Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Gerõcs László
Füzet:	2008/január, 10 - 13. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>}\sqrt[]{\text{log}{}_2^{2}x-4\text{log}{}_{2}x+4}=\text{log}{}_2\frac{4}{x}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">(<span style="font-style: italic;">6 pont</span>)</span>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>}\sqrt[]{5-\text{cos}{}^{2}x-4\text{sin}x}=2-\text{sin}x\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">(<span style="font-style: italic;">6 pont</span>)</span>}}\hfill \end{array}}$   2. Egy kocsmáros kiszámította, hogy ha a 60%-os alkoholjához hozzáönt 12 liter vizet, akkor 42%-os alkoholként árulhatja azt. $a)$ Hány liter volt az eredeti 60%-os alkohol?  (6 pont) $b)$ A nagyobb nyereség reményében a kocsmáros nem 12, hanem 16 liter vizet öntött az eredeti alkoholhoz. A kocsmáros azt tapasztalta, hogy a 42%-os alkohol esetében a $\pm 2\%$-os eltérést műszer nélkül még nem fedezik fel a fogyasztók, de az annál nagyobb eltérést már igen. Észreveszik-e a vendégek a csalást?  (6 pont)   3. Egy felmérés során megkérdeztek 52 családot a családban élő gyerekek számáról, illetve azok neméről. A felmérés eredményét a táblázat mutatja.     (Tehát pl. olyan család, melyben egyetlen gyermek sincs 6 db volt, míg olyan, amelyben egy fiú és két lány, 3 volt.) $a)$ Átlagosan hány gyermek van egy családban?  (5 pont) $b)$ Összesen hány fiú és hány lány van a megkérdezett családokban?  (4 pont) $c)$ Véletlenszerűen kiválasztva 2 családot a megkérdezettek közül, mekkora annak a valószínűsége, hogy e két család mindegyikében legalább 3 gyermek van?  (4 pont)   4. A háromkötetes irodalmi lexikont kötetenként is meg lehet vásárolni. Egy alkalommal azt vizsgálták egy könyvesboltban egy héten át, hogy az egyes kötetekből az egyes napokon hány darab fogyott. A vizsgálat eredményét szemlélteti a táblázat.     Négy olyan vásárló volt, aki mindhárom kötetet megvette (egy kötetből senki sem vásárolt több példányt.) Azok közül, akik megvásárolták az első kötetet, 6-an voltak olyanok, akik nem vették meg a másodikat, és szintén 6-an voltak, akik nem vették meg a harmadik kötetet. $a)$ Ha olyan vásárló nem volt, aki csak a második kötetet vette meg, akkor hányan vannak azok, akik csak a harmadik kötetet vették meg?  (6 pont) $b)$ Hány olyan vásárló volt a héten, aki vásárolt az irodalmi lexikonokból?  (3 pont) $c)$ Mindhárom kötet ára egységesen 3600 Ft. Aki két kötetet vásárolt, az az egyik megvásárolt kötetre kapott 10% kedvezményt. Aki mindhárom kötetet megvette, az az egyik megvásárolt kötetre 10%, egy másik megvásárolt kötetre pedig 20% kedvezményt kapott. Mennyi volt a bolt bevétele e kötetek után ezen a héten?  (5 pont)   II. rész   5. Egy forgástest alakú díszítőelem tengelymetszetét látjuk az ábrán egy koordinátarendszerben elhelyezve. A síkmetszetet határoló görbék: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2+{\left(y-3\right)}^2}& {\displaystyle =9\left(x\le 0\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(x-3\right)}^2+y^2}& {\displaystyle =9\left(y\ge 0\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(x-3\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2}& {\displaystyle =9\left(y\le 6\right)}\hfill \end{array}}$ $a)$ Mekkora a síkmetszet területe?  (6 pont)     $b)$ A forgástestbe ‐ hogy stabilabb legyen ‐ egy olyan gömböt helyeztek, mely nem tud elmozdulni. (Ez a síkmetszeten egy olyan főkör, mely két félkört kívülről, egyet pedig belülről érint.) Mekkora e gömb sugara?  (10 pont)     6. Az ábrán egy sísánc lesikló pályáját látjuk egy koordinátarendszerhez rögzítve. A sánc az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4}{250}{x}^2+\frac{24}{25}x+\frac{322}{5}}\end{array}$ függvény grafikonjához illeszkedik, ahol az $x$ tengely az 1000 m-es tengerszint feletti magasságon; a sánc $V$ végpontja az $y$ tengelyen van. Az egyik síelő a $V$ pontot elhagyva egy olyan parabola-pályán repül tovább, mely a sáncnak megfelelő parabola $V$-re vonatkozó tükörképe.     $a)$ A tengerszinthez képest milyen magasságig repül fölfele a síelő?  (4 pont) $b)$ A sánc $V$ végpontját tartalmazó tartóoszloptól milyen távol éri el az 1000 m-es tengerszint feletti magasságot a síelő?  (6 pont) $c)$ Írja fel a síelő röppályája érintőjének egyenletét a sánc elhagyásának pillanatában.  (6 pont)   7. Egy egyenes hasáb alapja olyan egyenlő szárú háromszög, melynek szára az alap kétszerese. A hasáb a háromszög alapjára illeszkedő oldallapján fekszik a földön a fal mellett, és ilyen helyzetben magasságának feléig megtöltöttük vízzel (lásd bal oldali ábra), a test falának vastagsága elhanyagolható. $a)$ Milyen magasan áll a víz a testben, ha azt elforgatva a falnak támasztjuk (lásd jobb oldali ábra)?  (8 pont)     $b)$ A test $D$ csúcsában van egy dugó. Miután a hasábot a leírt módon a falnak támasztottuk, kihúztuk a dugót, ahonnan a víz 12 liter/perc átlagos sebességgel folyik ki a testből. Mennyi ideig folyik a víz, ha $a=1$ m, $h=4$ m?  (8 pont)   8. $a)$ Egy számtani sorozat első tagja $\overline{ab}$, második tagja $\overline{ba}$ (kétjegyű számok), harmadik tagja az $\overline{acb}$ háromjegyű szám. Mekkora e sorozat differenciája?  (9 pont) $b)$ Legyenek $a_n$ és $b_n$ pozitív egészekből álló, nem állandó számtani sorozatok. Igazoljuk, hogy $a_{b_n}-b_{a_n}$  $n$-től független állandó.  (7 pont)   9. $a)$ Határozzuk meg az alábbi kifejezés értelmezési tartományát: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x^2-15x+36}+\sqrt[]{-x^2+19x-84}+\text{log}{}_{\frac{x}{2}}36.}\end{array}$ (6 pont) $b)$ Mely $x$, $y$, $z$ valós számok elégítik ki az alábbi egyenletet? $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x^2-15x+36}+\sqrt[]{-x^2+19x-84}+\text{log}{}_{\frac{x}{2}}36=2\text{cos}3z-y^2+4y-4.}\end{array}$ (10 pont)