Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Gerõcs László 
Füzet: 2008/január, 10 - 13. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán:
a)log22x-4log2x+4=log24x(6 pont)b)5-cos2x-4sinx=2-sinx(6 pont)

 

2. Egy kocsmáros kiszámította, hogy ha a 60%-os alkoholjához hozzáönt 12 liter vizet, akkor 42%-os alkoholként árulhatja azt.
a) Hány liter volt az eredeti 60%-os alkohol?  (6 pont)
b) A nagyobb nyereség reményében a kocsmáros nem 12, hanem 16 liter vizet öntött az eredeti alkoholhoz. A kocsmáros azt tapasztalta, hogy a 42%-os alkohol esetében a ±2%-os eltérést műszer nélkül még nem fedezik fel a fogyasztók, de az annál nagyobb eltérést már igen. Észreveszik-e a vendégek a csalást?  (6 pont)
 

3. Egy felmérés során megkérdeztek 52 családot a családban élő gyerekek számáról, illetve azok neméről. A felmérés eredményét a táblázat mutatja.
 
 

(Tehát pl. olyan család, melyben egyetlen gyermek sincs 6 db volt, míg olyan, amelyben egy fiú és két lány, 3 volt.)
a) Átlagosan hány gyermek van egy családban?  (5 pont)
b) Összesen hány fiú és hány lány van a megkérdezett családokban?  (4 pont)
c) Véletlenszerűen kiválasztva 2 családot a megkérdezettek közül, mekkora annak a valószínűsége, hogy e két család mindegyikében legalább 3 gyermek van?  (4 pont)
 

4. A háromkötetes irodalmi lexikont kötetenként is meg lehet vásárolni. Egy alkalommal azt vizsgálták egy könyvesboltban egy héten át, hogy az egyes kötetekből az egyes napokon hány darab fogyott. A vizsgálat eredményét szemlélteti a táblázat.
 
 

Négy olyan vásárló volt, aki mindhárom kötetet megvette (egy kötetből senki sem vásárolt több példányt.) Azok közül, akik megvásárolták az első kötetet, 6-an voltak olyanok, akik nem vették meg a másodikat, és szintén 6-an voltak, akik nem vették meg a harmadik kötetet.
a) Ha olyan vásárló nem volt, aki csak a második kötetet vette meg, akkor hányan vannak azok, akik csak a harmadik kötetet vették meg?  (6 pont)
b) Hány olyan vásárló volt a héten, aki vásárolt az irodalmi lexikonokból?  (3 pont)
c) Mindhárom kötet ára egységesen 3600 Ft. Aki két kötetet vásárolt, az az egyik megvásárolt kötetre kapott 10% kedvezményt. Aki mindhárom kötetet megvette, az az egyik megvásárolt kötetre 10%, egy másik megvásárolt kötetre pedig 20% kedvezményt kapott. Mennyi volt a bolt bevétele e kötetek után ezen a héten?  (5 pont)
 

II. rész
 

5. Egy forgástest alakú díszítőelem tengelymetszetét látjuk az ábrán egy koordinátarendszerben elhelyezve. A síkmetszetet határoló görbék:
x2+(y-3)2=9(x0),(x-3)2+y2=9(y0),(x-3)2+(y-6)2=9(y6)

a) Mekkora a síkmetszet területe?  (6 pont)
 
 

b) A forgástestbe ‐ hogy stabilabb legyen ‐ egy olyan gömböt helyeztek, mely nem tud elmozdulni. (Ez a síkmetszeten egy olyan főkör, mely két félkört kívülről, egyet pedig belülről érint.) Mekkora e gömb sugara?  (10 pont)
 
 

6. Az ábrán egy sísánc lesikló pályáját látjuk egy koordinátarendszerhez rögzítve. A sánc az
f(x)=4250x2+2425x+3225
függvény grafikonjához illeszkedik, ahol az x tengely az 1000 m-es tengerszint feletti magasságon; a sánc V végpontja az y tengelyen van. Az egyik síelő a V pontot elhagyva egy olyan parabola-pályán repül tovább, mely a sáncnak megfelelő parabola V-re vonatkozó tükörképe.
 
 

a) A tengerszinthez képest milyen magasságig repül fölfele a síelő?  (4 pont)
b) A sánc V végpontját tartalmazó tartóoszloptól milyen távol éri el az 1000 m-es tengerszint feletti magasságot a síelő?  (6 pont)
c) Írja fel a síelő röppályája érintőjének egyenletét a sánc elhagyásának pillanatában.  (6 pont)
 

7. Egy egyenes hasáb alapja olyan egyenlő szárú háromszög, melynek szára az alap kétszerese. A hasáb a háromszög alapjára illeszkedő oldallapján fekszik a földön a fal mellett, és ilyen helyzetben magasságának feléig megtöltöttük vízzel (lásd bal oldali ábra), a test falának vastagsága elhanyagolható.
a) Milyen magasan áll a víz a testben, ha azt elforgatva a falnak támasztjuk (lásd jobb oldali ábra)?  (8 pont)
 
 

b) A test D csúcsában van egy dugó. Miután a hasábot a leírt módon a falnak támasztottuk, kihúztuk a dugót, ahonnan a víz 12 liter/perc átlagos sebességgel folyik ki a testből. Mennyi ideig folyik a víz, ha a=1 m, h=4 m?  (8 pont)
 

8. a) Egy számtani sorozat első tagja ab¯, második tagja ba¯ (kétjegyű számok), harmadik tagja az acb¯ háromjegyű szám. Mekkora e sorozat differenciája?  (9 pont)
b) Legyenek an és bn pozitív egészekből álló, nem állandó számtani sorozatok. Igazoljuk, hogy abn-ban  n-től független állandó.  (7 pont)
 

9. a) Határozzuk meg az alábbi kifejezés értelmezési tartományát:
x2-15x+36+-x2+19x-84+logx236.(6 pont)

b) Mely x, y, z valós számok elégítik ki az alábbi egyenletet?
x2-15x+36+-x2+19x-84+logx236=2cos3z-y2+4y-4.(10 pont)