A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert: | | (11 pont) | 2. Egy 60 cm széles vászonnak 120 cm-es darabját találtuk meg otthon a szekrényben, amelynek egyik sarkából korábban már levágtunk egy -es derékszögű háromszöget. A megmaradt anyagból az eredeti téglalap oldalaival párhuzamos vágásokkal szeretnénk a legnagyobb területű téglalapot kiszabni. Mekkora lesz az új téglalap oldalainak a hossza? (12 pont) 3. Adott az számtani sorozat. Ennek elemeiből képezzük a sorozatot. Mennyi a első 2007 tagjának összege? Igazoljuk, hogy a is számtani sorozat. Tagja-e a sorozatnak a 2007? (14 pont) 4. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyre illeszkedik a pont, az és az egyenletű egyeneseket pedig olyan pontokban metszi, amelyek ordinátáinak különbsége . (14 pont)
II. rész 5. A trapézt két átlója négy háromszögre bontja. A párhuzamos oldalakon nyugvó háromszögek területe és 63cm2. Mekkora a trapéz területe? (16 pont) 6. Egy urnába golyókat helyeztünk, melyekre számokat írtunk: egyre 1-est, kettőre 9-est, háromra 3-ast, és a golyókat egyforma valószínűséggel húzzuk ki. a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy kétszer húzva visszatevés nélkül azonos számmal jelzett golyót veszünk ki? b) Vegyünk ki négy golyót. Kirakhatunk-e belőlük olyan 4k+1 alakú pozitív egész számot, melyben a számjegyek szorzata 243, és a szám kisebb, mint a számjegyei összegének a 100-szorosa? (16 pont) 7. Igazoljuk, hogy bármely háromszögben az oldalak és szögek szokásos jelölése mellett fennáll a következő egyenlőség: | asinβsin(α+γ2)=2aba+b⋅cosγ2. | (16 pont) | 8. Adott a térbeli koordináta-rendszerben a következő nyolc pont: A(4;0;0), B(4;4;0), C(0;4;0), D(0;0;0), E(4;0;8), F(4;4;8), G(0;4;8), H(0;0;8). a) Legyen P a DH élen D-től 1 egységre lévő pont, Q pedig a BF él felezőpontja. Mekkora szöget zár be a PB és a PQ szakasz? b) Az AE szakaszon fekvő R pontra igaz, hogy a CR egyenes metszi a PQ egyenest egy S pontban. Adjuk meg az S és R pontok koordinátáit. (16 pont) 9. A következő függvényeket a valós számok halmazán értelmezzük. Legyen f(x)=2x-1, g(x)=x2. a) Írjuk fel a h(x)=f[g(x)]-g[f(x)] függvény x=3 abszcisszájú pontjában húzott érintőjének az egyenletét. b) Számítsuk ki az [1;3] intervallumon a k(x)=g(x)-f(x) függvény görbéje alatti területet. (16 pont) |
|