Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Szlovák Sándorné
Füzet:	2007/szeptember, 330 - 331. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. $a)$ Egy urnában $100$ cédula van $1$-től $100$-ig megszámozva. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egyszerre két cédulát kihúzva ikerprímszámok lesznek a cédulákon? (Ikerprím két olyan prímszám, amelyek a természetes számok sorozatában egymás után következő páratlan számok.) $b)$ Mennyi a valószínűsége a ,,hármas iker'' húzásának, ha három cédulát húzunk ki egyszerre?  (11 pont)   2. Osztható-e a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{38}{19}\right)$ binomiális együttható $17$-tel?  (12 pont)   3. Az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+y^2+kx-\frac{k^2}{2}y+1=0}\end{array}$ kör egyenletében határozzuk meg a $k$ paraméter értékét úgy, hogy a kör mindkét koordináta-tengelyt érintse.  (14 pont)   4. $a)$ Oldjuk meg az ${\left[x\right]}^2+3\cdot \left[x\right]-10=0$ egyenletet a valós számok halmazán. (Az $\left[x\right]$ az $x$-nél nem nagyobb egész számok közül a legnagyobbat jelenti.) $b)$ Milyen $p$ és $q$ egész számok esetén elégíti ki egyetlen egység hosszúságú számköz az ${\left[x\right]}^2+p\left[x\right]+q=0$ egyenletet?  (14 pont)   II. rész   5. Határozzuk meg az $x^3+\left(3-2a\right)x^2-a^{2}x-3a^2+2a^3=0$ egyenletben az $a$ valós paraméter értékét úgy, hogy az egyenlet valós gyökei valamilyen sorrendben mértani sorozatot alkossanak.  (16 pont)   6. Egy szabályos sokszögben $A$, $B$, $C$ és $D$ a sokszög négy egymás utáni csúcsa, az $AC$ szakasz négyzetes közepe az $AB$ és $AD$ szakasznak. Hány oldalú a sokszög?  (16 pont)   7. $a)$ Oldjuk meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x^2-\left[2\sqrt[]{2}\text{sin}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\right]x+\text{sin}2\alpha =0}\end{array}$ egyenletet, ahol az $\alpha$ valós paraméter. $b)$ Mutassuk meg, hogy az $f\left(\alpha \right)=\text{sin}{}^4\alpha +\text{cos}{}^4\alpha$ hozzárendeléssel adott, valós számokon értelmezett függvény a $g\left(\alpha \right)=\text{cos}{}^2\alpha$ hozzárendeléssel adott, valós számokon értelmezett függvény transzformáltja.  (16 pont)   8. $a)$ Mutassuk meg, hogy az $y=x^3+a{x}^2+\left(2a-3\right)x+a-2$ görbesereg minden tagja egy ponton megy át, ahol $a$ tetszőleges valós szám. Adjuk meg ennek a fix pontnak a koordinátáit. $b)$ Hogyan kell megválasztani az $a$ paraméter értékét, hogy a hozzá tartozó görbe $x_0=2$ pontjában húzott érintője áthaladjon a $P\left(-1;0\right)$ ponton?  (16 pont)   9. $a)$ Határozzuk meg az $a$ paraméter értékét, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{x\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}f\left(\frac{2^x-1}{2^x+1}\right)=\mathrm{0,}}\end{array}$ ahol $f\left(x\right)=a{x}^2-3x+2$. $b)$ Számítsuk ki az $f\left(x\right)=x^2-3x+2$ hozzárendeléssel megadott függvény grafikonja és az $x$ tengely által meghatározott síkidom területét.  (16 pont)