Cím: Megoldásvázlatok a 2006/6. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2006/október, 399 - 403. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Oldjuk meg a következő egyenletet: (x-x-2-2)(x-x-3-3)=0.  (11 pont)
 

Megoldás. Értelmezési tartomány: x3. Szorzattá alakítva:
x-2(x-2-1)x-3(x-3-1)=0.
Egy szorzat akkor nulla, ha legalább egy tényezője nulla. A négy tényező rendre a 2, 3, 3, 4 helyen nulla. Az értelmezési tartományt figyelembe véve az egyenlet megoldása: x1=3, x2=4.
 
2. Adott az f:]-1;5]R, f(x)=|(x-2)2-4|-4 függvény.
a) Adjuk meg a koordinátarendszerben azon rácspontokat, amelyek illeszkednek a függvény grafikonjára.
b) Adjuk meg a függvény zérushelyeit.
c) Mely intervallumokon növekedő a függvény?  (12 pont)
 

Megoldás. a) A függvény értelmezési tartományában hat egész szám található (a 0, 1, 2, 3, 4 és az 5), ezért hatnál több rácspont nem illeszkedhet a függvény grafikonjára. A függvény egész számhoz egész számot rendel, így hat rácspontot kapunk: (0;-4), (1;-1), (2;0), (3;-1), (4;-4) és (5;1).
b) Ha (x-2)24, azaz x0 vagy 4x, akkor (x-2)2-4-4=0. Innen kapjuk: x1=2-22, x2=2+22. Ezek az értékek minden feltételnek megfelelnek, így a függvény zérushelyei.
Ha (x-2)2<4, azaz 0<x<4, akkor -(x-2)2+4-4=0. Innen az x3=2 zérushelyet kapjuk.
c) A normálparabola transzformálásával a függvény képe megrajzolható. A [0;2] és a [4;5] intervallumokon a függvény növekedő.
 
 

 
3. A koordinátarendszerben adott két pont: A(1;5) és B(7;7). Adjuk meg az x tengely azon P pontjának koordinátáit, amelyre
a) AP=BP;
b) AP2+BP2=94;
c) AP+BP minimális.  (14 pont)
 

Megoldás. a) Az AB szakasz felező merőlegesének és az x tengelynek a metszéspontja az egyetlen megfelelő pont. Az AB felező merőlegese az F(4;6) felezőpontra illeszkedik, a normálvektora pedig n(3;1), az egyenlete: 3x+y=18. Ez az egyenes az x tengelyt a P1(6;0) pontban metszi. Ez a keresett pont.
b) Az AP2+BP2=94 feltételnek megfelelő P(x;y) pontok koordinátáira teljesülni kell a következő egyenletnek: (x-1)2+(y-5)2+(x-7)2+(y-7)2=94, amelyet az (x-4)2+(y-6)2=37 alakra tudunk hozni. Ez egy kör egyenlete. A feladat feltételeinek megfelelő pontok az F(4;6) középpontú, 37 sugarú kör és az x tengely metszéspontjai lesznek. Az y=0 helyettesítéssel két x értéket kapunk. A feladat két megoldása: P2(3;0), P3(5;0).
c) Igazolható, hogy az A'B egyenes és az x tengely metszéspontja a feltételeknek megfelelő pont, ahol A'(1;-5) az A tükörképe az x tengelyre. Az A'B egyenes egyenlete: 2x-y-7=0. Ez az egyenes az x tengelyt a P4(72;0) pontban metszi. Ez a keresett pont.
 
4. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
23x+2=4y3-407y+20x=log2(y-4).}(14 pont)
 

Megoldás. Az értelmezési tartomány: x valós szám, y>4. A második egyenlet szerint: 2x=y-4. Ekkor 23x+2=4(2x)3=4(y-4)3=4y3-48y2+192y-256. Ez az első egyenlet alapján: 4y3-48y2+192y-256=4y3-407y+20, azaz 0=48y2-599y+276. A másodfokú egyenletet megoldva: y1=12, y2=2348. Csak y1 eleme az értelmezési tartománynak, a második egyenletbe behelyettesítve megkapjuk x értékét.
Az egyenletrendszer megoldása: x=3, y=12.
 

II. rész
 

5. Egy mértani sorozat első eleme a, a hányadosa q. Mennyi annak a mértani sorozatnak az első eleme, amelynek a hányadosa q2, az első 25 elem összege pedig az adott sorozat első 50 elemének összegével egyenlő?  (16 pont)
 

Megoldás. Legyen a keresett mértani sorozat első eleme b1. Ha q=1, akkor S50=50a1=25b1, tehát b1=2a1. Ha q=-1, akkor S50=0=25b1, azaz b1=0. Ha q21, akkor az összegképlet és a feltétel felhasználásával
b1(q2)25-1q2-1=b1q50-1q2-1=a1q50-1q-1.
Ebből következik, hogy a1=b1q+1, vagyis b1=a1(1+q)=a1+a2.
Az új sorozat első tagja az adott sorozat első és második tagjának összegével egyenlő és ez a q2=1 esetben is igaz.
 
6. Egy érettségiző osztály a tablóját középpontosan szimmetrikus nyolcszög alakúra tervezte. A nyolcszöget egy 1 m×1,4 m-es téglalap alakú lemezből szerették volna elkészíteni úgy, hogy a téglalap sarkainál négy egybevágó derékszögű háromszöget levágatnak. Ekkor természetesen a téglalap négy oldalegyenese a nyolcszögnek is oldalegyenese lesz. Az így kapott nyolcszög oldalai deciméterben mérve sorban: 7, 5, 3, 5, 7, 5, 3, 5. Mennyivel változna a hulladék mennyisége, ha ezt a nyolcszöget a másik négy oldalegyenese által meghatározott téglalapból vágatták volna ki?  (16 pont)
 

Megoldás. A vázlatrajzon megrajzoltuk az ABCDEFGH nyolcszöget és a lehetséges két téglalapot, a K1L1M1N1 és a K2L2M2N2 téglalapot.
 
 

A négy egybevágó derékszögű háromszög átfogója 5 dm. A középpontos szimmetria miatt: AK2=CL2=EM2=GN2=x, ekkor HK2=BL2=DM2=FN2=7-x. A Pitagorasz-tétel szerint: x2+(7-x)2=25. Az innen kapott két gyök nem ad két megoldást, mert amikor x=3, akkor 7-x=4, amikor x=4, akkor pedig 7-x=3. Így megkaptuk a négy egybevágó háromszög oldalainak hosszát: 3, 4, 5. (Vázlatrajzunkon AK2=3.) Ezekhez hasonló háromszögeket kapunk, ha a K1L1M1N1 téglalapból vágjuk le a derékszögű háromszögeket. A két-két szemközti levágott háromszög egybevágó. A hasonló derékszögű háromszögek hasonlósági arányát az átfogók aránya adja, így az ismeretlen befogók hosszát ki tudjuk számítani aránypár felírásával:
AK17=35,  azaz  AK1=EM1=215,BK17=45,  azaz  BK1=FM1=285,CL13=35,  azaz  CL1=GN1=95,DL13=45,  azaz  DL1=HN1=125.
K1L1M1N1 téglalap oldalainak hossza: K1L1=285+5+95=625, L1M1=125+5+215=585.
Ennek a téglalapnak a területe: t1=625585=359625=143,84(dm2). Ebben az esetben 3,84dm2-rel nagyobb lenne a hulladék, hiszen a másik téglalap területe csak 140dm2.
 
7. Határozzuk meg azt a legkisebb pozitív x értéket, amelyre sinx és sin2x egy derékszögű háromszög befogói, sin3x pedig az átfogója.  (16 pont)
 

Megoldás. Oldjuk meg a sin2x+sin22x=sin23x egyenletet. Rendezés után sin22x=(sin3x-sinx)(sin3x+sinx). A jobb oldal
(2cos2xsinx)(2sin2xcosx)=2sin22xcos2x,
az egyenlet tehát 0=sin22x(2cos2x-1). A megoldások: x1=k1π2, k1Z, x2=π6+k2π, k2Z, x3=-π6+k3π, k3Z.
A keresett x érték a π6. (Ekkor a háromszög oldalai: 12, 32 és 1.)
 
8. Egy áruház szeretné megajándékozni azokat, akik az akciós májkonzervből legalább hetet vásárolnak. Az áruházban a konzervdobozokat négyzet alapú gúlába tornyozták. Például egy négy rétegű gúlát 16+9+4+1 darab dobozból lehet elkészíteni. A vásárlók egy szerencsekerék megforgatásával 1-től 50-ig egyenlő eséllyel sorsolhatnak egy egész számot. Ha az ennyi rétegből felépíthető gúlában a konzervdobozok száma osztható 7-tel, akkor az illető ajándékot kap.
a) Az áruház dolgozói egy 16 rétegű gúlát építettek. Hány dobozt használtak fel?
b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy ajándékra jogosító számot pörgetünk?
c) Az egyik vásárló olyan számot forgatott, hogy az ennyi rétegű gúlában a dobozok száma 7-tel és 13-mal is osztható volt. Melyik szám lehetett ez?  (16 pont)
 

Megoldás. a) Az első 16 pozitív egész szám négyzetének összegét kell kiszámítanunk. Tudjuk, hogy
Sn=n(n+1)(2n+1)6,azazS16=16(16+1)(216+1)6=1496.
1496 darab konzervdobozból építették ezt a gúlát.
b) Először meghatározzuk azokat az n értékeket, amelyre Sn=n(n+1)(2n+1)6 osztható 7-tel. Ez pontosan akkor teljesül, ha a számlálóban szereplő tényezők közül legalább egy osztható 7-tel. (6;7)=1, n=7k vagy n=7k-1 vagy n=7k+3 (k természetes szám). Az [1;50] intervallumban az ilyen számok: 3, 6, 7, 10, 13, 14, 17, 20, 21, 24, 27, 28, 31, 34, 35, 38, 41, 42, 45, 48, 49, összesen 21 darab.
2150, azaz 0,42 az esélye annak, hogy aki szerencsekereket pörget, az valamilyen ajándékot kap.
c) Most azokat az n értékeket határozzuk meg, amelyre az Sn=n(n+1)(2n+1)6 osztható 13-mal. Ez pontosan akkor teljesül, ha a számlálóban szereplő tényezők közül legalább egy osztható 13-mal. (6;13)=1, n=13k vagy n=13k-1 vagy n=13k+6 (k természetes szám). Ezek közül az [1;50] intervallumba a következő számok esnek: 6, 12, 13, 19, 25, 26, 32, 38, 39, 45. A 6, 13, 38 és 45 szerepelt a 7-tel oszthatóságnál is.
A vásárló e négy szám valamelyikét sorsolta ki.
 
9. Mennyi annak a forgástestnek a térfogata, amely az f:[-10;10]R, f(x)=0,004x(x+12)(x-12)+8 harmadfokú függvény képének az x tengely körüli megforgatásával jön létre?  (16 pont)
 

 
 

Megoldás. a)
f(x)=0,004x(x+12)(x-12)+8==0,004(x3-144x+2000).
Használjuk a forgástestekre vonatkozó térfogatképletet: V=πab[f(x)]2dx. Ekkor
V=π-1010[0,004(x3-144x+2000)]2dx==π2502-1010(x6+20736x2+4000000-288x4+4000x3-576000x)dx==π2502[x77+20736x33+4000000x-288x55+4000x44-576000x22]-1010==π2502[x77+6912x3+4106x-2885x5+103x4-288103x2]-1010==π2502(1077+6912103+4107-2885105+107-288105++1077+6912103+4107-2885105-107+288105)==π2502(21077+13824103+8107-5765105)4281.