Cím: Megoldásvázlatok a 2008/1. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Gerõcs László 
Füzet: 2008/február, 80 - 87. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán:
a)log22x-4log2x+4=log24x(6 pont)b)5-cos2x-4sinx=2-sinx(6 pont)



 
Megoldás. a) Az egyenletben szereplő logaritmusok miatt x>0 kell, hogy legyen. Az egyenlet jobb oldala így alakítható:
log24x=log24-log2x=2-log2x.

Érdemes bevezetni a log2x=a új ismeretlent: a2-4a+4=2-a. Mivel a négyzetgyök alatt teljes négyzet van, azért egyenletünk: |a-2|=2-a. Innen a2. Tehát log2x2=log24, ahonnan x4, a log2x monoton növekedése miatt.
Az eredeti egyenletet kielégítő valós számok: 0<x4.
b) Próbáljuk elérni a négyzetgyök alatt, hogy csak egyfajta szögfüggvény szerepeljen.
5-(1-sin2x)-4sinx=2-sinx,sin2x-4sinx+4=2-sinx,
|sinx-2|=2-sinx, ahonnan sinx-20, azaz sinx2.
Tehát az eredeti egyenlet minden valós számra teljesül.
 
2. Egy kocsmáros kiszámította, hogy ha a 60%-os alkoholjához hozzáönt 12 liter vizet, akkor 42%-os alkoholként árulhatja azt.
a) Hány liter volt az eredeti 60%-os alkohol?  (6 pont) b) A nagyobb nyereség reményében a kocsmáros nem 12, hanem 16 liter vizet öntött az eredeti alkoholhoz. A kocsmáros azt tapasztalta, hogy a 42%-os alkohol esetében a ±2%-os eltérést műszer nélkül még nem fedezik fel a fogyasztók, de az annál nagyobb eltérést már igen. Észreveszik-e a vendégek a csalást?  (6 pont)
 
Megoldás. a) Legyen az eredeti 60%-os alkohol x liter, tehát a keverékben levő tömény alkohol 0,6x liter. 12 liter vizet hozzáöntve a keverék mennyisége x+12 liter, de a benne levő tömény alkohol mennyisége nem változik. Ekkor 42%-os oldatot kapunk, így a következő egyenletet írjuk fel:
0,6xx+12100=42,azaz60x=42x+504,ahonnanx=28.
Tehát az eredeti 60%-os alkohol 28 liter volt.
b) Ha 28 liter 60%-os alkoholhoz 16 liter vizet öntünk, akkor annak a töménysége
280,628+1610038,18%
lesz. Ez több, mint 2%-kal tér el a tervezett 42%-os alkoholtól, ami azt jelenti, hogy a fogyasztók észreveszik a ,,csalást''.
 
3. Egy felmérés során megkérdeztek 52 családot a családban élő gyerekek számáról, illetve azok neméről. A felmérés eredményét a táblázat mutatja.
 
 

(Tehát pl. olyan család, melyben egyetlen gyermek sincs 6 db volt, míg olyan, amelyben egy fiú és két lány, 3 volt.)
a) Átlagosan hány gyermek van egy családban?  (5 pont) b) Összesen hány fiú és hány lány van a megkérdezett családokban?  (4 pont) c) Véletlenszerűen kiválasztva 2 családot a megkérdezettek közül, mekkora annak a valószínűsége, hogy e két család mindegyikében legalább 3 gyermek van?  (4 pont)
 
Megoldás. a) Foglaljuk táblázatba, hogy hány olyan család van, melyben 1,2,... stb. gyermek van. A megadott táblázatból kiolvasva:
 
  gyerekszám012345678  családok száma6391076731
 

A családokban a gyermekek számának átlaga:
13+29+310+47+56+67+73+8152=180523,46.

b) Azoknak a családoknak a száma,
melyben 1 fiú van: 1+3+3+2+1+1=11, ez 11 fiú;
ahol 2 fiú van: 2+2+2+2+1=9, ez 18 fiú;
ahol 3 fiú van: 2+1+1+1+1+1=7, ez 21 fiú;
ahol 4 fiú van: 1+2+3+1=7, ez 28 fiú;
ahol 5 fiú van: 1+1=2, ez 10 fiú.
Tehát a vizsgált családokban összesen 11+18+21+28+10=88 fiú van.
Hasonlóképpen kapjuk a lányok számát: 92.
 
Megjegyzés. Az a) részben összeszámoltuk, hogy összesen 180 gyerek van a vizsgált családokban, így is megkaphatjuk a lányok számát: 180-88=92.
c) Az 52 család közül kettőt (522)-féleképpen választhatunk ki. A feladat táblázatából kiolvashatjuk, hogy 34 azoknak a családoknak a száma, melyekben legalább 3 gyerek van. Ezek közül kettőt (342)-féleképpen választhatunk ki. Tehát a keresett valószínűség:
(342)(522)=34!2!32!2!50!52!=33345152=112226520,423.

 
4. A háromkötetes irodalmi lexikont kötetenként is meg lehet vásárolni. Egy alkalommal azt vizsgálták egy könyvesboltban egy héten át, hogy az egyes kötetekből az egyes napokon hány darab fogyott. A vizsgálat eredményét szemlélteti a táblázat.
 
 

Négy olyan vásárló volt, aki mindhárom kötetet megvette (egy kötetből senki sem vásárolt több példányt.) Azok közül, akik megvásárolták az első kötetet, 6-an voltak olyanok, akik nem vették meg a másodikat, és szintén 6-an voltak, akik nem vették meg a harmadik kötetet.
a) Ha olyan vásárló nem volt, aki csak a második kötetet vette meg, akkor hányan vannak azok, akik csak a harmadik kötetet vették meg?  (6 pont) b) Hány olyan vásárló volt a héten, aki vásárolt az irodalmi lexikonokból?  (3 pont) c) Mindhárom kötet ára egységesen 3600 Ft. Aki két kötetet vásárolt, az az egyik megvásárolt kötetre kapott 10% kedvezményt. Aki mindhárom kötetet megvette, az az egyik megvásárolt kötetre 10%, egy másik megvásárolt kötetre pedig 20% kedvezményt kapott. Mennyi volt a bolt bevétele e kötetek után ezen a héten?  (5 pont)
 
Megoldás. a) Az I. kötetet 15-en, a II. kötetet 10-en, a III. kötetet 24-en vásárolták meg. Ábrázoljuk halmazábrán (1. ábra), amit tudunk.
 

 
1. ábra
 

A feltételek szerint a+x=6 és a+y=6, tehát x=y, továbbá t=0.
Ezek szerint 2x+a+4=15, azaz 2x+a=11. Mivel a=6-x, így ezt az előbbi egyenletbe helyettesítve azt kapjuk, hogy 2x+6-x=11, ahonnan x=y=5, és ezzel a=1.
Egészítsük ki halmazábránkat (2. ábra). Az ábrából kiolvasható, hogy 14-en vásárolták meg csak a III. kötetet.
 

 
2. ábra
 

b) A héten a boltban e kötetekből összesen 1+5+4+5+1+14=30-an vásároltak.
c) A 30 vásárló mindegyike kifizette egy kötet teljes árát. Közülük 15-en az általuk vásárolt második kötet árát, azaz a teljes ár 10%-kal csökkentett árát is kifizették. Az összes vásárló között volt még négy olyan is, aki három kötetet vásárolt, így ők még kifizették négy kötet teljes árának 20%-kal csökkentett árát is. Ezek szerint az üzlet bevétele: 303600+1536000,9+436000,8=108000+48600+11520=168120Ft.
 

II. rész
 

5. Egy forgástest alakú díszítőelem tengelymetszetét látjuk az ábrán egy koordinátarendszerben elhelyezve. A síkmetszetet határoló görbék:
x2+(y-3)2=9(x0),(x-3)2+y2=9(y0),(x-3)2+(y-6)2=9(y6)

a) Mekkora a síkmetszet területe?  (6 pont)
 
 

b) A forgástestbe ‐ hogy stabilabb legyen ‐ egy olyan gömböt helyeztek, mely nem tud elmozdulni. (Ez a síkmetszeten egy olyan főkör, mely két félkört kívülről, egyet pedig belülről érint.) Mekkora e gömb sugara?  (10 pont)
 
 

Megoldás. a) A síkmetszet egy r sugarú félkörből, valamint egy 2r oldalú négyzetből kivett r sugarú körből áll, ahol r=3. Tehát a síkmetszet területe:
r2π2+4r2-r2π=4r2-r2π2=432-32π221,86.

b) Tekintsük a KTO derékszögű háromszöget.
 
 

Az OT=r, OK=r+x és TK=2r-x felhasználásával felírjuk a Pitagorasz-tételt: (r+x)2=r2+(2r-x)2, amiből
r2+x2+2rx=r2+4r2+x2-4rx,
azaz 6rx=4r2. Vagyis x=23r=2.
 
6. Az ábrán egy sísánc lesikló pályáját látjuk egy koordinátarendszerhez rögzítve. A sánc az
f(x)=4250x2+2425x+3225
függvény grafikonjához illeszkedik, ahol az x tengely az 1000 m-es tengerszint feletti magasságon; a sánc V végpontja az y tengelyen van. Az egyik síelő a V pontot elhagyva egy olyan parabola-pályán repül tovább, mely a sáncnak megfelelő parabola V-re vonatkozó tükörképe.
 
 

a) A tengerszinthez képest milyen magasságig repül fölfele a síelő?  (4 pont) b) A sánc V végpontját tartalmazó tartóoszloptól milyen távol éri el az 1000 m-es tengerszint feletti magasságot a síelő?  (6 pont) c) Írja fel a síelő röppályája érintőjének egyenletét a sánc elhagyásának pillanatában.  (6 pont)
 
Megoldás. a) A másodfokú kifejezést a következő módon alakítjuk:
4250x2+2425x+3225=4250[x2+60x+4025]=4250[(x+30)2+3125]==4250(x+30)2+50
A sípálya görbéjének tehát x=-30-ban van minimuma, minimumértéke 50. A sípálya görbéje az y tengelyt 3225=64,4-nél metszi. Ezek szerint a V pontra vonatkozó tükörképének maximuma a (-30;50) pontnak a (0;64,4) pontra vonatkozó tükörképe, vagyis a (30;78,8) pont. Ezek szerint a síelő a sípályát elhagyva az alábbi görbe mentén repül:
y=-4250(x-30)2+78,8.

Ez azt jelenti, hogy a tengerszinthez képest a síelő 1078,8 m magasságig repül.
b) Azt kell kiszámítanunk, hogy a síelő röppályájának hol van x>0 esetén zérushelye.
-4250(x-30)2+78,8=0,azaz(x-30)2=25078,84=4925.
Innen x100,2. Tehát a síelő a szélső tartóoszloptól kb. 100,2 m távolságra éri el az 1000 méteres tengerszint feletti magasságot.
c) A keresett érintő áthalad a P(0;64,4) ponton. Meredeksége a síelő pályaegyenletét leíró függvénynek az x=0 helyen vett deriváltja.
f'(x)=[-4250(x-30)2+78,8]'=-8250x+2425,azazf'(0)=2425.

Ezek szerint a keresett érintő egyenlete:
y-64,4=2425x,azazy=2425x+64,4.

 
7. Egy egyenes hasáb alapja olyan egyenlő szárú háromszög, melynek szára az alap kétszerese. A hasáb a háromszög alapjára illeszkedő oldallapján fekszik a földön a fal mellett, és ilyen helyzetben magasságának feléig megtöltöttük vízzel (lásd bal oldali ábra), a test falának vastagsága elhanyagolható.
a) Milyen magasan áll a víz a testben, ha azt elforgatva a falnak támasztjuk (lásd jobb oldali ábra)?  (8 pont)
 
 

b) A test D csúcsában van egy dugó. Miután a hasábot a leírt módon a falnak támasztottuk, kihúztuk a dugót, ahonnan a víz 12 liter/perc átlagos sebességgel folyik ki a testből. Mennyi ideig folyik a víz, ha a=1 m, h=4 m?  (8 pont)
 
Megoldás. a) Tekintsük az ábrát. Ha a hasáb eredeti helyzetében magasságának feléig van megtöltve, akkor a síkmetszet ,,üres'' tartománya olyan egyenlő szárú háromszög, mely hasonló az eredeti háromszöghöz és a hasonlóság aránya 1:2. Tehát az ,,üres'' háromszög területe az eredeti háromszög területének negyed része.
 
 

Az eredeti háromszög magassága:
m=4-14=152.
Az eredeti háromszög T területe: T=154, így az ,,üres'' háromszög T1 területe: T1=1516.
Ezek szerint a bal oldali ábrán látható ,,üres'', derékszögű háromszögre az alábbi összefüggéseket írhatjuk fel:
xy2=1516,éscosφ=xx2+y2.(1)

A cosφ értékét az eredeti háromszögből kaphatjuk meg a koszinusztétel segítségével: 1=4+4-8cosφ, ahonnan cosφ=78. Ezt felhasználva az (1) egyenletrendszer így alakul:
y=158xés4964=x2x2+y2,azaz4964=x2x2+1564x2.

Bővítsük az utóbbi tört jobb oldalát x2-tel:
4964=x4x4+1564,ahonnan4964x4+49641564=x4,vagyisx4=4964,
tehát x=78, amiből 2-x=2-781,065.
Ezek szerint a hasáb megdöntése után a víz magassága kb. 1,065 m.
b) Egy olyan egyenes hasáb térfogatát kell kiszámolni, melynek alapja egy derékszögű trapéz (ezt a két ábrán sötétebbre színeztük).
A jobb oldali ábra ABE és CBT háromszögei hasonlók, és a hasonlóság aránya 1:2, így az ABE háromszög területe a CBT háromszög területének negyed része, vagyis az eredeti háromszög területének 18-a. Mivel az ,,üres'' rész területe ‐ mint láttuk ‐ az eredeti háromszög területének a negyede, így a hasáb alapját alkotó trapéz területe az eredeti háromszög területének 1-14-18=58-ad része, azaz
Ttrapéz=15458=51532.

A hasáb V térfogata:
V=5153242,4206m3=2420,6  liter.
A folyás sebessége 12 liter/perc, így a dugó kihúzása után a víz 2420,612201,7 percig folyik a tartályból.
 
8. a) Egy számtani sorozat első tagja ab¯, második tagja ba¯ (kétjegyű számok), harmadik tagja az acb¯ háromjegyű szám. Mekkora e sorozat differenciája?  (9 pont) b) Legyenek an és bn pozitív egészekből álló, nem állandó számtani sorozatok. Igazoljuk, hogy abn-ban  n-től független állandó.  (7 pont)
 
Megoldás. a) Ha ab¯, ba¯, acb¯ egy számtani sorozat egymást követő három tagja, akkor
ab¯+acb¯2=ba¯.

Csak a=1 lehet, ugyanis a2 esetén a bal oldali számláló 200-nál nagyobb lenne, így a jobb oldal nem lehetne kétjegyű szám. Tehát a=1, így 1b¯+1cb¯=2b1¯, azaz 10+b+100+10c+b=20b+2, ahonnan 108=18b-10c.
Ez utóbbi egyenlőség bal oldala osztható 9-cel. Mivel a jobb oldal első tagja is osztható 9-cel, így a második tagnak is 9-cel oszthatónak kell lennie, ami csak úgy lehet, ha c=0, ekkor b=6; vagy ha c=9, de ekkor b=11, ami nem megoldás.
Tehát a sorozat első három tagja: 16, 61, 106, így a sorozat d differenciája: d=61-16=45.
b) Legyen az an sorozat első tagja a, differenciája d1, a bn sorozat első tagja b, differenciája d2. Ekkor
abn=a+(bn-1)d1=a+[b+(n-1)d2-1]d1=a+bd1+nd2d1-d2d1-d1,ban=b+(an-1)d2=b+[a+(n-1)d1-1]d2=b+ad2+nd1d2-d1d2-d2.
Tehát abn-ban=a-b+bd1-ad2-d1+d2, és ez valóban n-től független állandó.
 
9. a) Határozzuk meg az alábbi kifejezés értelmezési tartományát:
x2-15x+36+-x2+19x-84+logx236.(6 pont)

b) Mely x, y, z valós számok elégítik ki az alábbi egyenletet?
x2-15x+36+-x2+19x-84+logx236=2cos3z-y2+4y-4.(10 pont)

 
Megoldás. a) A megadott kifejezésben x-re nézve az alábbi feltételeknek kell teljesülniük:
x2-15x+360,-x2+19x-840,x>0,x2.
Az első egyenlőtlenségben szereplő másodfokú kifejezés zérushelyei: 3 és 12, így az egyenlőtlenség megoldása: x3 vagy 12x.
A második egyenlőtlenségben szereplő másodfokú kifejezés zérushelyei: 7 és 12, így ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása: 7x12.
A két egyenlőtlenség megoldását a másik két feltétellel egybevetve az eredeti egyenletnek csak akkor van értelme, ha x=12.
b) Helyettesítsük az egyenletbe a kapott x=12 értéket:
log636=2cos3z-(y2-4y+4),azaz2=2cos3z-(y-2)2.

A kapott egyenlet jobb oldalán cos3z értéke legfeljebb 1, így az egyenlet jobb oldalának értéke legfeljebb 2. Az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha cos3z=1 és (y-2)2=0, azaz y=2. A cos3z=1 egyenletből pedig 3z=2kπ, azaz z=23kπ.
Tehát az eredeti egyenletet kielégítő x, y, z valós számok: x=12, y=2, z=23kπ (kZ).