Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2005/novemberi melléklet, 33 - 34. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelyre illeszkedik az $\left(5;5\right)$ pont, továbbá az ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=10$ egyenletű kört az $\left(1;3\right)$ pontban érinti.  (11 pont)   2. A Sajó sóder nevű cukorkát ötvenesével csomagolják. A minőségellenőrzéskor megállapították, hogy csak 0,9 valószínűséggel találunk pontosan 50 darabot a csomagokban. $a)$ Mekkora az esélye annak, hogy hat csomag cukorkát vásárolva mindegyik csomagban 50 darab cukorka lesz? $b)$ Mekkora az esélye, hogy a hat csomag között legalább két olyan csomag van, amelyben nem 50 darab cukorkát találunk?  (12 pont)   3. Határozzuk meg az $A\cap B$ halmazt, ha $A=\left\{x\in \text{R}\mid 3\left(\text{ctg}x-\text{tg}x\right)=2\sqrt[]{3}\right\}$, $B=\left\{x\in \text{R}\mid |x|\le 2\right\}$.  (14 pont)   4. Három különböző körkúpról tudjuk, hogy mind az alapkörük sugara, mind a kúpok magassága egy-egy azonos differenciájú számtani sorozat három egymást követő eleme. Mutassuk meg, hogy a kúpok térfogata nem lehet egy számtani sorozat három egymást követő eleme.  (14 pont)   II. rész   5. Egy derékszögű háromszög rövidebb befogója 150 egység, egyik hegyesszöge ${15}^{\circ }$. A háromszög egy belső $P$ pontját kössük össze az átfogó két végpontjával. Ezek a szakaszok és a két befogó olyan konkáv négyszög oldalai, melynek hegyesszögei ${12}^{\circ }$ és ${72}^{\circ }$. $a)$ Az átfogó melyik végpontjához van közelebb a $P$ pont? $b)$ Milyen távol van a hosszabbik befogótól a $P$ pont? $c)$ Mekkora a szóban forgó konkáv négyszög területe?  (16 pont)   6. Tekintsük az $y=\left(p-1\right)x^2+2px+4$ egyenletű parabolákat, ahol $p$  1-től különböző tetszőleges valós szám. $a)$ Van-e a $p$ paraméternek olyan értéke, amelyre a parabolának nincs közös pontja az $x$ tengellyel? $b)$ Határozzuk meg azokat a pontokat, amelyek a fenti parabolasereg valamennyi elemére illeszkednek. $c)$ Határozzuk meg a $p$ paraméter értékét úgy, hogy a $\left(p-1\right)x^2+2px+4=0$ egyenlet gyökeinek négyzetösszege 5 legyen.  (16 pont)   7. Melyek azok az $a$, $b$ egész számok, amelyekre $\text{lg}\left(3a+2b\right)=\text{lg}a+\text{lg}b$?  (16 pont)   8. Az $f\left(x\right)=\sqrt[]{x}$ hozzárendeléssel megadott, a $\left[0;a\right]$ intervallumon értelmezett függvény görbéjét megforgatjuk az $x$ tengely körül. $a)$ Határozzuk meg azt a legnagyobb $a$ egész számot, amelyre a keletkezett forgástest térfogata nem haladja meg az 1000 térfogategységet. $b)$ Írjuk fel az érintő egyenletét az $f$ grafikonjának $4$ abszcisszájú pontjában.  (16 pont)   9. Határozzuk meg azt a hegyesszöget, amelyre a $4\text{cos}{}^{2}x+\frac{1}{\text{cos}{}^{2}x}$ összeg minimális. Mennyi ez a legkisebb érték?  (16 pont)