Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2005/novemberi melléklet, 33 - 34. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelyre illeszkedik az (5;5) pont, továbbá az (x+2)2+(y-4)2=10 egyenletű kört az (1;3) pontban érinti.  (11 pont)
 
2. A Sajó sóder nevű cukorkát ötvenesével csomagolják. A minőségellenőrzéskor megállapították, hogy csak 0,9 valószínűséggel találunk pontosan 50 darabot a csomagokban.
a) Mekkora az esélye annak, hogy hat csomag cukorkát vásárolva mindegyik csomagban 50 darab cukorka lesz?
b) Mekkora az esélye, hogy a hat csomag között legalább két olyan csomag van, amelyben nem 50 darab cukorkát találunk?  (12 pont)
 
3. Határozzuk meg az AB halmazt, ha A={xR3(ctgx-tgx)=23}, B={xR|x|2}.  (14 pont)
 
4. Három különböző körkúpról tudjuk, hogy mind az alapkörük sugara, mind a kúpok magassága egy-egy azonos differenciájú számtani sorozat három egymást követő eleme. Mutassuk meg, hogy a kúpok térfogata nem lehet egy számtani sorozat három egymást követő eleme.  (14 pont)
 

II. rész
 

5. Egy derékszögű háromszög rövidebb befogója 150 egység, egyik hegyesszöge 15. A háromszög egy belső P pontját kössük össze az átfogó két végpontjával. Ezek a szakaszok és a két befogó olyan konkáv négyszög oldalai, melynek hegyesszögei 12 és 72.
a) Az átfogó melyik végpontjához van közelebb a P pont?
b) Milyen távol van a hosszabbik befogótól a P pont?
c) Mekkora a szóban forgó konkáv négyszög területe?  (16 pont)
 
6. Tekintsük az y=(p-1)x2+2px+4 egyenletű parabolákat, ahol p  1-től különböző tetszőleges valós szám.
a) Van-e a p paraméternek olyan értéke, amelyre a parabolának nincs közös pontja az x tengellyel?
b) Határozzuk meg azokat a pontokat, amelyek a fenti parabolasereg valamennyi elemére illeszkednek.
c) Határozzuk meg a p paraméter értékét úgy, hogy a (p-1)x2+2px+4=0 egyenlet gyökeinek négyzetösszege 5 legyen.  (16 pont)
 
7. Melyek azok az a, b egész számok, amelyekre lg(3a+2b)=lga+lgb?  (16 pont)
 
8. Az f(x)=x hozzárendeléssel megadott, a [0;a] intervallumon értelmezett függvény görbéjét megforgatjuk az x tengely körül.
a) Határozzuk meg azt a legnagyobb a egész számot, amelyre a keletkezett forgástest térfogata nem haladja meg az 1000 térfogategységet.
b) Írjuk fel az érintő egyenletét az f grafikonjának 4 abszcisszájú pontjában.  (16 pont)
 
9. Határozzuk meg azt a hegyesszöget, amelyre a 4cos2x+1cos2x összeg minimális. Mennyi ez a legkisebb érték?  (16 pont)