A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Egy kötetes iskolai könyvtár magyar és angol nyelvű könyvekből áll. Magyar nyelvű a könyvek -a. Ezen könyvek -a angol fordításban is megtalálható a könyvtárban. Az eredetileg angol nyelven írt könyvek száma . Határozza meg a magyar és az angol nyelvű könyvek arányát. Év végén a beszerzéseket követő felújítás során az összes könyvet egyforma dobozokba pakoljuk. Ha dobozonként könyvet teszünk, akkor könyv kimarad, ha könyvet csomagolunk, akkor négy doboz üresen marad és az utolsónak megrakott dobozba is fér még könyv. Hány dobozunk volt a pakoláshoz? Hány könyvvel gyarapodott a könyvtár állománya az év végére? Megoldás. Magyar nyelvű könyv , abból angolra fordított . Ha ehhez hozzávesszük az eredetileg angol nyelven írottakat, akkor a teljes angol nyelvű állományt kapjuk, ami -nak felel meg. Így az egyenlet: | | amiből adódik, hogy . Ennek egyetlen pozitív megoldása a . Magyar nyelvű könyv 960, angol nyelvű 640 db van, így az arányuk . A dobozok számát -vel jelölve, a könyvek számát felírhatjuk , illetve alakban. A megfelelő egyenlőség felírásából adódik. Visszahelyettesítve 1642 könyvet kapunk, vagyis 42 könyvvel gyarapodott az állomány.
2. Az egyenletű körhöz a abszcisszájú pontjaiban érintőket rajzolunk. Írjuk fel az érintők egyenletét. Határozzuk meg az érintők hajlásszögét. Megoldás. Az érintési pontok koordinátái: , . A kör középpontja az origó. A 3 abszcisszájú pontokban rajzolt érintők normálvektorai: , . Az érintők egyenlete: , . A hajlásszög megegyezik a normálvektorok hajlásszögével, tompaszög esetén a kiegészítőszögével: . A vektorok skaláris szorzata: | | (Az az egyenesek iránytangensének ismeretében is meghatározható.) radián. Mivel ez tompaszög, azért az egyenesek hajlásszöge radián.
3. Mely valós számok teljesítik a | | egyenlőséget? Megoldás. Figyelembe véve, hogy és , az értelmezési tartomány a következőképpen alakul: 0 és és 0 és , amiből és . A logaritmus azonosságainak felhasználásával, új változó, az bevezetésével és felismerve, hogy kapjuk a következő, másodfokúra vezethető egyenletet: . Megoldásai: és . Az elsőből: , azaz , amiből adódik, és ez megoldás. A másodikból , azaz , amiből: és . Ez utóbbi nem megoldása sem a fenti, sem az eredeti egyenletnek. Összegezve: az egyenlőséget két valós szám teljesíti. A megoldások: és .
4. Egy öttagú családban a szülők életkorának összege év, közülük az apa az idősebb. Három fiuk életkora prímszám differenciájú számtani sorozat három egymást követő eleme, összegük . Hány évesek a család tagjai, ha az apa két évvel ezelőtt háromszor annyi idős volt, mint a legidősebb fiú, akinek a születésekor az anya évesnél idősebb volt? Megoldás. Legyen az apa életkora év. Az anya életkora így . Mivel a férj idősebb a feleségnél, . A feltétel alapján a fiúk életkora , 10, , ahol prímszám. Két évvel ezelőtt az apa , legidősebb fia éves volt. Így , vagyis , azaz . Ebből . Az anya és legidősebb fia életkorának különbsége: , amiből . Mivel , azért , azaz . Ezek alapján , vagyis . Az apa 41, az anya 39 éves, a fiaik életkora: 5; 10; 15.
II. rész 5. Egy dobozban nyolc, tapintásra teljesen egyforma golyó van. Egyikükre a , másik kettőre a , ötre pedig az számot írták. Valaki a golyók közül hármat kivesz, majd összeadja a golyókról leolvasott számokat. Milyen eredményeket kaphat így? Mennyi az egyes eredmények valószínűsége? Megoldás. A lehetséges összegek: ; ; ; ; . Az összes golyóhármas száma (8 golyó közül 3-at kell sorrend nélkül kiválasztani). A 3 összeg kedvező eseteinek száma (az 5 db 1-gyel jelölt golyó közül 3-at kell sorrend nélkül kiválasztani), így ennek a valószínűsége . A 4 összeghez 2 db 1-gyel jelölt mellé 1 db 2-vel jelöltet kell választani, a kedvező esetek száma , ezért . Az 5 összeget két különböző módon is megkaphatjuk, ezt láthattuk az kérdésre adott válasznál, ezért a kedvező esetek száma: , vagyis . A 6 összegre: , vagyis . A 7 összegre: , vagyis .
6. Egy téglalap két oldala és hosszú. Hol helyezkedik el a hosszabbik középvonalon az a pont, amelyből az egyik hosszú oldal kétszer akkora szögben látszik, mint a másik -es oldal? Megoldás. A középvonal egyenese szimmetriatengely, ezért az ábrán az azonosan jelölt szögek egyenlők. Legyen , ekkor .
Az derékszögű háromszögben , a derékszögű háromszögben . A azonosságba helyettesítsük be az előbbieket, és rendezzük az egyenletet: | | Két adott tulajdonságú pont van a hosszabbik középvonalon, a középpontra szimmetrikusan, attól egységnyire.
7. Egy négyoldalú egyenes gúla alaplapja oldalú négyzet és minden oldaléle -os szöget zár be a gúla magasságával. Mekkora területű síkidomban metszi a gúlát egy olyan sík, amelyik átmegy a gúla alaplapjának egyik csúcsán és merőleges a szemközti oldalélre?
Megoldás. Tekintsük az gúla csúcsára illeszkedő, -re merőleges síkot. Ez -t pontban, -t -ben, -t -ben, a gúla magasságát pedig pontban metszi.
A sík merőlegessége miatt , a gúla szimmetrikus voltából következik. , , mert merőleges szárú szögek, így , az háromszög szabályos, magassága az , és így . Az szabályos háromszögben magasságpont és súlypont is, tehát a pont az szabályos háromszögben súlypont lesz, harmadolja -t, így a párhuzamos szelők tétele miatt . Az síknégyszög 2‐2 szomszédos oldala egyenlő a gúla síkra vonatkozó szimmetriája miatt, ezért e négyszög deltoid, területe az átlók szorzatának fele:
8. A -os május‐júniusi érettségi vizsgán az emelt szintű írásbeli dolgozatok javításával kapcsolatban az összes vizsgatárgynál tett tanulói észrevételek (beadványok) megoszlását látjuk az alábbi táblázatban. | |
a) Ábrázoljuk kördiagrammal a beadványok megoszlását. b) Mennyi a terjedelme a hét tantárgynál a beadványok, illetve az írásbeli dolgozatok számának? c) Határozzuk meg a beadványok számának a szórását a hét tantárgy figyelembevételével. d) Melyik tantárgynál ,,reklamáltak'' leginkább az érettségizők? e) Számítsuk ki a hét tantárgyhoz tartozó beadványok számának részarányát százalékban (vagyis a beadványok számát az írásbeli dolgozatok számához képest), majd határozzuk meg az összesített részaránytól való átlagos abszolút eltérést.
Megoldás. a)
b) A beadványok tantárgyankénti számának terjedelme: 1660-145=1515. Az írásbeli dolgozatok tantárgyankénti számának terjedelme: 11617-1745=9872. c) A beadványok számának szórása: ahol
Q=(1187-a¯)2+(1660-a¯)2+(657-a¯)2+(855-a¯)2+(149-a¯)2++(145-a¯)2+(218-a¯)2,ahol a¯ a hét adat számtani közepe: a¯≈696.
d) Magyar nyelv és irodalomnál, itt a legnagyobb a részarány (18,99%). e) Az összesített részarány az összes beadvány száma az összes dolgozat számához képest: 11,92. A százalékban kifejezett részarányok átlagos abszolút eltérése: S7(11,92)=b7≈3,77,aholb=|18,99-11,92|+|14,29-11,92|+|10,25-11,92|+|15,46-11,92|++|8,54-11,92|+|3,67-11,92|+|12,02-11,92|.
9. Az y=ax2+bx+c parabola átmegy az origón, és az E(3;6) pontjához húzott érintő meredeksége -4. a) Írjuk fel a parabola egyenletét. b) Adjuk meg a parabola fentebb megadott érintőjének egyenletét. c) Milyen arányban osztja az y=2x egyenes a parabola és az x tengely által közrefogott síkidom területét? Megoldás. a) A parabola egyenlete: y=ax2+bx+c. O(0;0) rajta van a parabolán, ezért c=0. E(3;6) is rajta van a parabolán, ezért 6=9a+3b+c, vagyis Az érintő meredekségét a derivált adott helyen vett helyettesítési értéke adja meg: y'=2ax+b. Mivel mE=-4, azért Az (1), (2) egyenletrendszer megoldása: a=-2 és b=8. Így a szóban forgó parabola egyenlete: y=-2x2+8x. b) Az érintő átmegy az E(3;6) ponton és a meredeksége m=-4, így az y-y0=m(x-x0) képlet alapján az egyenlete: y=-4x+18. c) Az y=-2x2+8x egyenletű parabola zérushelyeit szorzattá alakítással kapjuk: x1=0 és x2=4. Az y=2x egyenes az y=-2x2+8x egyenletű parabolát azokban a pontokban metszi, amelyek koordinátái az egyenleteikből alkotott egyenletrendszer megoldásai: M1(0;0) és M2(3;6).
A ,,középső'' síkidom, a háromszög területe: A ,,felső'' síkidom területe a parabola ,,alatti'' terület és T2 különbsége (Newton‐Leibniz tétel alapján): | T1=∫03(-2x2+8x)dx-9=[-23x3+4x2]03-9=-18+36-9=9. | A ,,jobb oldali'' síkidom területe a parabola ,,alatti'' terület: | T3=∫34(-2x2+8x)dx=[-23x3+4x2]34=-1283+64-(-18+36)=103. | A keresett arány: |
|