Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Békéssy Szilvia 
Füzet: 2007/október, 406. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert:
(x+y)(x-4y+11)=x-4y+11,(4x-y)(2x-3y-8)=16(2x-3y-8).(11 pont)
 

2. Egy 60 cm széles vászonnak 120 cm-es darabját találtuk meg otthon a szekrényben, amelynek egyik sarkából korábban már levágtunk egy 30×30cm-es derékszögű háromszöget. A megmaradt anyagból az eredeti téglalap oldalaival párhuzamos vágásokkal szeretnénk a legnagyobb területű téglalapot kiszabni. Mekkora lesz az új téglalap oldalainak a hossza?  (12 pont)
 

3. Adott az {an}={9n+8} számtani sorozat. Ennek elemeiből képezzük a {bn}={an+12-an2} sorozatot.
a) Mennyi a {bn} első 2007 tagjának összege?
b) Igazoljuk, hogy a {bn} is számtani sorozat.
c) Tagja-e a {bn} sorozatnak a 2007?  (14 pont)
 

4. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyre illeszkedik a P(8;9) pont, az e1:2x+3y-21=0 és az e2:2x+3y-9=0 egyenletű egyeneseket pedig olyan pontokban metszi, amelyek ordinátáinak különbsége 4.  (14 pont)
 

II. rész
 

5. A trapézt két átlója négy háromszögre bontja. A párhuzamos oldalakon nyugvó háromszögek területe 19cm2 és 63cm2. Mekkora a trapéz területe?  (16 pont)
 

6. Egy urnába golyókat helyeztünk, melyekre számokat írtunk: egyre 1-est, kettőre 9-est, háromra 3-ast, és a golyókat egyforma valószínűséggel húzzuk ki.
a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy kétszer húzva visszatevés nélkül azonos számmal jelzett golyót veszünk ki?
b) Vegyünk ki négy golyót. Kirakhatunk-e belőlük olyan 4k+1 alakú pozitív egész számot, melyben a számjegyek szorzata 243, és a szám kisebb, mint a számjegyei összegének a 100-szorosa?  (16 pont)
 

7. Igazoljuk, hogy bármely háromszögben az oldalak és szögek szokásos jelölése mellett fennáll a következő egyenlőség:
asinβsin(α+γ2)=2aba+bcosγ2.(16 pont)
 

8. Adott a térbeli koordináta-rendszerben a következő nyolc pont: A(4;0;0), B(4;4;0), C(0;4;0), D(0;0;0), E(4;0;8), F(4;4;8), G(0;4;8), H(0;0;8).
a) Legyen P a DH élen D-től 1 egységre lévő pont, Q pedig a BF él felezőpontja. Mekkora szöget zár be a PB és a PQ szakasz?
b) Az AE szakaszon fekvő R pontra igaz, hogy a CR egyenes metszi a PQ egyenest egy S pontban. Adjuk meg az S és R pontok koordinátáit.  (16 pont)
 

9. A következő függvényeket a valós számok halmazán értelmezzük. Legyen f(x)=2x-1, g(x)=x2.
a) Írjuk fel a h(x)=f[g(x)]-g[f(x)] függvény x=3 abszcisszájú pontjában húzott érintőjének az egyenletét.
b) Számítsuk ki az [1;3] intervallumon a k(x)=g(x)-f(x) függvény görbéje alatti területet.  (16 pont)