Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Szlovák Sándorné 
Füzet: 2007/szeptember, 330 - 331. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. a) Egy urnában 100 cédula van 1-től 100-ig megszámozva. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egyszerre két cédulát kihúzva ikerprímszámok lesznek a cédulákon? (Ikerprím két olyan prímszám, amelyek a természetes számok sorozatában egymás után következő páratlan számok.)
b) Mennyi a valószínűsége a ,,hármas iker'' húzásának, ha három cédulát húzunk ki egyszerre?  (11 pont)
 
2. Osztható-e a (3819) binomiális együttható 17-tel?  (12 pont)
 
3. Az
x2+y2+kx-k22y+1=0
kör egyenletében határozzuk meg a k paraméter értékét úgy, hogy a kör mindkét koordináta-tengelyt érintse.  (14 pont)
 
4. a) Oldjuk meg az [x]2+3[x]-10=0 egyenletet a valós számok halmazán. (Az [x] az x-nél nem nagyobb egész számok közül a legnagyobbat jelenti.)
b) Milyen p és q egész számok esetén elégíti ki egyetlen egység hosszúságú számköz az [x]2+p[x]+q=0 egyenletet?  (14 pont)
 

II. rész
 

5. Határozzuk meg az x3+(3-2a)x2-a2x-3a2+2a3=0 egyenletben az a valós paraméter értékét úgy, hogy az egyenlet valós gyökei valamilyen sorrendben mértani sorozatot alkossanak.  (16 pont)
 
6. Egy szabályos sokszögben A, B, C és D a sokszög négy egymás utáni csúcsa, az AC szakasz négyzetes közepe az AB és AD szakasznak. Hány oldalú a sokszög?  (16 pont)
 
7. a) Oldjuk meg a
2x2-[22sin(α+π4)]x+sin2α=0
egyenletet, ahol az α valós paraméter.
b) Mutassuk meg, hogy az f(α)=sin4α+cos4α hozzárendeléssel adott, valós számokon értelmezett függvény a g(α)=cos2α hozzárendeléssel adott, valós számokon értelmezett függvény transzformáltja.  (16 pont)
 
8. a) Mutassuk meg, hogy az y=x3+ax2+(2a-3)x+a-2 görbesereg minden tagja egy ponton megy át, ahol a tetszőleges valós szám. Adjuk meg ennek a fix pontnak a koordinátáit.
b) Hogyan kell megválasztani az a paraméter értékét, hogy a hozzá tartozó görbe x0=2 pontjában húzott érintője áthaladjon a P(-1;0) ponton?  (16 pont)
 
9. a) Határozzuk meg az a paraméter értékét, ha
limxf(2x-12x+1)=0,
ahol f(x)=ax2-3x+2.
b) Számítsuk ki az f(x)=x2-3x+2 hozzárendeléssel megadott függvény grafikonja és az x tengely által meghatározott síkidom területét.  (16 pont)