Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Czinki József
Füzet:	2005/decemberi melléklet, 45 - 46. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. $a)$ A gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazó vonalat Euler-vonalnak, az olyan Euler-vonalat, amelynek a kezdő és a végpontja egybeesik, Euler-körnek nevezzük. Az ábrán látható három gráf közül mely gráfoknak van Euler-vonala, illetve Euler-köre?     $b)$ Milyen számjegyeket helyettesíthetnek a betűk, ha $\text{R}=0$, különböző betűk különböző számokat jelölnek és az összeadás természetesen helyes eredményt ad?     2. Egy derékszögű háromszög két csúcsa $A\left(7;1\right)$, $B\left(7;7\right)$. Hol lehet a háromszög harmadik csúcsa, ha körülírt köre áthalad az origón? Írjuk fel ennek a körnek az egyenletét.   3. Az ábrán látható téglalap oldalai $a$ és $1\mathrm{,}5a$. Mekkora az $a$ sugarú negyedkörlapok által fedetlenül hagyott (az ábrán sötétre színezett) terület nagysága?     4. Sík terepen $A$ és $B$ megközelíthetetlen tereppontok távolságát kell meghatároznunk. Ezért kitűzünk egy $C$ pontot, ahonnan a keresett távolságot ${60}^{\circ }$-os szög alatt látjuk. A ${60}^{\circ }$-os szög felező egyenesén $50\text{m}$-t megtéve, az $AB$ szakasztól távolodva a $D$ pontba jutunk. Innen az $A$ pontba mutató irány ${20}^{\circ }$-os szöget, a $B$ pontba mutató irány ${10}^{\circ }$-os szöget zár be az általunk megtett útszakasszal. Mekkora az $AB$ távolság?   II. rész   5. $a)$ Rendezzük nagyság szerint növekedő sorrendbe azokat a $k$ számokat, amelyekre teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 7\mid k^3+9k^2+23k+15.}\end{array}$ Mennyi az így kapott sorozat első $100$ elemének az összege? $b)$ Legyen $a>1$. Határozzuk meg a következő kifejezés értékét: $\begin{array}{c}{\displaystyle a^{\frac{\text{lg}{a}^{\frac{\text{lg}\left(\text{lg}a\right)}{\text{lg}a}}}{\text{lg}a}}\mathrm{.}}\end{array}$   6. Egy dobozban 4 piros és 2 sárga golyó van. Visszatevés nélkül húzunk addig, amíg az első sárga golyót kihúzzuk. A kísérlet kimenetele az ehhez szükséges húzások száma. Ábrázoljuk az így definiált valószínűségi változó eloszlását, illetve számoljuk ki a várható értékét.   7. Az 1 dm átmérőjű félkörbe az ábrán látható módon újabb félköröket írunk. Mennyi a második félkör területe és kerülete? Milyen sorozatot határoznak meg a félkörök kerületei és területei? Véges értéket kapunk-e, ha összeadjuk az így keletkeztetett végtelen sok félkör területét? Ha igen, akkor mennyi ez az összeg?     8. Tekintsük a valós számokon értelmezett következő függvényt: $\begin{array}{c}{\displaystyle x\mapsto x^3+4x^2+5x\mathrm{.}}\end{array}$ $a)$ Határozzuk meg a függvény zérushelyeit. $b)$ Van-e a függvénynek lokális szélsőértéke? Ha van, akkor határozzuk meg. $c)$ Jellemezzük a függvényt növekedés és fogyás szempontjából. $d)$ Van-e a függvénynek inflexiós pontja? Ha van, akkor határozzuk meg. $e)$ Írjuk fel a függvény érintőjének egyenletét a 0 abszcisszájú pontjában.   9. A táblázat nyolc ország adatait tartalmazza. $a)$ Állítsuk növekvő sorrendbe az egyes országokat népsűrűség szerint. $b)$ Melyik országban a legnagyobb a valószínűsége annak, hogy egy állampolgár fővárosi? $c)$ Hányféleképpen tudunk kiválasztani az itt felsorolt országok közül négyet úgy, hogy pontosan két európai és pontosan két ázsiai legyen köztük? $d)$ Tekintsük ezen országok lakosságának számát egy számsokaság elemeinek. Mennyi ennek a számsokaságnak a terjedelme és az átlaga?