Cím:	Megoldásvázlatok a 2006/6. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2006/október, 399 - 403. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Oldjuk meg a következő egyenletet: $\left(x-\sqrt[]{x-2}-2\right)\left(x-\sqrt[]{x-3}-3\right)=0$.  (11 pont)   Megoldás. Értelmezési tartomány: $x\ge 3$. Szorzattá alakítva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x-2}\left(\sqrt[]{x-2}-1\right)\sqrt[]{x-3}\left(\sqrt[]{x-3}-1\right)=0.}\end{array}$ Egy szorzat akkor nulla, ha legalább egy tényezője nulla. A négy tényező rendre a 2, 3, 3, 4 helyen nulla. Az értelmezési tartományt figyelembe véve az egyenlet megoldása: $x_1=3$, $x_2=4$.   2. Adott az $f:\left]-1;5\right]\to \text{R}$, $f\left(x\right)=|{\left(x-2\right)}^2-4|-4$ függvény. $a)$ Adjuk meg a koordinátarendszerben azon rácspontokat, amelyek illeszkednek a függvény grafikonjára. $b)$ Adjuk meg a függvény zérushelyeit. $c)$ Mely intervallumokon növekedő a függvény?  (12 pont)   Megoldás. $a)$ A függvény értelmezési tartományában hat egész szám található (a 0, 1, 2, 3, 4 és az 5), ezért hatnál több rácspont nem illeszkedhet a függvény grafikonjára. A függvény egész számhoz egész számot rendel, így hat rácspontot kapunk: $\left(0;-4\right)$, $\left(1;-1\right)$, $\left(2;0\right)$, $\left(3;-1\right)$, $\left(4;-4\right)$ és $\left(5;1\right)$. $b)$ Ha ${\left(x-2\right)}^2\ge 4$, azaz $x\le 0$ vagy $4\le x$, akkor ${\left(x-2\right)}^2-4-4=0$. Innen kapjuk: $x_1=2-2\sqrt[]{2}$, $x_2=2+2\sqrt[]{2}$. Ezek az értékek minden feltételnek megfelelnek, így a függvény zérushelyei. Ha ${\left(x-2\right)}^2<4$, azaz $0<x<4$, akkor $-{\left(x-2\right)}^2+4-4=0$. Innen az $x_3=2$ zérushelyet kapjuk. $c)$ A normálparabola transzformálásával a függvény képe megrajzolható. A $\left[0;2\right]$ és a $\left[4;5\right]$ intervallumokon a függvény növekedő.       3. A koordinátarendszerben adott két pont: $A\left(1;5\right)$ és $B\left(7;7\right)$. Adjuk meg az $x$ tengely azon $P$ pontjának koordinátáit, amelyre $a)$ $AP=BP$; $b)$ $A{P}^2+B{P}^2=94$; $c)$ $AP+BP$ minimális.  (14 pont)   Megoldás. $a)$ Az $AB$ szakasz felező merőlegesének és az $x$ tengelynek a metszéspontja az egyetlen megfelelő pont. Az $AB$ felező merőlegese az $F\left(4;6\right)$ felezőpontra illeszkedik, a normálvektora pedig $\overrightarrow{n}\left(3;1\right)$, az egyenlete: $3x+y=18$. Ez az egyenes az $x$ tengelyt a $P_1\left(6;0\right)$ pontban metszi. Ez a keresett pont. $b)$ Az $A{P}^2+B{P}^2=94$ feltételnek megfelelő $P\left(x;y\right)$ pontok koordinátáira teljesülni kell a következő egyenletnek: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2+{\left(x-7\right)}^2+{\left(y-7\right)}^2=94$, amelyet az ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2=37$ alakra tudunk hozni. Ez egy kör egyenlete. A feladat feltételeinek megfelelő pontok az $F\left(4;6\right)$ középpontú, $\sqrt[]{37}$ sugarú kör és az $x$ tengely metszéspontjai lesznek. Az $y=0$ helyettesítéssel két $x$ értéket kapunk. A feladat két megoldása: $P_2\left(3;0\right)$, $P_3\left(5;0\right)$. $c)$ Igazolható, hogy az $A\text{'}B$ egyenes és az $x$ tengely metszéspontja a feltételeknek megfelelő pont, ahol $A\text{'}\left(1;-5\right)$ az $A$ tükörképe az $x$ tengelyre. Az $A\text{'}B$ egyenes egyenlete: $2x-y-7=0$. Ez az egyenes az $x$ tengelyt a $P_4\left(\frac{7}{2};0\right)$ pontban metszi. Ez a keresett pont.   4. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 2^{3x+2}}& {\displaystyle =4y^3-407y+20}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x}& {\displaystyle =\text{log}{}_2\left(y-4\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}\}}\end{array}$ (14 pont)   Megoldás. Az értelmezési tartomány: $x$ valós szám, $y>4$. A második egyenlet szerint: $2^x=y-4$. Ekkor $2^{3x+2}=4\cdot {\left(2^x\right)}^3=4{\left(y-4\right)}^3=4y^3-48y^2+192y-256$. Ez az első egyenlet alapján: $4y^3-48y^2+192y-256=4y^3-407y+20$, azaz $0=48y^2-599y+276$. A másodfokú egyenletet megoldva: $y_1=12$, $y_2=\frac{23}{48}$. Csak $y_1$ eleme az értelmezési tartománynak, a második egyenletbe behelyettesítve megkapjuk $x$ értékét. Az egyenletrendszer megoldása: $x=3$, $y=12$.   II. rész   5. Egy mértani sorozat első eleme $a$, a hányadosa $q$. Mennyi annak a mértani sorozatnak az első eleme, amelynek a hányadosa $q^2$, az első $25$ elem összege pedig az adott sorozat első $50$ elemének összegével egyenlő?  (16 pont)   Megoldás. Legyen a keresett mértani sorozat első eleme $b_1$. Ha $q=1$, akkor $S_{50}=50a_1=25b_1$, tehát $b_1=2a_1$. Ha $q=-1$, akkor $S_{50}=0=25b_1$, azaz $b_1=0$. Ha $q^2\ne 1$, akkor az összegképlet és a feltétel felhasználásával $\begin{array}{c}{\displaystyle b_1\frac{{\left(q^2\right)}^{25}-1}{q^2-1}=b_1\frac{q^{50}-1}{q^2-1}=a_1\frac{q^{50}-1}{q-1}\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből következik, hogy $a_1=\frac{b_1}{q+1}$, vagyis $b_1=a_1\left(1+q\right)=a_1+a_2$. Az új sorozat első tagja az adott sorozat első és második tagjának összegével egyenlő és ez a $q^2=1$ esetben is igaz.   6. Egy érettségiző osztály a tablóját középpontosan szimmetrikus nyolcszög alakúra tervezte. A nyolcszöget egy $\text{1 m<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>×</mo></math>1,4 m}$-es téglalap alakú lemezből szerették volna elkészíteni úgy, hogy a téglalap sarkainál négy egybevágó derékszögű háromszöget levágatnak. Ekkor természetesen a téglalap négy oldalegyenese a nyolcszögnek is oldalegyenese lesz. Az így kapott nyolcszög oldalai deciméterben mérve sorban: 7, 5, 3, 5, 7, 5, 3, 5. Mennyivel változna a hulladék mennyisége, ha ezt a nyolcszöget a másik négy oldalegyenese által meghatározott téglalapból vágatták volna ki?  (16 pont)   Megoldás. A vázlatrajzon megrajzoltuk az $ABCDEFGH$ nyolcszöget és a lehetséges két téglalapot, a $K_1{L}_1{M}_1{N}_1$ és a $K_2{L}_2{M}_2{N}_2$ téglalapot.     A négy egybevágó derékszögű háromszög átfogója 5 dm. A középpontos szimmetria miatt: $A{K}_2=C{L}_2=E{M}_2=G{N}_2=x$, ekkor $H{K}_2=B{L}_2=D{M}_2=F{N}_2=7-x$. A Pitagorasz-tétel szerint: $x^2+{\left(7-x\right)}^2=25$. Az innen kapott két gyök nem ad két megoldást, mert amikor $x=3$, akkor $7-x=4$, amikor $x=4$, akkor pedig $7-x=3$. Így megkaptuk a négy egybevágó háromszög oldalainak hosszát: 3, 4, 5. (Vázlatrajzunkon $A{K}_2=3$.) Ezekhez hasonló háromszögeket kapunk, ha a $K_1{L}_1{M}_1{N}_1$ téglalapból vágjuk le a derékszögű háromszögeket. A két-két szemközti levágott háromszög egybevágó. A hasonló derékszögű háromszögek hasonlósági arányát az átfogók aránya adja, így az ismeretlen befogók hosszát ki tudjuk számítani aránypár felírásával: ${\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle \frac{A{K}_1}{7}=\frac{3}{5}\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ azaz }A{K}_1=E{M}_1=\frac{21}{5}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \frac{B{K}_1}{7}=\frac{4}{5}\mathrm{,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ azaz }B{K}_1=F{M}_1=\frac{28}{5}\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle \frac{C{L}_1}{3}=\frac{3}{5}\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ azaz }C{L}_1=G{N}_1=\frac{9}{5}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \frac{D{L}_1}{3}=\frac{4}{5}\mathrm{,}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ azaz }D{L}_1=H{N}_1=\frac{12}{5}\mathrm{.}}\end{array}}$ A $K_1{L}_1{M}_1{N}_1$ téglalap oldalainak hossza: $K_1{L}_1=\frac{28}{5}+5+\frac{9}{5}=\frac{62}{5}$, $L_1{M}_1=\frac{12}{5}+5+\frac{21}{5}=\frac{58}{5}$. Ennek a téglalapnak a területe: $t_1=\frac{62}{5}\cdot \frac{58}{5}=\frac{3596}{25}=143\mathrm{,}84\text{(d<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>)}$. Ebben az esetben $3\mathrm{,}84\text{d<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$-rel nagyobb lenne a hulladék, hiszen a másik téglalap területe csak $140\text{d<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$.   7. Határozzuk meg azt a legkisebb pozitív $x$ értéket, amelyre $\text{sin}x$ és $\text{sin}2x$ egy derékszögű háromszög befogói, $\text{sin}3x$ pedig az átfogója.  (16 pont)   Megoldás. Oldjuk meg a $\text{sin}{}^{2}x+\text{sin}{}^{2}2x=\text{sin}{}^{2}3x$ egyenletet. Rendezés után $\text{sin}{}^{2}2x=\left(\text{sin}3x-\text{sin}x\right)\left(\text{sin}3x+\text{sin}x\right)$. A jobb oldal $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(2\text{cos}2x\text{sin}x\right)\left(2\text{sin}2x\text{cos}x\right)=2\text{sin}{}^{2}2x\text{cos}2x\mathrm{,}}\end{array}$ az egyenlet tehát $0=\text{sin}{}^{2}2x\left(2\text{cos}2x-1\right)$. A megoldások: $x_1=k_1\frac{\pi }{2}$, $k_1\in \text{Z}$, $x_2=\frac{\pi }{6}+k_2\pi$, $k_2\in \text{Z}$, $x_3=-\frac{\pi }{6}+k_3\pi$, $k_3\in \text{Z}$. A keresett $x$ érték a $\frac{\pi }{6}$. (Ekkor a háromszög oldalai: $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ és 1.)   8. Egy áruház szeretné megajándékozni azokat, akik az akciós májkonzervből legalább hetet vásárolnak. Az áruházban a konzervdobozokat négyzet alapú gúlába tornyozták. Például egy négy rétegű gúlát $16+9+4+1$ darab dobozból lehet elkészíteni. A vásárlók egy szerencsekerék megforgatásával $1$-től $50$-ig egyenlő eséllyel sorsolhatnak egy egész számot. Ha az ennyi rétegből felépíthető gúlában a konzervdobozok száma osztható $7$-tel, akkor az illető ajándékot kap. $a)$ Az áruház dolgozói egy $16$ rétegű gúlát építettek. Hány dobozt használtak fel? $b)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy ajándékra jogosító számot pörgetünk? $c)$ Az egyik vásárló olyan számot forgatott, hogy az ennyi rétegű gúlában a dobozok száma $7$-tel és $13$-mal is osztható volt. Melyik szám lehetett ez?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Az első 16 pozitív egész szám négyzetének összegét kell kiszámítanunk. Tudjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle S_n=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\mathrm{,}\text{azaz}{S}_{16}=\frac{16\left(16+1\right)\left(2\cdot 16+1\right)}{6}=1496.}\end{array}$ 1496 darab konzervdobozból építették ezt a gúlát. $b)$ Először meghatározzuk azokat az $n$ értékeket, amelyre $S_n=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$ osztható 7-tel. Ez pontosan akkor teljesül, ha a számlálóban szereplő tényezők közül legalább egy osztható 7-tel. $\left(6;7\right)=1$, $n=7k$ vagy $n=7k-1$ vagy $n=7k+3$ ($k$ természetes szám). Az $\left[1;50\right]$ intervallumban az ilyen számok: 3, 6, 7, 10, 13, 14, 17, 20, 21, 24, 27, 28, 31, 34, 35, 38, 41, 42, 45, 48, 49, összesen 21 darab. $\frac{21}{50}$, azaz 0,42 az esélye annak, hogy aki szerencsekereket pörget, az valamilyen ajándékot kap. $c)$ Most azokat az $n$ értékeket határozzuk meg, amelyre az $S_n=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$ osztható 13-mal. Ez pontosan akkor teljesül, ha a számlálóban szereplő tényezők közül legalább egy osztható 13-mal. $\left(6;13\right)=1$, $n=13k$ vagy $n=13k-1$ vagy $n=13k+6$ ($k$ természetes szám). Ezek közül az $\left[1;50\right]$ intervallumba a következő számok esnek: 6, 12, 13, 19, 25, 26, 32, 38, 39, 45. A 6, 13, 38 és 45 szerepelt a 7-tel oszthatóságnál is. A vásárló e négy szám valamelyikét sorsolta ki.   9. Mennyi annak a forgástestnek a térfogata, amely az $f:\left[-10;10\right]\to \text{R}$, $f\left(x\right)=0\mathrm{,}004x\left(x+12\right)\left(x-12\right)+8$ harmadfokú függvény képének az $x$ tengely körüli megforgatásával jön létre?  (16 pont)       Megoldás. $a)$ ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(x\right)}& {\displaystyle =0\mathrm{,}004x\left(x+12\right)\left(x-12\right)+8=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =0\mathrm{,}004\left(x^3-144x+2000\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Használjuk a forgástestekre vonatkozó térfogatképletet: $V=\pi {\int }_a^b{\left[f\left(x\right)\right]}^2\text{d}x$. Ekkor ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_{-10}^{10}{\left[0\mathrm{,}004\left(x^3-144x+2000\right)\right]}^2\text{d}x=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{{250}^2}{\int }_{-10}^{10}\left(x^6+20736x^2+4000000-288x^4+4000x^3-576000x\right)\text{d}x=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{{250}^2}{\left[\frac{x^7}{7}+20736\frac{x^3}{3}+4000000x-288\frac{x^5}{5}+4000\frac{x^4}{4}-576000\frac{x^2}{2}\right]}_{-10}^{10}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{{250}^2}{\left[\frac{x^7}{7}+6912x^3+4\cdot {10}^{6}x-\frac{288}{5}{x}^5+{10}^3{x}^4-288\cdot {10}^3{x}^2\right]}_{-10}^{10}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{{250}^2}(\frac{{10}^7}{7}+6912\cdot {10}^3+4\cdot {10}^7-\frac{288}{5}\cdot {10}^5+{10}^7-288\cdot {10}^5+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle +\frac{{10}^7}{7}+6912\cdot {10}^3+4\cdot {10}^7-\frac{288}{5}\cdot {10}^5-{10}^7+288\cdot {10}^5)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{{250}^2}\left(2\cdot \frac{{10}^7}{7}+13824\cdot {10}^3+8\cdot {10}^7-\frac{576}{5}\cdot {10}^5\right)\approx 4281.}\hfill \end{array}}$