A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán:
2. Egy kocsmáros kiszámította, hogy ha a 60%-os alkoholjához hozzáönt 12 liter vizet, akkor 42%-os alkoholként árulhatja azt. a) Hány liter volt az eredeti 60%-os alkohol? (6 pont) b) A nagyobb nyereség reményében a kocsmáros nem 12, hanem 16 liter vizet öntött az eredeti alkoholhoz. A kocsmáros azt tapasztalta, hogy a 42%-os alkohol esetében a ±2%-os eltérést műszer nélkül még nem fedezik fel a fogyasztók, de az annál nagyobb eltérést már igen. Észreveszik-e a vendégek a csalást? (6 pont) 3. Egy felmérés során megkérdeztek 52 családot a családban élő gyerekek számáról, illetve azok neméről. A felmérés eredményét a táblázat mutatja.
(Tehát pl. olyan család, melyben egyetlen gyermek sincs 6 db volt, míg olyan, amelyben egy fiú és két lány, 3 volt.) a) Átlagosan hány gyermek van egy családban? (5 pont) b) Összesen hány fiú és hány lány van a megkérdezett családokban? (4 pont) c) Véletlenszerűen kiválasztva 2 családot a megkérdezettek közül, mekkora annak a valószínűsége, hogy e két család mindegyikében legalább 3 gyermek van? (4 pont) 4. A háromkötetes irodalmi lexikont kötetenként is meg lehet vásárolni. Egy alkalommal azt vizsgálták egy könyvesboltban egy héten át, hogy az egyes kötetekből az egyes napokon hány darab fogyott. A vizsgálat eredményét szemlélteti a táblázat.
Négy olyan vásárló volt, aki mindhárom kötetet megvette (egy kötetből senki sem vásárolt több példányt.) Azok közül, akik megvásárolták az első kötetet, 6-an voltak olyanok, akik nem vették meg a másodikat, és szintén 6-an voltak, akik nem vették meg a harmadik kötetet. a) Ha olyan vásárló nem volt, aki csak a második kötetet vette meg, akkor hányan vannak azok, akik csak a harmadik kötetet vették meg? (6 pont) b) Hány olyan vásárló volt a héten, aki vásárolt az irodalmi lexikonokból? (3 pont) c) Mindhárom kötet ára egységesen 3600 Ft. Aki két kötetet vásárolt, az az egyik megvásárolt kötetre kapott 10% kedvezményt. Aki mindhárom kötetet megvette, az az egyik megvásárolt kötetre 10%, egy másik megvásárolt kötetre pedig 20% kedvezményt kapott. Mennyi volt a bolt bevétele e kötetek után ezen a héten? (5 pont)
II. rész 5. Egy forgástest alakú díszítőelem tengelymetszetét látjuk az ábrán egy koordinátarendszerben elhelyezve. A síkmetszetet határoló görbék:
x2+(y-3)2=9(x≤0),(x-3)2+y2=9(y≥0),(x-3)2+(y-6)2=9(y≤6)
a) Mekkora a síkmetszet területe? (6 pont)
b) A forgástestbe ‐ hogy stabilabb legyen ‐ egy olyan gömböt helyeztek, mely nem tud elmozdulni. (Ez a síkmetszeten egy olyan főkör, mely két félkört kívülről, egyet pedig belülről érint.) Mekkora e gömb sugara? (10 pont)
6. Az ábrán egy sísánc lesikló pályáját látjuk egy koordinátarendszerhez rögzítve. A sánc az függvény grafikonjához illeszkedik, ahol az x tengely az 1000 m-es tengerszint feletti magasságon; a sánc V végpontja az y tengelyen van. Az egyik síelő a V pontot elhagyva egy olyan parabola-pályán repül tovább, mely a sáncnak megfelelő parabola V-re vonatkozó tükörképe.
a) A tengerszinthez képest milyen magasságig repül fölfele a síelő? (4 pont) b) A sánc V végpontját tartalmazó tartóoszloptól milyen távol éri el az 1000 m-es tengerszint feletti magasságot a síelő? (6 pont) c) Írja fel a síelő röppályája érintőjének egyenletét a sánc elhagyásának pillanatában. (6 pont) 7. Egy egyenes hasáb alapja olyan egyenlő szárú háromszög, melynek szára az alap kétszerese. A hasáb a háromszög alapjára illeszkedő oldallapján fekszik a földön a fal mellett, és ilyen helyzetben magasságának feléig megtöltöttük vízzel (lásd bal oldali ábra), a test falának vastagsága elhanyagolható. a) Milyen magasan áll a víz a testben, ha azt elforgatva a falnak támasztjuk (lásd jobb oldali ábra)? (8 pont)
b) A test D csúcsában van egy dugó. Miután a hasábot a leírt módon a falnak támasztottuk, kihúztuk a dugót, ahonnan a víz 12 liter/perc átlagos sebességgel folyik ki a testből. Mennyi ideig folyik a víz, ha a=1 m, h=4 m? (8 pont) 8. a) Egy számtani sorozat első tagja ab¯, második tagja ba¯ (kétjegyű számok), harmadik tagja az acb¯ háromjegyű szám. Mekkora e sorozat differenciája? (9 pont) b) Legyenek an és bn pozitív egészekből álló, nem állandó számtani sorozatok. Igazoljuk, hogy abn-ban n-től független állandó. (7 pont) 9. a) Határozzuk meg az alábbi kifejezés értelmezési tartományát: | x2-15x+36+-x2+19x-84+logx236. | (6 pont) |
b) Mely x, y, z valós számok elégítik ki az alábbi egyenletet? | x2-15x+36+-x2+19x-84+logx236=2cos3z-y2+4y-4. | (10 pont) |
|