A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Oldjuk meg a következő egyenletet: . (11 pont) Megoldás. Értelmezési tartomány: . Szorzattá alakítva: Egy szorzat akkor nulla, ha legalább egy tényezője nulla. A négy tényező rendre a 2, 3, 3, 4 helyen nulla. Az értelmezési tartományt figyelembe véve az egyenlet megoldása: , .
2. Adott az , függvény. Adjuk meg a koordinátarendszerben azon rácspontokat, amelyek illeszkednek a függvény grafikonjára. Adjuk meg a függvény zérushelyeit. Mely intervallumokon növekedő a függvény? (12 pont) Megoldás. A függvény értelmezési tartományában hat egész szám található (a 0, 1, 2, 3, 4 és az 5), ezért hatnál több rácspont nem illeszkedhet a függvény grafikonjára. A függvény egész számhoz egész számot rendel, így hat rácspontot kapunk: , , , , és . Ha , azaz vagy , akkor . Innen kapjuk: , . Ezek az értékek minden feltételnek megfelelnek, így a függvény zérushelyei. Ha , azaz , akkor . Innen az zérushelyet kapjuk. A normálparabola transzformálásával a függvény képe megrajzolható. A és a intervallumokon a függvény növekedő.
3. A koordinátarendszerben adott két pont: és . Adjuk meg az tengely azon pontjának koordinátáit, amelyre ; ; minimális. (14 pont) Megoldás. Az szakasz felező merőlegesének és az tengelynek a metszéspontja az egyetlen megfelelő pont. Az felező merőlegese az felezőpontra illeszkedik, a normálvektora pedig , az egyenlete: . Ez az egyenes az tengelyt a pontban metszi. Ez a keresett pont. Az feltételnek megfelelő pontok koordinátáira teljesülni kell a következő egyenletnek: , amelyet az alakra tudunk hozni. Ez egy kör egyenlete. A feladat feltételeinek megfelelő pontok az középpontú, sugarú kör és az tengely metszéspontjai lesznek. Az helyettesítéssel két értéket kapunk. A feladat két megoldása: , . Igazolható, hogy az egyenes és az tengely metszéspontja a feltételeknek megfelelő pont, ahol az tükörképe az tengelyre. Az egyenes egyenlete: . Ez az egyenes az tengelyt a pontban metszi. Ez a keresett pont.
4. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: | | (14 pont) | Megoldás. Az értelmezési tartomány: valós szám, . A második egyenlet szerint: . Ekkor . Ez az első egyenlet alapján: , azaz . A másodfokú egyenletet megoldva: , . Csak eleme az értelmezési tartománynak, a második egyenletbe behelyettesítve megkapjuk értékét. Az egyenletrendszer megoldása: , .
II. rész 5. Egy mértani sorozat első eleme , a hányadosa . Mennyi annak a mértani sorozatnak az első eleme, amelynek a hányadosa , az első elem összege pedig az adott sorozat első elemének összegével egyenlő? (16 pont) Megoldás. Legyen a keresett mértani sorozat első eleme . Ha , akkor , tehát . Ha , akkor , azaz . Ha , akkor az összegképlet és a feltétel felhasználásával | | Ebből következik, hogy , vagyis . Az új sorozat első tagja az adott sorozat első és második tagjának összegével egyenlő és ez a esetben is igaz.
6. Egy érettségiző osztály a tablóját középpontosan szimmetrikus nyolcszög alakúra tervezte. A nyolcszöget egy -es téglalap alakú lemezből szerették volna elkészíteni úgy, hogy a téglalap sarkainál négy egybevágó derékszögű háromszöget levágatnak. Ekkor természetesen a téglalap négy oldalegyenese a nyolcszögnek is oldalegyenese lesz. Az így kapott nyolcszög oldalai deciméterben mérve sorban: 7, 5, 3, 5, 7, 5, 3, 5. Mennyivel változna a hulladék mennyisége, ha ezt a nyolcszöget a másik négy oldalegyenese által meghatározott téglalapból vágatták volna ki? (16 pont) Megoldás. A vázlatrajzon megrajzoltuk az ABCDEFGH nyolcszöget és a lehetséges két téglalapot, a K1L1M1N1 és a K2L2M2N2 téglalapot.
A négy egybevágó derékszögű háromszög átfogója 5 dm. A középpontos szimmetria miatt: AK2=CL2=EM2=GN2=x, ekkor HK2=BL2=DM2=FN2=7-x. A Pitagorasz-tétel szerint: x2+(7-x)2=25. Az innen kapott két gyök nem ad két megoldást, mert amikor x=3, akkor 7-x=4, amikor x=4, akkor pedig 7-x=3. Így megkaptuk a négy egybevágó háromszög oldalainak hosszát: 3, 4, 5. (Vázlatrajzunkon AK2=3.) Ezekhez hasonló háromszögeket kapunk, ha a K1L1M1N1 téglalapból vágjuk le a derékszögű háromszögeket. A két-két szemközti levágott háromszög egybevágó. A hasonló derékszögű háromszögek hasonlósági arányát az átfogók aránya adja, így az ismeretlen befogók hosszát ki tudjuk számítani aránypár felírásával:
AK17=35, azaz AK1=EM1=215,BK17=45, azaz BK1=FM1=285,CL13=35, azaz CL1=GN1=95,DL13=45, azaz DL1=HN1=125.
A K1L1M1N1 téglalap oldalainak hossza: K1L1=285+5+95=625, L1M1=125+5+215=585. Ennek a téglalapnak a területe: t1=625⋅585=359625=143,84(dm2). Ebben az esetben 3,84dm2-rel nagyobb lenne a hulladék, hiszen a másik téglalap területe csak 140dm2.
7. Határozzuk meg azt a legkisebb pozitív x értéket, amelyre sinx és sin2x egy derékszögű háromszög befogói, sin3x pedig az átfogója. (16 pont) Megoldás. Oldjuk meg a sin2x+sin22x=sin23x egyenletet. Rendezés után sin22x=(sin3x-sinx)(sin3x+sinx). A jobb oldal | (2cos2xsinx)(2sin2xcosx)=2sin22xcos2x, | az egyenlet tehát 0=sin22x(2cos2x-1). A megoldások: x1=k1π2, k1∈Z, x2=π6+k2π, k2∈Z, x3=-π6+k3π, k3∈Z. A keresett x érték a π6. (Ekkor a háromszög oldalai: 12, 32 és 1.)
8. Egy áruház szeretné megajándékozni azokat, akik az akciós májkonzervből legalább hetet vásárolnak. Az áruházban a konzervdobozokat négyzet alapú gúlába tornyozták. Például egy négy rétegű gúlát 16+9+4+1 darab dobozból lehet elkészíteni. A vásárlók egy szerencsekerék megforgatásával 1-től 50-ig egyenlő eséllyel sorsolhatnak egy egész számot. Ha az ennyi rétegből felépíthető gúlában a konzervdobozok száma osztható 7-tel, akkor az illető ajándékot kap. a) Az áruház dolgozói egy 16 rétegű gúlát építettek. Hány dobozt használtak fel? b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy ajándékra jogosító számot pörgetünk? c) Az egyik vásárló olyan számot forgatott, hogy az ennyi rétegű gúlában a dobozok száma 7-tel és 13-mal is osztható volt. Melyik szám lehetett ez? (16 pont) Megoldás. a) Az első 16 pozitív egész szám négyzetének összegét kell kiszámítanunk. Tudjuk, hogy | Sn=n(n+1)(2n+1)6,azazS16=16(16+1)(2⋅16+1)6=1496. | 1496 darab konzervdobozból építették ezt a gúlát. b) Először meghatározzuk azokat az n értékeket, amelyre Sn=n(n+1)(2n+1)6 osztható 7-tel. Ez pontosan akkor teljesül, ha a számlálóban szereplő tényezők közül legalább egy osztható 7-tel. (6;7)=1, n=7k vagy n=7k-1 vagy n=7k+3 (k természetes szám). Az [1;50] intervallumban az ilyen számok: 3, 6, 7, 10, 13, 14, 17, 20, 21, 24, 27, 28, 31, 34, 35, 38, 41, 42, 45, 48, 49, összesen 21 darab. 2150, azaz 0,42 az esélye annak, hogy aki szerencsekereket pörget, az valamilyen ajándékot kap. c) Most azokat az n értékeket határozzuk meg, amelyre az Sn=n(n+1)(2n+1)6 osztható 13-mal. Ez pontosan akkor teljesül, ha a számlálóban szereplő tényezők közül legalább egy osztható 13-mal. (6;13)=1, n=13k vagy n=13k-1 vagy n=13k+6 (k természetes szám). Ezek közül az [1;50] intervallumba a következő számok esnek: 6, 12, 13, 19, 25, 26, 32, 38, 39, 45. A 6, 13, 38 és 45 szerepelt a 7-tel oszthatóságnál is. A vásárló e négy szám valamelyikét sorsolta ki.
9. Mennyi annak a forgástestnek a térfogata, amely az f:[-10;10]→R, f(x)=0,004x(x+12)(x-12)+8 harmadfokú függvény képének az x tengely körüli megforgatásával jön létre? (16 pont)
Megoldás. a)
f(x)=0,004x(x+12)(x-12)+8==0,004(x3-144x+2000).
Használjuk a forgástestekre vonatkozó térfogatképletet: V=π∫ab[f(x)]2dx. Ekkor
V=π∫-1010[0,004(x3-144x+2000)]2dx==π2502∫-1010(x6+20736x2+4000000-288x4+4000x3-576000x)dx==π2502[x77+20736x33+4000000x-288x55+4000x44-576000x22]-1010==π2502[x77+6912x3+4⋅106x-2885x5+103x4-288⋅103x2]-1010==π2502(1077+6912⋅103+4⋅107-2885⋅105+107-288⋅105++1077+6912⋅103+4⋅107-2885⋅105-107+288⋅105)==π2502(2⋅1077+13824⋅103+8⋅107-5765⋅105)≈4281.
|