Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Koncz Levente 
Füzet: 2007/november, 472 - 473. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Határozzuk meg azokat az a, b, c egész számokat, melyekre teljesül a következő két tulajdonság:
i) A három szám összege fele a szorzatuknak;
ii) Az egyik szám egyenlő a másik kettő összegével.  (11 pont)
 

2. Két, egy síkban haladó repülőgép repülési pályája két, egymásra merőleges egyenes. Egy adott pillanatban pályájuk képzeletbeli metszéspontjától az egyik repülőgép 2 km, a másik 2,5 km távolságban van. Az előbbi gép sebessége 270 km/h, a másiké 180 km/h. A gépek vészjelzője figyelmezteti a pilótákat, ha 1 km-nél jobban megközelítik egymást.
a) Határozzuk meg, hány másodperc múlva lesz a két repülőgép távolsága minimális.  (9 pont) b) Megszólal-e a vészjelző a repülőgépeken?  (3 pont)
 

3. Egy nem állandó számtani sorozat első három eleme közül a másodikat és a harmadikat felcserélve egy mértani sorozat első három elemét kapjuk. A számtani sorozat első eleme egyenlő a második és a harmadik elem szorzatának ellentettjével. Határozzuk meg a számtani sorozatot.  (14 pont)
 

4. Egy 30 fős osztályból hányféle különböző módon állíthatunk össze
a) egy ötfős csoportot;  (2 pont) b) egy legfeljebb öt-, de legalább kétfős csoportot;  (4 pont) c) egy ötfős csoportot, ha az osztály diákbizottság elnökének mindenképp benne kell lennie;  (4 pont) d) egy ötfős csoportot, akik közül egy embert csoportvezetőnek jelölünk ki?
  (4 pont)
 

II. rész
 

5. Egy egyenes körkúp alakú edény alapkörének sugara 12 cm, magassága 18 cm. Az edényt csúcsára állítjuk, és 1 liter vizet töltünk bele.
a) Milyen magasan áll benne a víz?  (8 pont) b) Mennyi festékre lenne szükség az edény külső falának befestéséhez, ha 1 liter festék 8m2 felületre elegendő?  (8 pont)
 

6. A hagyományos ötöslottón egy szelvénnyel játszva a nyerés (legalább két találat) esélye kb. 2,33%. A nagy nyeremény reményében 100 véletlenszerűen kitöltött szelvényt küldünk játékba.
a) Mekkora valószínűséggel lesz legalább egy nyertes szelvényünk?  (5 pont) b) Mekkora valószínűséggel lesz pontosan három nyertes szelvényünk?  (5 pont) c) Hány szelvényt kellene feladni egy adott héten, hogy legalább 99% valószínűséggel legyen köztük nyertes szelvény?  (6 pont)
 

7. Egy számunkra megközelíthetetlen hegy tetején álló adótorony magasságát szeretnénk meghatározni. A hegy lábával azonos magasságban elterülő síkságon felvesszük az egymástól 80 méterre lévő A és B pontokat úgy, hogy a B pontból az A pont és a torony (ebben a sorrendben) egy irányban látszódjanak. Az A pontból a torony alját 4130'-es, a tetejét 49-os, a B pontból a torony alját 3415'-es szög alatt látjuk.
a) Milyen magas a hegy?  (7 pont) b) Milyen magas a torony?  (5 pont) c) Mekkora szög alatt látszik a B pontból a torony teteje?  (4 pont)
 

8. Adott a koordináta-rendszerben az
x2+y2-4x-2y-20=0
egyenletű k1 kör.
a) Határozzuk meg a k1 körbe írt derékszögű háromszög harmadik csúcsának koordinátáit, ha két ismert csúcsának koordinátái (-2;4) és (5;5).  (6 pont) b) Keressünk az x tengelyen olyan pontot, melyből a k1 körhöz és az
(x-12)2+y2=4
egyenletű k2 körhöz húzott érintők hosszúsága egyenlő.  (10 pont)
 

9. a) Határozzuk meg az f(x)=px2+2x+q függvény grafikonja, valamint az x=4 és az x=6 egyenesek által közrezárt síkidom területét, ha tudjuk, hogy
02f(x)dx=-2és24f(x)dx=54.(9 pont)

b) Határozzuk meg azon k értékeket, melyekre
0kf(x)dx=0.(7 pont)