Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok a 2008/1. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Gerõcs László
Füzet:	2008/február, 80 - 87. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán:

\begin{matrix} a) \sqrt[]{log_{2}^{2} x - 4 log_{2} x + 4} = log_{2} \frac{4}{x} (6 pont) \\ b) \sqrt[]{5 - cos^{2} x - 4 sin x} = 2 - sin x (6 pont) \end{matrix}

Megoldás.

a)

Az egyenletben szereplő logaritmusok miatt

x > 0

kell, hogy legyen. Az egyenlet jobb oldala így alakítható:

\begin{matrix} log_{2} \frac{4}{x} = log_{2} 4 - log_{2} x = 2 - log_{2} x . \end{matrix}

Érdemes bevezetni a

log_{2} x = a

új ismeretlent:

\sqrt[]{a^{2} - 4 a + 4} = 2 - a

. Mivel a négyzetgyök alatt teljes négyzet van, azért egyenletünk:

| a - 2 | = 2 - a

. Innen

a \leq 2

. Tehát

log_{2} x \leq 2 = log_{2} 4

, ahonnan

x \leq 4

, a

log_{2} x

monoton növekedése miatt.
Az eredeti egyenletet kielégítő valós számok:

0 < x \leq 4

b)

Próbáljuk elérni a négyzetgyök alatt, hogy csak egyfajta szögfüggvény szerepeljen.

\begin{matrix} \sqrt[]{5 - (1 - sin^{2} x) - 4 sin x} & = & 2 - sin x, \\ \sqrt[]{sin^{2} x - 4 sin x + 4} & = & 2 - sin x, \end{matrix}

| sin x - 2 | = 2 - sin x

, ahonnan

sin x - 2 \leq 0

, azaz

sin x \leq 2

.
Tehát az eredeti egyenlet minden valós számra teljesül.

2. Egy kocsmáros kiszámította, hogy ha a

60 %

-os alkoholjához hozzáönt 12 liter vizet, akkor

42 %

-os alkoholként árulhatja azt.

a)

Hány liter volt az eredeti

60 %

-os alkohol? (6 pont)

b)

A nagyobb nyereség reményében a kocsmáros nem

12

, hanem 16 liter vizet öntött az eredeti alkoholhoz. A kocsmáros azt tapasztalta, hogy a

42 %

-os alkohol esetében a

\pm 2 %

-os eltérést műszer nélkül még nem fedezik fel a fogyasztók, de az annál nagyobb eltérést már igen. Észreveszik-e a vendégek a csalást? (6 pont)

Megoldás.

a)

Legyen az eredeti 60%-os alkohol

x

liter, tehát a keverékben levő tömény alkohol

0, 6 x

liter. 12 liter vizet hozzáöntve a keverék mennyisége

x + 12

liter, de a benne levő tömény alkohol mennyisége nem változik. Ekkor 42%-os oldatot kapunk, így a következő egyenletet írjuk fel:

\begin{matrix} \frac{0, 6 x}{x + 12} \cdot 100 = 42, azaz 60 x = 42 x + 504, ahonnan x = 28. \end{matrix}

Tehát az eredeti 60%-os alkohol 28 liter volt.

b)

Ha 28 liter 60%-os alkoholhoz 16 liter vizet öntünk, akkor annak a töménysége

\begin{matrix} \frac{28 \cdot 0, 6}{28 + 16} \cdot 100 \approx 38, 18 % \end{matrix}

lesz. Ez több, mint 2%-kal tér el a tervezett 42%-os alkoholtól, ami azt jelenti, hogy a fogyasztók észreveszik a ,,csalást''.

3. Egy felmérés során megkérdeztek

52

családot a családban élő gyerekek számáról, illetve azok neméről. A felmérés eredményét a táblázat mutatja.

(Tehát pl. olyan család, melyben egyetlen gyermek sincs 6 db volt, míg olyan, amelyben egy fiú és két lány,

3

volt.)

a)

Átlagosan hány gyermek van egy családban? (5 pont)

b)

Összesen hány fiú és hány lány van a megkérdezett családokban? (4 pont)

c)

Véletlenszerűen kiválasztva

2

családot a megkérdezettek közül, mekkora annak a valószínűsége, hogy e két család mindegyikében legalább

3

gyermek van? (4 pont)

Megoldás.

a)

Foglaljuk táblázatba, hogy hány olyan család van, melyben

1,2, ...

stb. gyermek van. A megadott táblázatból kiolvasva:

\begin{matrix} gyerekszám & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ családok száma & 6 & 3 & 9 & 10 & 7 & 6 & 7 & 3 & 1 \end{matrix}

A családokban a gyermekek számának átlaga:

\begin{matrix} \frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 10 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 6 + 6 \cdot 7 + 7 \cdot 3 + 8 \cdot 1}{52} = \frac{180}{52} \approx 3, 46. \end{matrix}

b)

Azoknak a családoknak a száma,
melyben 1 fiú van:

1 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 = 11

, ez 11 fiú;
ahol 2 fiú van:

2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 9

, ez 18 fiú;
ahol 3 fiú van:

2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7

, ez 21 fiú;
ahol 4 fiú van:

1 + 2 + 3 + 1 = 7

, ez 28 fiú;
ahol 5 fiú van:

1 + 1 = 2

, ez 10 fiú.
Tehát a vizsgált családokban összesen

11 + 18 + 21 + 28 + 10 = 88

fiú van.
Hasonlóképpen kapjuk a lányok számát: 92.

Megjegyzés. Az

a)

részben összeszámoltuk, hogy összesen 180 gyerek van a vizsgált családokban, így is megkaphatjuk a lányok számát:

180 - 88 = 92

c)

Az 52 család közül kettőt

(\binom{52}{2})

-féleképpen választhatunk ki. A feladat táblázatából kiolvashatjuk, hogy 34 azoknak a családoknak a száma, melyekben legalább 3 gyerek van. Ezek közül kettőt

(\binom{34}{2})

-féleképpen választhatunk ki. Tehát a keresett valószínűség:

\begin{matrix} \frac{(\binom{34}{2})}{(\binom{52}{2})} = \frac{34!}{2! \cdot 32!} \cdot \frac{2! \cdot 50!}{52!} = \frac{33 \cdot 34}{51 \cdot 52} = \frac{1122}{2652} \approx 0, 423. \end{matrix}

4. A háromkötetes irodalmi lexikont kötetenként is meg lehet vásárolni. Egy alkalommal azt vizsgálták egy könyvesboltban egy héten át, hogy az egyes kötetekből az egyes napokon hány darab fogyott. A vizsgálat eredményét szemlélteti a táblázat.

Négy olyan vásárló volt, aki mindhárom kötetet megvette (egy kötetből senki sem vásárolt több példányt.) Azok közül, akik megvásárolták az első kötetet,

6

-an voltak olyanok, akik nem vették meg a másodikat, és szintén

6

-an voltak, akik nem vették meg a harmadik kötetet.

a)

Ha olyan vásárló nem volt, aki csak a második kötetet vette meg, akkor hányan vannak azok, akik csak a harmadik kötetet vették meg? (6 pont)

b)

Hány olyan vásárló volt a héten, aki vásárolt az irodalmi lexikonokból? (3 pont)

c)

Mindhárom kötet ára egységesen 3600 Ft. Aki két kötetet vásárolt, az az egyik megvásárolt kötetre kapott

10 %

kedvezményt. Aki mindhárom kötetet megvette, az az egyik megvásárolt kötetre

10 %

, egy másik megvásárolt kötetre pedig

20 %

kedvezményt kapott. Mennyi volt a bolt bevétele e kötetek után ezen a héten? (5 pont)

Megoldás.

a)

Az I. kötetet 15-en, a II. kötetet 10-en, a III. kötetet 24-en vásárolták meg. Ábrázoljuk halmazábrán (1. ábra), amit tudunk.

1. ábra

A feltételek szerint

a + x = 6

és

a + y = 6

, tehát

x = y

, továbbá

t = 0

.
Ezek szerint

2 x + a + 4 = 15

, azaz

2 x + a = 11

. Mivel

a = 6 - x

, így ezt az előbbi egyenletbe helyettesítve azt kapjuk, hogy

2 x + 6 - x = 11

, ahonnan

x = y = 5

, és ezzel

a = 1

.
Egészítsük ki halmazábránkat (2. ábra). Az ábrából kiolvasható, hogy 14-en vásárolták meg csak a III. kötetet.

2. ábra

b)

A héten a boltban e kötetekből összesen

1 + 5 + 4 + 5 + 1 + 14 = 30

-an vásároltak.

c)

A 30 vásárló mindegyike kifizette egy kötet teljes árát. Közülük 15-en az általuk vásárolt második kötet árát, azaz a teljes ár 10%-kal csökkentett árát is kifizették. Az összes vásárló között volt még négy olyan is, aki három kötetet vásárolt, így ők még kifizették négy kötet teljes árának 20%-kal csökkentett árát is. Ezek szerint az üzlet bevétele:

30 \cdot 3600 + 15 \cdot 3600 \cdot 0, 9 + 4 \cdot 3600 \cdot 0, 8 = 108 000 + 48 600 + 11 520 = 168 120 Ft

II. rész

5. Egy forgástest alakú díszítőelem tengelymetszetét látjuk az ábrán egy koordinátarendszerben elhelyezve. A síkmetszetet határoló görbék:

\begin{matrix} x^{2} + {(y - 3)}^{2} & = & 9 (x \leq 0), \\ {(x - 3)}^{2} + y^{2} & = & 9 (y \geq 0), \\ {(x - 3)}^{2} + {(y - 6)}^{2} & = & 9 (y \leq 6) \end{matrix}

a)

Mekkora a síkmetszet területe? (6 pont)

b)

A forgástestbe ‐ hogy stabilabb legyen ‐ egy olyan gömböt helyeztek, mely nem tud elmozdulni. (Ez a síkmetszeten egy olyan főkör, mely két félkört kívülről, egyet pedig belülről érint.) Mekkora e gömb sugara? (10 pont)

Megoldás.

a)

A síkmetszet egy

r

sugarú félkörből, valamint egy 2

r

oldalú négyzetből kivett

r

sugarú körből áll, ahol

r = 3

. Tehát a síkmetszet területe:

\begin{matrix} \frac{r^{2} π}{2} + 4 r^{2} - r^{2} π = 4 r^{2} - \frac{r^{2} π}{2} = 4 \cdot 3^{2} - \frac{3^{2} π}{2} \approx 21, 86. \end{matrix}

b)

Tekintsük a

K T O

derékszögű háromszöget.

O T = r

O K = r + x

és

T K = 2 r - x

felhasználásával felírjuk a Pitagorasz-tételt:

{(r + x)}^{2} = r^{2} + {(2 r - x)}^{2},

amiből

\begin{matrix} r^{2} + x^{2} + 2 r x = r^{2} + 4 r^{2} + x^{2} - 4 r x, \end{matrix}

azaz

6 r x = 4 r^{2}

. Vagyis

x = \frac{2}{3} r = 2

6. Az ábrán egy sísánc lesikló pályáját látjuk egy koordinátarendszerhez rögzítve. A sánc az

\begin{matrix} f (x) = \frac{4}{250} x^{2} + \frac{24}{25} x + \frac{322}{5} \end{matrix}

függvény grafikonjához illeszkedik, ahol az

x

tengely az 1000 m-es tengerszint feletti magasságon; a sánc

V

végpontja az

y

tengelyen van. Az egyik síelő a

V

pontot elhagyva egy olyan parabola-pályán repül tovább, mely a sáncnak megfelelő parabola

V

-re vonatkozó tükörképe.

a)

A tengerszinthez képest milyen magasságig repül fölfele a síelő? (4 pont)

b)

A sánc

V

végpontját tartalmazó tartóoszloptól milyen távol éri el az 1000 m-es tengerszint feletti magasságot a síelő? (6 pont)

c)

Írja fel a síelő röppályája érintőjének egyenletét a sánc elhagyásának pillanatában. (6 pont)

Megoldás.

a)

A másodfokú kifejezést a következő módon alakítjuk:

\begin{matrix} \frac{4}{250} x^{2} + \frac{24}{25} x + \frac{322}{5} & = & \frac{4}{250} \cdot [x^{2} + 60 x + 4025] = \frac{4}{250} \cdot [{(x + 30)}^{2} + 3125] = \\ = & \frac{4}{250} \cdot {(x + 30)}^{2} + 50 \end{matrix}

A sípálya görbéjének tehát

x = - 30

-ban van minimuma, minimumértéke 50. A sípálya görbéje az

y

tengelyt

\frac{322}{5} = 64, 4

-nél metszi. Ezek szerint a

V

pontra vonatkozó tükörképének maximuma a

(- 30; 50)

pontnak a

(0; 64, 4)

pontra vonatkozó tükörképe, vagyis a

(30; 78, 8)

pont. Ezek szerint a síelő a sípályát elhagyva az alábbi görbe mentén repül:

\begin{matrix} y = - \frac{4}{250} \cdot {(x - 30)}^{2} + 78, 8. \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy a tengerszinthez képest a síelő 1078,8 m magasságig repül.

b)

Azt kell kiszámítanunk, hogy a síelő röppályájának hol van

x > 0

esetén zérushelye.

\begin{matrix} - \frac{4}{250} \cdot {(x - 30)}^{2} + 78, 8 = 0, azaz {(x - 30)}^{2} = \frac{250 \cdot 78, 8}{4} = 4925. \end{matrix}

Innen

x \approx 100, 2

. Tehát a síelő a szélső tartóoszloptól kb. 100,2 m távolságra éri el az 1000 méteres tengerszint feletti magasságot.

c)

A keresett érintő áthalad a

P (0; 64, 4)

ponton. Meredeksége a síelő pályaegyenletét leíró függvénynek az

x = 0

helyen vett deriváltja.

\begin{matrix} f' (x) = [- \frac{4}{250} \cdot {(x - 30)}^{2} + 78, 8]' = - \frac{8}{250} x + \frac{24}{25}, azaz f' (0) = \frac{24}{25} . \end{matrix}

Ezek szerint a keresett érintő egyenlete:

\begin{matrix} y - 64, 4 = \frac{24}{25} x, azaz y = \frac{24}{25} x + 64, 4. \end{matrix}

7. Egy egyenes hasáb alapja olyan egyenlő szárú háromszög, melynek szára az alap kétszerese. A hasáb a háromszög alapjára illeszkedő oldallapján fekszik a földön a fal mellett, és ilyen helyzetben magasságának feléig megtöltöttük vízzel (lásd bal oldali ábra), a test falának vastagsága elhanyagolható.

a)

Milyen magasan áll a víz a testben, ha azt elforgatva a falnak támasztjuk (lásd jobb oldali ábra)? (8 pont)

b)

A test

D

csúcsában van egy dugó. Miután a hasábot a leírt módon a falnak támasztottuk, kihúztuk a dugót, ahonnan a víz 12 liter/perc átlagos sebességgel folyik ki a testből. Mennyi ideig folyik a víz, ha

a = 1

h = 4

m? (8 pont)

Megoldás.

a)

Tekintsük az ábrát. Ha a hasáb eredeti helyzetében magasságának feléig van megtöltve, akkor a síkmetszet ,,üres'' tartománya olyan egyenlő szárú háromszög, mely hasonló az eredeti háromszöghöz és a hasonlóság aránya

1 : 2

. Tehát az ,,üres'' háromszög területe az eredeti háromszög területének negyed része.

Az eredeti háromszög magassága:

\begin{matrix} m = \sqrt[]{4 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt[]{15}}{2} . \end{matrix}

Az eredeti háromszög

T

területe:

T = \frac{\sqrt[]{15}}{4}

, így az ,,üres'' háromszög

T_{1}

területe:

T_{1} = \frac{\sqrt[]{15}}{16}

.
Ezek szerint a bal oldali ábrán látható ,,üres'', derékszögű háromszögre az alábbi összefüggéseket írhatjuk fel:

\begin{matrix} \frac{x y}{2} = \frac{\sqrt[]{15}}{16}, és cos φ = \frac{x}{\sqrt[]{x^{2} + y^{2}}} . \end{matrix}

(1)

cos φ

értékét az eredeti háromszögből kaphatjuk meg a koszinusztétel segítségével:

1 = 4 + 4 - 8 cos φ

, ahonnan

cos φ = \frac{7}{8}

. Ezt felhasználva az (1) egyenletrendszer így alakul:

\begin{matrix} y = \frac{\sqrt[]{15}}{8 x} és \frac{49}{64} = \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}, azaz \frac{49}{64} = \frac{x^{2}}{x^{2} + \frac{15}{64 x^{2}}} . \end{matrix}

Bővítsük az utóbbi tört jobb oldalát

x^{2}

-tel:

\begin{matrix} \frac{49}{64} = \frac{x^{4}}{x^{4} + \frac{15}{64}}, ahonnan \frac{49}{64} x^{4} + \frac{49}{64} \cdot \frac{15}{64} = x^{4}, vagyis x^{4} = \frac{49}{64}, \end{matrix}

tehát

x = \sqrt[]{\frac{7}{8}}

, amiből

2 - x = 2 - \sqrt[]{\frac{7}{8}} \approx 1, 065

.
Ezek szerint a hasáb megdöntése után a víz magassága kb. 1,065 m.

b)

Egy olyan egyenes hasáb térfogatát kell kiszámolni, melynek alapja egy derékszögű trapéz (ezt a két ábrán sötétebbre színeztük).
A jobb oldali ábra

A B E

és

C B T

háromszögei hasonlók, és a hasonlóság aránya

1 : 2

, így az

A B E

háromszög területe a

C B T

háromszög területének negyed része, vagyis az eredeti háromszög területének

\frac{1}{8}

-a. Mivel az ,,üres'' rész területe ‐ mint láttuk ‐ az eredeti háromszög területének a negyede, így a hasáb alapját alkotó trapéz területe az eredeti háromszög területének

1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}

-ad része, azaz

\begin{matrix} T_{trapéz} = \frac{\sqrt[]{15}}{4} \cdot \frac{5}{8} = \frac{5 \sqrt[]{15}}{32} . \end{matrix}

A hasáb

V

térfogata:

\begin{matrix} V = \frac{5 \sqrt[]{15}}{32} \cdot 4 \approx 2, 4206 m^{3} = 2420, 6 liter. \end{matrix}

A folyás sebessége 12 liter/perc, így a dugó kihúzása után a víz

\frac{2420, 6}{12} \approx 201,7

percig folyik a tartályból.

a)

Egy számtani sorozat első tagja

\bar{a b}

, második tagja

\bar{b a}

(kétjegyű számok), harmadik tagja az

\bar{a c b}

háromjegyű szám. Mekkora e sorozat differenciája? (9 pont)

b)

Legyenek

a_{n}

és

b_{n}

pozitív egészekből álló, nem állandó számtani sorozatok. Igazoljuk, hogy

a_{b_{n}} - b_{a_{n}}

n

-től független állandó. (7 pont)

Megoldás.

a)

\bar{a b}

\bar{b a}

\bar{a c b}

egy számtani sorozat egymást követő három tagja, akkor

\begin{matrix} \frac{\bar{a b} + \bar{a c b}}{2} = \bar{b a} . \end{matrix}

Csak

a = 1

lehet, ugyanis

a \geq 2

esetén a bal oldali számláló 200-nál nagyobb lenne, így a jobb oldal nem lehetne kétjegyű szám. Tehát

a = 1

, így

\bar{1 b} + \bar{1 c b} = 2 \cdot \bar{b 1}

, azaz

10 + b + 100 + 10 c + b = 20 b + 2

, ahonnan

108 = 18 b - 10 c

.
Ez utóbbi egyenlőség bal oldala osztható 9-cel. Mivel a jobb oldal első tagja is osztható 9-cel, így a második tagnak is 9-cel oszthatónak kell lennie, ami csak úgy lehet, ha

c = 0

, ekkor

b = 6

; vagy ha

c = 9

, de ekkor

b = 11

, ami nem megoldás.
Tehát a sorozat első három tagja: 16, 61, 106, így a sorozat

d

differenciája:

d = 61 - 16 = 45

b)

Legyen az

a_{n}

sorozat első tagja

a

, differenciája

d_{1}

, a

b_{n}

sorozat első tagja

b

, differenciája

d_{2}

. Ekkor

\begin{matrix} a_{b_{n}} & = & a + (b_{n} - 1) d_{1} = a + [b + (n - 1) d_{2} - 1] d_{1} = a + b d_{1} + n d_{2} d_{1} - d_{2} d_{1} - d_{1}, \\ b_{a_{n}} & = & b + (a_{n} - 1) d_{2} = b + [a + (n - 1) d_{1} - 1] d_{2} = b + a d_{2} + n d_{1} d_{2} - d_{1} d_{2} - d_{2} . \end{matrix}

Tehát

a_{b_{n}} - b_{a_{n}} = a - b + b d_{1} - a d_{2} - d_{1} + d_{2}

, és ez valóban

n

-től független állandó.

a)

Határozzuk meg az alábbi kifejezés értelmezési tartományát:

\begin{matrix} \sqrt[]{x^{2} - 15 x + 36} + \sqrt[]{- x^{2} + 19 x - 84} + log_{\frac{x}{2}} 36. \end{matrix}

(6 pont)

b)

Mely

x

y

z

valós számok elégítik ki az alábbi egyenletet?

\begin{matrix} \sqrt[]{x^{2} - 15 x + 36} + \sqrt[]{- x^{2} + 19 x - 84} + log_{\frac{x}{2}} 36 = 2 cos 3 z - y^{2} + 4 y - 4. \end{matrix}

(10 pont)

Megoldás.

a)

A megadott kifejezésben

x

-re nézve az alábbi feltételeknek kell teljesülniük:

\begin{matrix} x^{2} - 15 x + 36 \geq 0, - x^{2} + 19 x - 84 \geq 0, x > 0, x \neq 2. \end{matrix}

Az első egyenlőtlenségben szereplő másodfokú kifejezés zérushelyei: 3 és 12, így az egyenlőtlenség megoldása:

x \leq 3

vagy

12 \leq x

.
A második egyenlőtlenségben szereplő másodfokú kifejezés zérushelyei: 7 és 12, így ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása:

7 \leq x \leq 12

.
A két egyenlőtlenség megoldását a másik két feltétellel egybevetve az eredeti egyenletnek csak akkor van értelme, ha

x = 12

b)

Helyettesítsük az egyenletbe a kapott

x = 12

értéket:

\begin{matrix} log_{6} 36 = 2 cos 3 z - (y^{2} - 4 y + 4), azaz 2 = 2 cos 3 z - {(y - 2)}^{2} . \end{matrix}

A kapott egyenlet jobb oldalán

cos 3 z

értéke legfeljebb 1, így az egyenlet jobb oldalának értéke legfeljebb 2. Az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha

cos 3 z = 1

és

{(y - 2)}^{2} = 0

, azaz

y = 2

. A

cos 3 z = 1

egyenletből pedig

3 z = 2 k π

, azaz

z = \frac{2}{3} \cdot k π

.
Tehát az eredeti egyenletet kielégítő

x

y

z

valós számok:

x = 12

y = 2

z = \frac{2}{3} \cdot k π

(

k \in Z