Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Békéssy Szilvia
Füzet:	2007/október, 406. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(x+y\right)\left(x-4y+11\right)}& {\displaystyle =x-4y+\mathrm{11,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(4x-y\right)\left(2x-3y-8\right)}& {\displaystyle =16\left(2x-3y-8\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ (11 pont)   2. Egy 60 cm széles vászonnak 120 cm-es darabját találtuk meg otthon a szekrényben, amelynek egyik sarkából korábban már levágtunk egy $30\times 30\text{cm}$-es derékszögű háromszöget. A megmaradt anyagból az eredeti téglalap oldalaival párhuzamos vágásokkal szeretnénk a legnagyobb területű téglalapot kiszabni. Mekkora lesz az új téglalap oldalainak a hossza?  (12 pont)   3. Adott az $\left\{a_n\right\}=\left\{9n+8\right\}$ számtani sorozat. Ennek elemeiből képezzük a $\left\{b_n\right\}=\left\{a_{n+1}^2-a_n^2\right\}$ sorozatot. $a)$ Mennyi a $\left\{b_n\right\}$ első 2007 tagjának összege? $b)$ Igazoljuk, hogy a $\left\{b_n\right\}$ is számtani sorozat. $c)$ Tagja-e a $\left\{b_n\right\}$ sorozatnak a 2007?  (14 pont)   4. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyre illeszkedik a $P\left(8;9\right)$ pont, az $e_1:2x+3y-21=0$ és az $e_2:2x+3y-9=0$ egyenletű egyeneseket pedig olyan pontokban metszi, amelyek ordinátáinak különbsége $4$.  (14 pont)   II. rész   5. A trapézt két átlója négy háromszögre bontja. A párhuzamos oldalakon nyugvó háromszögek területe $19\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ és $63\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$. Mekkora a trapéz területe?  (16 pont)   6. Egy urnába golyókat helyeztünk, melyekre számokat írtunk: egyre $1$-est, kettőre $9$-est, háromra $3$-ast, és a golyókat egyforma valószínűséggel húzzuk ki. $a)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy kétszer húzva visszatevés nélkül azonos számmal jelzett golyót veszünk ki? $b)$ Vegyünk ki négy golyót. Kirakhatunk-e belőlük olyan $4k+1$ alakú pozitív egész számot, melyben a számjegyek szorzata $243$, és a szám kisebb, mint a számjegyei összegének a $100$-szorosa?  (16 pont)   7. Igazoljuk, hogy bármely háromszögben az oldalak és szögek szokásos jelölése mellett fennáll a következő egyenlőség: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a\text{sin}\beta }{\text{sin}\left(\alpha +\frac{\gamma }{2}\right)}=\frac{2ab}{a+b}\cdot \text{cos}\frac{\gamma }{2}\mathrm{.}}\end{array}$ (16 pont)   8. Adott a térbeli koordináta-rendszerben a következő nyolc pont: $A\left(4;0;0\right)$, $B\left(4;4;0\right)$, $C\left(0;4;0\right)$, $D\left(0;0;0\right)$, $E\left(4;0;8\right)$, $F\left(4;4;8\right)$, $G\left(0;4;8\right)$, $H\left(0;0;8\right)$. $a)$ Legyen $P$ a $DH$ élen $D$-től $1$ egységre lévő pont, $Q$ pedig a $BF$ él felezőpontja. Mekkora szöget zár be a $PB$ és a $PQ$ szakasz? $b)$ Az $AE$ szakaszon fekvő $R$ pontra igaz, hogy a $CR$ egyenes metszi a $PQ$ egyenest egy $S$ pontban. Adjuk meg az $S$ és $R$ pontok koordinátáit.  (16 pont)   9. A következő függvényeket a valós számok halmazán értelmezzük. Legyen $f\left(x\right)=2x-1$, $g\left(x\right)=x^2$. $a)$ Írjuk fel a $h\left(x\right)=f\left[g\left(x\right)\right]-g\left[f\left(x\right)\right]$ függvény $x=3$ abszcisszájú pontjában húzott érintőjének az egyenletét. $b)$ Számítsuk ki az $\left[1;3\right]$ intervallumon a $k\left(x\right)=g\left(x\right)-f\left(x\right)$ függvény görbéje alatti területet.  (16 pont)