Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Koncz Levente
Füzet:	2007/november, 472 - 473. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Határozzuk meg azokat az $a$, $b$, $c$ egész számokat, melyekre teljesül a következő két tulajdonság: $i)$ A három szám összege fele a szorzatuknak; $ii)$ Az egyik szám egyenlő a másik kettő összegével.  (11 pont)   2. Két, egy síkban haladó repülőgép repülési pályája két, egymásra merőleges egyenes. Egy adott pillanatban pályájuk képzeletbeli metszéspontjától az egyik repülőgép 2 km, a másik 2,5 km távolságban van. Az előbbi gép sebessége 270 km/h, a másiké 180 km/h. A gépek vészjelzője figyelmezteti a pilótákat, ha 1 km-nél jobban megközelítik egymást. $a)$ Határozzuk meg, hány másodperc múlva lesz a két repülőgép távolsága minimális.  (9 pont) $b)$ Megszólal-e a vészjelző a repülőgépeken?  (3 pont)   3. Egy nem állandó számtani sorozat első három eleme közül a másodikat és a harmadikat felcserélve egy mértani sorozat első három elemét kapjuk. A számtani sorozat első eleme egyenlő a második és a harmadik elem szorzatának ellentettjével. Határozzuk meg a számtani sorozatot.  (14 pont)   4. Egy $30$ fős osztályból hányféle különböző módon állíthatunk össze $a)$ egy ötfős csoportot;  (2 pont) $b)$ egy legfeljebb öt-, de legalább kétfős csoportot;  (4 pont) $c)$ egy ötfős csoportot, ha az osztály diákbizottság elnökének mindenképp benne kell lennie;  (4 pont) $d)$ egy ötfős csoportot, akik közül egy embert csoportvezetőnek jelölünk ki? $\begin{array}{c}\end{array}$ (4 pont)   II. rész   5. Egy egyenes körkúp alakú edény alapkörének sugara 12 cm, magassága 18 cm. Az edényt csúcsára állítjuk, és $1$ liter vizet töltünk bele. $a)$ Milyen magasan áll benne a víz?  (8 pont) $b)$ Mennyi festékre lenne szükség az edény külső falának befestéséhez, ha $1$ liter festék $8\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ felületre elegendő?  (8 pont)   6. A hagyományos ötöslottón egy szelvénnyel játszva a nyerés (legalább két találat) esélye kb. $2\mathrm{,}33\%$. A nagy nyeremény reményében $100$ véletlenszerűen kitöltött szelvényt küldünk játékba. $a)$ Mekkora valószínűséggel lesz legalább egy nyertes szelvényünk?  (5 pont) $b)$ Mekkora valószínűséggel lesz pontosan három nyertes szelvényünk?  (5 pont) $c)$ Hány szelvényt kellene feladni egy adott héten, hogy legalább $99\%$ valószínűséggel legyen köztük nyertes szelvény?  (6 pont)   7. Egy számunkra megközelíthetetlen hegy tetején álló adótorony magasságát szeretnénk meghatározni. A hegy lábával azonos magasságban elterülő síkságon felvesszük az egymástól $80$ méterre lévő $A$ és $B$ pontokat úgy, hogy a $B$ pontból az $A$ pont és a torony (ebben a sorrendben) egy irányban látszódjanak. Az $A$ pontból a torony alját ${41}^{\circ }30\text{'}$-es, a tetejét ${49}^{\circ }$-os, a $B$ pontból a torony alját ${34}^{\circ }15\text{'}$-es szög alatt látjuk. $a)$ Milyen magas a hegy?  (7 pont) $b)$ Milyen magas a torony?  (5 pont) $c)$ Mekkora szög alatt látszik a $B$ pontból a torony teteje?  (4 pont)   8. Adott a koordináta-rendszerben az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+y^2-4x-2y-20=0}\end{array}$ egyenletű $k_1$ kör. $a)$ Határozzuk meg a $k_1$ körbe írt derékszögű háromszög harmadik csúcsának koordinátáit, ha két ismert csúcsának koordinátái $\left(-2;4\right)$ és $\left(5;5\right)$.  (6 pont) $b)$ Keressünk az $x$ tengelyen olyan pontot, melyből a $k_1$ körhöz és az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-12\right)}^2+y^2=4}\end{array}$ egyenletű $k_2$ körhöz húzott érintők hosszúsága egyenlő.  (10 pont)   9. $a)$ Határozzuk meg az $f\left(x\right)=p{x}^2+2x+q$ függvény grafikonja, valamint az $x=4$ és az $x=6$ egyenesek által közrezárt síkidom területét, ha tudjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-2\text{és}\underset{2}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=54.}\end{array}$ (9 pont) $b)$ Határozzuk meg azon $k$ értékeket, melyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{k}{\int }}f\left(x\right)dx=0.}\end{array}$ (7 pont)