x2+8x.
b) Az érintő átmegy az E(3;6) ponton és a meredeksége m=-4, így az y-y0=m(x-x0) képlet alapján az egyenlete: y=-4x+18.
c) Az y=-2x2+8x egyenletű parabola zérushelyeit szorzattá alakítással kapjuk: x1=0 és x2=4. Az y=2x egyenes az y=-2x2+8x egyenletű parabolát azokban a pontokban metszi, amelyek koordinátái az egyenleteikből alkotott egyenletrendszer megoldásai: M1(0;0) és M2(3;6).
 
 

A ,,középső'' síkidom, a háromszög területe:
T2=362=9.

A ,,felső'' síkidom területe a parabola ,,alatti'' terület és T2 különbsége (Newton‐Leibniz tétel alapján):
T1=03(-2x2+8x)dx-9=[-23x3+4x2]03-9=-18+36-9=9.
A ,,jobb oldali'' síkidom területe a parabola ,,alatti'' terület:
T3=34(-2x2+8x)dx=[-23x3+4x2]34=-1283+64-(-18+36)=103.
A keresett arány:
T1T2+T3=99+103=2737.