Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Czinki József 
Füzet: 2005/decemberi melléklet, 45 - 46. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. a) A gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazó vonalat Euler-vonalnak, az olyan Euler-vonalat, amelynek a kezdő és a végpontja egybeesik, Euler-körnek nevezzük. Az ábrán látható három gráf közül mely gráfoknak van Euler-vonala, illetve Euler-köre?
 
 

b) Milyen számjegyeket helyettesíthetnek a betűk, ha R=0, különböző betűk különböző számokat jelölnek és az összeadás természetesen helyes eredményt ad?
 
 

2. Egy derékszögű háromszög két csúcsa A(7;1), B(7;7). Hol lehet a háromszög harmadik csúcsa, ha körülírt köre áthalad az origón? Írjuk fel ennek a körnek az egyenletét.
 
3. Az ábrán látható téglalap oldalai a és 1,5a. Mekkora az a sugarú negyedkörlapok által fedetlenül hagyott (az ábrán sötétre színezett) terület nagysága?
 
 

4. Sík terepen A és B megközelíthetetlen tereppontok távolságát kell meghatároznunk. Ezért kitűzünk egy C pontot, ahonnan a keresett távolságot 60-os szög alatt látjuk. A 60-os szög felező egyenesén 50m-t megtéve, az AB szakasztól távolodva a D pontba jutunk. Innen az A pontba mutató irány 20-os szöget, a B pontba mutató irány 10-os szöget zár be az általunk megtett útszakasszal. Mekkora az AB távolság?
 

II. rész
 

5. a) Rendezzük nagyság szerint növekedő sorrendbe azokat a k számokat, amelyekre teljesül, hogy
7k3+9k2+23k+15.
Mennyi az így kapott sorozat első 100 elemének az összege?
b) Legyen a>1. Határozzuk meg a következő kifejezés értékét:
algalg(lga)lgalga.

 
6. Egy dobozban 4 piros és 2 sárga golyó van. Visszatevés nélkül húzunk addig, amíg az első sárga golyót kihúzzuk. A kísérlet kimenetele az ehhez szükséges húzások száma. Ábrázoljuk az így definiált valószínűségi változó eloszlását, illetve számoljuk ki a várható értékét.
 
7. Az 1 dm átmérőjű félkörbe az ábrán látható módon újabb félköröket írunk. Mennyi a második félkör területe és kerülete? Milyen sorozatot határoznak meg a félkörök kerületei és területei? Véges értéket kapunk-e, ha összeadjuk az így keletkeztetett végtelen sok félkör területét? Ha igen, akkor mennyi ez az összeg?
 
 

8. Tekintsük a valós számokon értelmezett következő függvényt:
xx3+4x2+5x.

a) Határozzuk meg a függvény zérushelyeit.
b) Van-e a függvénynek lokális szélsőértéke? Ha van, akkor határozzuk meg.
c) Jellemezzük a függvényt növekedés és fogyás szempontjából.
d) Van-e a függvénynek inflexiós pontja? Ha van, akkor határozzuk meg.
e) Írjuk fel a függvény érintőjének egyenletét a 0 abszcisszájú pontjában.
 
9. A táblázat nyolc ország adatait tartalmazza.
a) Állítsuk növekvő sorrendbe az egyes országokat népsűrűség szerint.
b) Melyik országban a legnagyobb a valószínűsége annak, hogy egy állampolgár fővárosi?
c) Hányféleképpen tudunk kiválasztani az itt felsorolt országok közül négyet úgy, hogy pontosan két európai és pontosan két ázsiai legyen köztük?
d) Tekintsük ezen országok lakosságának számát egy számsokaság elemeinek. Mennyi ennek a számsokaságnak a terjedelme és az átlaga?