Cím: Megoldásvázlatok a 2005/6. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Czinki József 
Füzet: 2005/októberi melléklet, 26 - 31. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. 50 liter 80%-os töménységű etilalkoholt tartalmazó edényből valamennyit kivettünk, majd a hiányt vízzel pótoltuk. Ezután a keverékből 3 literrel kevesebbet vettünk ki, mint előzőleg, és ezt a hiányt is vízzel pótoltuk. Jelenleg az edényben az etilalkohol és a víz mennyisége azonos. Hány liter folyadékot vettünk ki először?
 
Megoldás. Az alkohol eredeti mennyisége az edényben: 500,8=40 liter. Az x liter kivétele után 40-x0,8 liter alkohol marad az edényben. Az oldat 40-x0,850100 százalékos töménységű lesz, ha a hiányt vízzel pótoljuk.
A következő alkalommal (x-3)40-x0,850 liter alkoholt veszünk ki. Felírható a következő egyenlet:
40-x0,8-(x-3)40-x0,850=25.

Rendezzük és megoldjuk a másodfokú egyenletet, a feladatnak csak az egyik gyök lesz megoldása: x11,94 liter.
 
2. Fejezzük ki az x értékét az a segítségével, ha tudjuk, hogy az a sugarú körív felezi az a oldalú négyzet területét.
 
 

Megoldás. A satírozott körszelet területe T (1. ábra), ekkor:
ax+T=a22.

 

 
1. ábra
 

A 2. ábrán látható, hogy a körszelethez tartozó középponti szög 60-os. Ebből adódóan:
T=a2π6-a234.
Ezt behelyettesítve a következő egyenletet kapjuk:
ax+a2π6-a234=a22.
Vagyis: x=a(12+34-π6)0,41a.
 

 
2. ábra
 

3. Szabadon engedtünk 41 méhet egy téglatest alakú helyiségben melynek élhosszúságai: 5 m, 4 m, 2 m. Bizonyítsuk be, hogy bármely időpillanatban létezik 2 olyan méhecske, melyek távolsága 1,8 m-nél kisebb.
 
Megoldás. A helyiség térfogata 40m3. Osszuk fel a helyiséget 40 db 1m3 térfogatú kockára, és tekintsük a méhecskéket pontszerűnek. Minden méhecske tartozzon ahhoz a kockához, amelyikben tartózkodik. (A határfelületen tartózkodó méhecskéket is soroljuk hozzá valamely olyan kockához, melynek a határfelületén tartózkodnak.) A skatulya-elv értelmében lesz legalább egy olyan kocka, amelyhez két méhecske tartozik. E két méhecske távolsága kisebb, mint 1,8 m, hiszen az 1 m élhosszúságú kocka testátlója 31,732 m hosszú.
 
4. a) Valaki autóvásárlásra 10000 euró kölcsönt vett fel 10 év futamidőre, évi 8% kamatra, évenkénti törlesztéssel. Mennyit kell évente visszafizetnie? (A törlesztő részlet minden évben azonos.)
b) Legalább hány évre kell felvennie a kölcsönt, ha legfeljebb évi 2200 eurót szeretne visszafizetni?
 
Megoldás. a) Minden egyes x évi részlet visszafizetésével az x részlet hátralévő kamatainak megfizetésétől is mentesül. Ennek alapján felírható:
100001,0810-x1,089-x1,088-x1,087-...-x1,082-x1,08-x=0.
Ezt átírhatjuk a következő alakba a mértani sorozat összegképlete alapján:
100001,0810-x1,0810-11,08-1=0.
Ezt megoldva: x1490,3 euró.
b) Az előző feladatrészhez hasonló megfontolással felírható:
100001,08n-2200(1,08n-11,08-1)=0.
Ennek megoldása: n5,87.
Tehát legalább 6 évre kellene felvennie a kölcsönt.
 

II. rész
 

5. a) Oldjuk meg a sin2x+1=3(sinx+cosx)-2 egyenletet.
b) Milyen n természetes számra lesz a 35n+n2+4n+4 kifejezés osztható 100-zal?
 
Megoldás. a) Alkalmazva a megfelelő összefüggéseket, a feladat egy másodfokú egyenletre vezet:
2sinxcosx+sin2x+cos2x=3(sinx+cosx)-2,(sinx+cosx)2-3(sinx+cosx)+2=0.


Ennek megoldásai: (sinx+cosx)1=2 és (sinx+cosx)2=1.
A sinx+cosx=2 nem vezet megoldásra.
A sinx+cosx=1 esetén x1=2kπ, kZ és x2=π2+2lπ, lZ adódik.
b) A 35n+n2+4n+4 kifejezés n=0 és n=1 esetén nem osztható 100-zal. Az 5n kifejezésről n2 esetén könnyen belátható, hogy 25-re végződik. Ebből adódóan a 35n két utolsó számjegye 75. A 100-zal való oszthatóság feltétele, hogy n2+4n+4=(n+2)2 25-re végződjön. Könnyű belátni, hogy egy természetes szám négyzete akkor és csak akkor végződik 25-re, ha a természetes szám utolsó számjegye 5. Tehát n=3+k10 ahol k nemnegatív egész szám.
 
6. Adottak a következő függvények:
f:x[-5;10[,x|||x-2|-2|-2|,g:x]-1;4],x-x2+4x+2.

a) Ábrázoljuk közös koordináta rendszerben az f és a g függvényeket.
b) Milyen x értékekre igaz, hogy f(x)>g(x)?
c) Számítsuk ki a két függvénygörbe által bezárt síkidom területét.
 
Megoldás. a)
 
 

b) x]-1;0[.
c) A kérdéses síkidomot két részre vágjuk. Az egyik egy háromszög, ennek a területe könnyen meghatározható, a másik rész területét integrálással számítjuk ki.
T=422+-22(-x2+4)dx=4+[-x33+4x]-22=4+323=443.

 
7. Térképésztanulók 3 dimenziós koordináta-rendszerbe foglalták egy felülnézetből 1000 m-szer 1000 m-es nagyságú, négyzet alakú terepszakasz adatait. Az origó a terület délnyugati sarokpontja, melynek tengerszintfeletti magassága 320 m. A tereppontok koordinátái méterben értendők. Az első koordináta (x) a keleti, a második (y) pedig az északi irányban vett kiterjedést jelöli. A függőleges kiterjedéseket a koordinátahármasok harmadik tagja (z) jelöli. (z lehet negatív is.)
a) Milyen emelkedési szögben látszik az A(31;40;110) magaslatról a B(221;52;340) magaslat?
b) Mi az A és a B magaslatokat összekötő egyenes x és y tengelyek által meghatározott síkra vonatkozó merőleges vetületének egyenlete az x, y koordinátarendszerben?
c) Mekkora a tengerszint feletti magassága annak a sziklának, melynek C csúcsa a D(400;400;30), E(500;500;30), F(500;400;30) pontokkal együtt 100000m3 térfogatú gúlát határoz meg?
 
Megoldás. a) Az AB szakasz egy olyan derékszögű háromszög átfogója, melynek egyik (függőleges) befogója 340-110=230 m hosszú, másik befogójának hossza az A és a B pont x és y tengelyekkel kijelölt síkra vonatkozó merőleges vetületeinek távolsága:
(221-31)2+(52-40)2190,379m.  
Az emelkedési szögre: tgα=230190,379, ebből α50,38 adódik.
b) Az x, y rendszerben az A'(31;40) és a B'(221;52) pontokon áthaladó egyenes egyenletét kell felírni. Egyik irányvektora: v(190;12), normálvektora: n(-12;190). A kérdéses egyenes egyenlete: -12x+190y=7228.
c) A z koordináták egyenlők, azért a D, E, F pontok egy az x és y tengelyekkel kijelölt síkkal párhuzamos helyzetű háromszöget határoznak meg. A koordináták alapján a DEF háromszög egy 100 m hosszú befogókkal rendelkező egyenlő szárú derékszögű háromszög, melynek területe:
T=1001002=5000m2.  
A gúla térfogata: V=Tm3, azért
100000=5000m3.
Innen m=60 m, a C pont tengerszint feletti magassága kétféle lehet: 320+30+60=410 m vagy 320+30-60=290 m.
 
8. Egy nagyvárosban 21 szolgáltatóház működik. Ezek közül tizenháromban vállalnak kulcsmásolást, tizenegyben képkeretezést, és nyolc szolgáltatóház vállal cipőjavítást. Az összes szolgáltatóház nyújtja valamelyiket az előző három szolgáltatás közül. Négy olyan szolgáltatóház van, ahol nem vállalnak képkeretezést, és cipőt sem javítanak. Három szolgáltatóház a kérdéses három szolgáltatás közül csak cipőjavítást nem vállal. Csak egy olyan szolgáltatóház van, amely cipőt javít, de a másik két szolgáltatást nem nyújtja.
a) Mutassuk meg, hogy nincs két olyan szolgáltatóház, amely mindhárom említett szolgáltatást nyújtja.
b) Hány olyan szolgáltatóház van, amely csak képet keretez a kérdéses három szolgáltatás közül?
c) Úgy értesültünk, hogy a következő héten valamelyik szolgáltatóház a kérdéses három szolgáltatás közül egy újat emel a profiljába. Mi a valószínűsége annak, hogy ezzel lesz két olyan szolgáltatóház, amely mindhárom említett szolgáltatást nyújtja?
 
Megoldás. Készítsük el a mellékelt diagramot, és gondolatban minden szolgáltatóházat helyezzünk el a megfelelő helyen. Az a, b, c, d, e, f, g betűk a tartományok által szemléltetett halmazok elemszámát jelentik.
a) A szövegből látható, hogy a=4, b=3, g=1. Felírható:
a+b+c+d+e+f+g=21,a+b+d+e=13,b+c+e+f=11,d+e+f+g=8.
Az egyenletrendszert megoldva: e=1, ezzel igazoltuk az állítást.
 
 

b) Az előző egyenletrendszerből: c=6.
c) Összesen 20 szolgáltatóház tud a feltételek mellett profilt bővíteni, ez az elemi események száma. A kedvező események száma: b+d+f=3+5+1=9 (d és f értéke szintén az a) részben felírt egyenletrendszerből származik). A kérdéses valószínűség: P=920.
 
9. Egy sportiskola 12 fős csoportjának néhány adatát tartalmazza a következő táblázat:
 
Sorszám aTestmagasságLábméretEgyéni csúcsEgyéni csúcs  naplóban(cm)távolugrásbantávolugrásban2004-ben (cm)2005-ben (cm)1.169404014292.180424324253.159403704054.191455205315.181434624616.176444484827.174434304228.170424194269.1734435938010.1884460258111.2014747312.16940388388
 

a) Számítsuk ki, hány százalékkal változtak a diákok egyéni csúcsai távolugrásban 2004-ről 2005-re? Állítsuk sorba a diákok naplóbeli sorszámát e változás növekvő sorrendje alapján.
b) Ábrázoljuk a lábméretek gyakoriságát, illetve relatív gyakoriságát a megfelelő diagramokon.
c) Hányféleképpen választható ki három diák úgy, hogy van köztük az átlagnál alacsonyabb is és magasabb is?
 
Megoldás.
a) A növekedés mértékére kapott adatokat az 1. táblázat tartalmazza. A naplóbeli sorszámok sorrendjét a növekedés mértékének növekvő sorrendje alapján a második táblázat mutatja. A 11. sorszámú diák esetén hiányzó adat miatt nem tudunk számolni.
 
SorszámA növekedésmértéke1.-6,98%2.-1,62%3.-9,46%4.-2,12%5.-0,22%6.-7,59%7.-1,86%8.-1,67%9.-5,85%10.-3,49%11.12.-0,00%

 
1. táblázat
 

A növekedésSorszámmértéke-3,49%10.-1,86%7.-1,62%2.-0,22%5.-0,00%12.-1,67%8.-2,12%4.-5,85%9.-6,98%1.-7,59%6.-9,46%3.
 

2. táblázat
 

b) A táblázat mutatja a gyakoriságok és a relatív gyakoriságok értékeit.
 
Méret4041424344454647Gyakoriság30223101Relatív gyakoriság25%0%16,67%16,67%25%8,33%0%8,33%
 

 

c) Az átlagmagasság értéke:
K=169+180+159+191+181+176+174+170+173+188+201+16912177,58.
7 fő ennél alacsonyabb és 5 fő ennél magasabb.
Összesen
(123)=12!9!3!=220
eredménye lehet a sorsolásnak. Ezek közül (73)=7!4!3!=35 esetben csupa az átlagmagasságnál alacsonyabb, (53)=5!2!3!=10 esetben csupa az átlagmagasságnál magasabb diák választódik ki. 220-35-10=175 esetben lesz a három kisorsolt diák közt az átlagnál alacsonyabb és az átlagnál magasabb diák is.