Cím: Megoldásvázlatok a 2006/3. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Czinki József 
Füzet: 2006/április, 209 - 213. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. a) Van-e megoldása a következő egyenletnek a pozitív egész számok halmazán?
1!+2!+3!+...+x!=2y.

b) Oldjuk meg a következő egyenletet:
tgα+3=2cosα.

 
Megoldás. a) A feladat feltételéből következően x és y csak pozitív egész lehet. 1!=1, n2 esetén n! páros, mert tartalmazza a 2-t szorzótényezőként. A bal oldali összeg tehát páratlan, a jobb oldal értéke viszont páros, az egyenletnek nincs megoldása.
b) A nevezőben nem lehet 0, vagyis cosα0. Mindkét oldalt cosα-val szorozva és 2-vel osztva az 12sinα+32cosα=22 alakhoz jutunk. Felhasználva, hogy cosπ3=12 és sinπ3=32, a sinαcosπ3+cosαsinπ3=22 alak adódik, amit az addíciós tétel felhasználásával a sin(α+π3)=22 alakra hozhatunk.
A megoldások: α1=-π12+2k1π, k1Z, α2=5π12+2k2π, k2Z.
 
2. Sanyi félévi bizonyítványát mutatja a táblázat.
 
magyar irodalom5 (jeles)magyar nyelv4 (jó)történelem4 (jó)matematika3 (közepes)angol nyelv4 (jó)német nyelv3 (közepes)fizika2 (elégséges)kémia3 (közepes)biológia2 (elégséges)rajz4 (jó)ének-zene5 (jeles)testnevelés5 (jeles)
 

a) Adjuk meg Sanyi jegyeinek móduszát, mediánját és terjedelmét.
b) Számítsuk ki Sanyi tanulmányi átlagát (a jegyek számtani közepét).
c) Adjuk meg az érdemjegyek szórását.
d) Ábrázoljuk a jegyek százalékos eloszlását kördiagramon.
 
Megoldás. a) módusz: 4, medián: 4, terjedelem: 3.
b) átlag: 3,667.
c) szórás: 1,027.
d) a jegyek   25%-a5-ös,  33,33%-a4-es,  25%-a3-as,  16,67%-a2-es.  

 

 
A jegyek eloszlása
 

3. Melyek azok az x pozitív egész számok, amelyekre igaz, hogy x4+4 prímszám?
 
Megoldás. x4+4 egész együtthatós polinomok szorzatává alakítható:
x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2)2-(2x)2==(x2-2x+2)(x2+2x+2).

Mivel x pozitív egész, a tényezők egészek és 0<x2-2x+2<x2+2x+2. A szorzat csak úgy lehet prím, ha a kisebbik tényező értéke 1, a nagyobbik pedig prím. Ha x2-2x+2=1, akkor x=1. Ebben az esetben a kifejezés értéke 5, valóban prím.
Csak x=1 esetén lesz x4+4(=5) prímszám.
 
4. Egy mértani sorozat első és harmadik elemének az összege 40. Ha az első elemhez 4-et, a második elemhez pedig 6-ot adunk, akkor a harmadik elemmel együtt ugyanilyen sorrendben egy számtani sorozat három szomszédos eleméhez jutunk. Melyik ez a mértani sorozat?
 
Megoldás. A szokott módon jelöljük a mértani sorozat elemeit: a1, a1q, a1q2, a számtani sorozat három szomszédos eleme ekkor az a1+4, a1q+6, a1q2 alakot ölti.
Az a1+a1q2=40 egyenlet mellett felírható az (a1q+6)-(a1+4)=a1q2-(a1q+6) egyenlet is. Az így kapott egyenletrendszer mindkét egyenletéből kifejezzük az a1-et (q1), ekkor kapjuk: 51+q2=1(q-1)2.
Ebből két megoldást kapunk: q=2, a1=8, valamint q=0,5, a1=32. Mindkettő megoldása a feladatnak.
 

II. rész
 

5. Milyen arányban osztja az y tengely az f(x)=x2-4 és a g(x)=-x2-2x függvények görbéi által határolt területet?
 
Megoldás. A két függvény metszéspontjainak abszcisszái: x1=-2, x2=1.
 
 

A (-2;1) intervallumban a két függvény különbsége állandó előjelű, így a szóban forgó területek aránya
λ=-20f(x)-g(x)dx01f(x)-g(x)dx,f(x)-g(x)dx=2x2+2x-4dx=23x3+x2-4x+c.


Belyettesítve:
[23x3+x2-4x]-20=-203és[23x3+x2-4x]01=-73.
(Innen az is látszik, hogy a (-2;1) intervallumon f(x)<g(x).) A területek aránya tehát
λ=(-203):(-73)=207.

 
6. Egy henger alakú fekvő tartály alapkörének a sugara 1 m, a henger alkotója 3 m. A tartályban a víz magassága jelenleg 1,6 m. A víz egy részét kiengedjük egy elegendően nagy térfogatú, álló henger alakú edénybe. Az edény alapkörének sugara 0,5 m. Milyen magas lesz ebben az edényben a vízszint, ha a fekvő hengerben 0,3 m-t süllyedt a víz magassága?
 
 

Megoldás. Számoljuk ki a fekvő henger kezdeti víztartalmát:
cosφ=0,61,φ53,13.Tkörszelet=2φ360r2π-12r2sin2φ0,9273-0,4800=0,4473m2.
T1  =r2π-Tkörszelet   3,1416-0,4473= 2,6943 
m2.
V1=T1d  8,083 
m3.  



 
 

A fekvő hengerben maradt víz térfogatának kiszámítása:
cosε=0,31,ε72,54.Tkörszelet2=2ε360r2π-12r2sin2ε1,2661-0,2862=0,9799m2.
T2  =r2π-Tkörszelet2   3,1416- 0,97992,1617 
m2.
V2=  T2d  6,4851 
m3.  


A fekvő hengerből kifolyt víz térfogata: V1,5978m3.
 
 

Az álló hengerben a vízmagasság kiszámítása:
Vhenger=r2πm,vagyis1,5980,253,14m,
amiből m2,03m.
Tehát körülbelül 2 méter magasan áll majd a víz a második hengerben.
 
7. Egy üzem azt a megrendelést kapta, hogy készítsen el 100 db 1 dm3 térfogatú felül nyitott kúp alakú fagylalttölcsért. Az alapanyag drága, a megrendelő pedig csak a kúp térfogatát írta elő. Milyen nyílásszögű kúp esetén lesz minimális az anyagköltség?
 
Megoldás. A kúp térfogata: r2πm3=1000cm3. A kúp alkotója a sugárral és a magassággal kifejezve: a=r2+m2. A kúppalást felszíne: Apalást=rπa.
Kell, hogy
A=rπr2+(3000r2π)2=πr4+9000000r2π2
minimális legyen. Elég megkeresni az r4+9000000r2π2 kifejezés minimumát. A deriváltat egyenlővé téve 0-val:
[r4+9000000r2π2]'=4r3+-2rπ29000000r4π4=0,
ahonnan 4r3=2π29000000r3π4, vagyis r6=180000004π2455945,33. r8,773 cm adódik.
A második deriváltat vizsgálva az r=8,773 helyen:
[4r3-2rπ29000000r4π4]'=[4r3-18000000r3π2]'=12r2--180000003r2π2r6π4>0.
A palást felszíne minimális, ha r8,773 cm. Ekkor m12,407 cm, tgφ2=rm, ahonnan a keresett nyílásszög φ70,53.
 
8. Hol lehet annak a derékszögű háromszögnek a derékszögű csúcsa, melynek területe 25 egység, és az átfogójának a két végpontja A(1;-2) és B(6;8)?
 
Megoldás. Az ilyen derékszögű háromszög harmadik csúcsa az AB szakasz Thalész-körének és az AB egyenesétől 25 egységre haladó, AB-vel párhuzamos e1 és e2 egyeneseknek a metszéspontja lesz.
Ugyanis az AB szakasz hossza: dAB=(6-1)2+(8-(-2))2=125. A háromszög területe: T=dABm12. Ezekből adódik, hogy 25=m.
A Thalész-kör egyenlete: (x-3,5)2+(y-3)2=1254.
Az e1 és e2 egyenesek egy irányvektora: AB(5;10). Egy normálvektoruk: ne1=ne2(-10;5). Állítsunk az AB-re O-ban egy f merőleges egyenest. Az f egyenes egyenlete: x+2y=9,5. Ezt elmetszve az O középpontú m sugarú körrel, melynek egyenlete (x-3,5)2+(y-3)2=20, e1, illetve e2 egy-egy pontját kapjuk: M1(-0,5;5), M2(7,5;1).
 
 

e1 egyenlete: -2x+y=6, e2 egyenlete: -2x+y=-14. A feladatnak négy megoldása van: e1 és a Thalész-kör metszéspontjai: C1(1;8), C2(-2;2); e2 és a Thalész-kör metszéspontjai: C3(9;4), C4(6;-2).
 
9. a) Van-e egy 25 fős társaságban 3 olyan ember, akik ugyanabban a hónapban születettek? Indokoljuk a választ.
b) Az egyjegyű pozitív egész számok halmazából kiválasztunk egy tetszőleges részhalmazt. Mi a valószínűsége, hogy ebben az 1 vagy a 2 benne van?
c) Az egyjegyű pozitív egész számok halmazából maximum hány olyan részhalmazt tudunk kiválasztani, amelyek közül bármely kettőnek van közös eleme?
 
Megoldás. a) A skatulya-elv szerint lesz legalább 1 olyan hónap, amikor legalább három ember született, hiszen 212=24<25. Az e hónapban születettek közül bármely három megfelelő.
b) A halmaz elemei: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ez egy kilencelemű halmaz, tehát az összes részhalmazainak száma 29. Azon részhalmazok száma, melyekben sem az 1, sem a 2 nem szerepel 27. A keresett valószínűség: P=1-2729=34.
c) Válasz: 28. Az olyan részhalmazok száma, amelyekben pl. az 1 benne van, 28, tehát 28 db a feltételeknek megfelelő részhalmazt biztosan ki tudunk választani. Minden egyes részhalmaz kiválasztásakor egyúttal a komplementerét is ,,kiválasztjuk'', vagyis mondhatjuk, hogy a részhalmazok halmaza részhalmaz és komplementer részhalmaz típusú párokba rendezhető. Mivel a párok száma az összes részhalmazok számának a fele, 28, azért ennél több részhalmaz között már van ilyen ‐ részhalmaz és komplementer részhalmaz ‐ páros. Ezeknek nincs közös elemük, tehát 28+1 db a feltételeknek megfelelő részhalmaz nem választható ki.