Cím: Megoldásvázlatok a 2005/9. sz.emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Czinki József 
Füzet: 2006/január, 18 - 22. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. a) A gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazó vonalat Euler-vonalnak, az olyan Euler-vonalat, amelynek a kezdő és a végpontja egybeesik, Euler-körnek nevezzük. Az ábrán látható három gráf közül mely gráfoknak van Euler-vonala, illetve Euler-köre?
 
 

b) Milyen számjegyeket helyettesíthetnek a betűk, ha R=0, különböző betűk különböző számokat jelölnek és az összeadás természetesen helyes eredményt ad?
OROL  +AMOARRA  

 
Megoldás. a) Euler-vonala a B és C gráfoknak, Euler-köre csak a B gráfnak van.
b) Ha R=0, akkor a második oszlopot vizsgálva, vagy R+A=R és A=0, de ez nem lehet, mert különböző betűk különböző számokat jelölnek, vagy R+A+1=R+10, ami azt jelenti, hogy A=9. Ekkor viszont az első oszlopot nézve O+1=9, tehát O=8. Ebből adódóan az utolsó oszlopban L+8=9 (más eset nincs), tehát L=1. Végül könnyen látható, hogy M=2. Vagyis:
8081  +9289009  

 
2. Egy derékszögű háromszög két csúcsa A(7;1), B(7;7). Hol lehet a háromszög harmadik csúcsa, ha körülírt köre áthalad az origón? Írjuk fel ennek a körnek az egyenletét.
 
Megoldás. Az AB szakasz felező merőlegesének egyenlete: y=4.
 
 

Az OA szakasz felező merőlegesének egyenlete: 7x+y=25.
Metszéspontjuk, vagyis a köré írt kör középpontja: P(3;4).
A P pont nem illeszkedik az AB szakaszra, az tehát nem átmérő.
A C pontok az A-nak és a B-nek a P-re vonatkozó tükörképei: C1(-1;7), C2(-1;1).
A kör sugara OP=5, a kör egyenlete: (x-3)2+(y-4)2=25.
 
3. Az ábrán látható téglalap oldalai a és 1,5a. Mekkora az a sugarú negyedkörlapok által fedetlenül hagyott (az ábrán sötétre színezett) terület nagysága?
 
 

 
Megoldás. Tudjuk, hogy AD=a, és AB=1,5a, tehát AT=0,75a, AM=a. Az MAT háromszögből a koszinusz szögfüggvény segítségével MAT41,4. Ebből adódóan MAD48,6. Az MAT háromszögből a Pitagorasz-tétel segítségével: MT0,6614a.
TDMC=TABCD-TAMB-2TAMD.TABCD=1,5a2,TAMB=ABMT20,4961a2,2TAMD=248,6360a2π0,8482a2,TDMC0,1557a2.

 
 

4. Sík terepen A és B megközelíthetetlen tereppontok távolságát kell meghatároznunk. Ezért kitűzünk egy C pontot, ahonnan a keresett távolságot 60-os szög alatt látjuk. A 60-os szög felező egyenesén 50m-t megtéve, az AB szakasztól távolodva a D pontba jutunk. Innen az A pontba mutató irány 20-os szöget, a B pontba mutató irány 10-os szöget alkot az általunk megtett útszakasszal. Mekkora az AB távolság?
 
Megoldás. Az ACD=BCD=150, mivel kiegészítő szögeik 30-osak. Ebből adódóan CAD=10 és CBD=20.
Az ACD háromszögben szinusztétellel: AD143,97 m.
A BCD háromszögben szinusztétellel: BD73,10 m.
Az ABD háromszögben koszinusztétellel: AB88,56 m.
 

II. rész
 

5. a) Rendezzük nagyság szerint növekedő sorrendbe azokat a k számokat, amelyekre teljesül, hogy
7k3+9k2+23k+15.
Mennyi az így kapott sorozat első 100 elemének az összege?
b) Legyen a>1. Határozzuk meg a következő kifejezés értékét: algalg(lga)lgalga.
 
Megoldás. a) A k3+9k2+23k+15 polinomot megvizsgálva látható, hogy k=-1 gyöke. A k+1 polinommal elosztva a k2+8k+15 polinom adódik, amely felírható (k+3)(k+5) alakban. A k3+9k2+23k+15 polinom tehát átírható (k+1)(k+3)(k+5) alakúra.
Ha az eredeti kifejezés osztható 7-tel, akkor
k+1=7, 14, 21, 28,  ...  vagyis  k=6, 13, 20, 27,  ...  vagyk+3=7, 14, 21, 28,  ...  vagyis  k=4, 11, 18, 25,  ...  vagyk+5=7, 14, 21, 28,  ...  vagyis  k=2, 9, 16, 23,  ... .  

A keresett összeg a számtani sorozat összegképlete alapján határozható meg:
26+327233+24+327233+22+337234=3894+3828+3995=11717.

b) Vizsgáljuk meg először alg(lga)lga kifejezés értékét a>1 esetén: alg(lga)lga=x.
Vehetjük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát, hiszen egy pozitív valós szám hatványa csak pozitív lehet: lgalg(lga)lga=lgx, lg(lga)lgalga=lgx, lg(lga)=lgx, a logaritmus függvény kölcsönösen egyértelmű: lga=x.
Most meg kell határozni az algxlga értékét. Behelyettesítve x értékét: alg(lga)lga adódik, amiről már tudjuk, hogy lga.
 
6. Egy dobozban 4 piros és 2 sárga golyó van. Visszatevés nélkül húzunk addig, amíg az első sárga golyót kihúzzuk. A kísérlet kimenetele az ehhez szükséges húzások száma. Ábrázoljuk az így definiált valószínűségi változó eloszlását, illetve számoljuk ki a várható értékét.
 
Megoldás. Jelölje az első sárga húzás sorszámát x, ennek valószínűségét pedig P(x).
P(1)=26=515,P(2)=4625=415,P(3)=463524=315,P(4)=46352423=215,P(5)=46352413=115.
A várható érték:
E(x)=1515+2415+3315+4215+5115=3515=73.

 
 

7. Az 1 dm átmérőjű félkörbe az ábrán látható módon újabb félköröket írunk. Mennyi a második félkör területe és kerülete? Milyen sorozatot határoznak meg a félkörök kerületei és területei? Véges értéket kapunk-e, ha összeadjuk az így keletkeztetett végtelen sok félkör területét? Ha igen, akkor mennyi ez az összeg?
 
 

Megoldás. Legyen OB=OD=r0 és TD=TO=r1. A további beírt félkörök sugarának jelölése: r2,r3,r4,... legyen. TDO háromszögből Pitagorasz tételével r1=r022, hasonlóan az i-edik félkörre ri=ri-122.
 
 

A második félkör kerülete: K1=2r1+r1π=22+24π.
A második félkör területe:
T1=r12π2=(24)2π12=π16.
A kerületek mértani sorozatot alkotnak, ahol q=22 (Ki=22Ki-1 könnyen belátható). A területek mértani sorozatot alkotnak, ahol q=12 (Ti=12Ti-1, ez könnyen belátható). A területek sorozatából képzett mértani sor konvergens, hiszen q=0,5, tehát véges a területek összege.
S=T01-q=π81-12=π82=π4.

 
8. Tekintsük a valós számokon értelmezett következő függvényt:
xx3+4x2+5x.

a) Határozzuk meg a függvény zérushelyeit.
b) Van-e a függvénynek lokális szélsőértéke? Ha van, akkor határozzuk meg.
c) Jellemezzük a függvényt növekedés és fogyás szempontjából.
d) Van-e a függvénynek inflexiós pontja? Ha van, akkor határozzuk meg.
e) Írjuk fel a függvény érintőjének egyenletét a 0 abszcisszájú pontjában.
 
Megoldás. a) A függvény zérushelyeit az x3+4x2+5x=0 egyenlet megoldása adja. Szorzattá alakítva a bal oldalt az x(x2+4x+5) alakot kapjuk. A zérushelyre csak az x=0 adódik.
b)c) A függvény deriváltja: f'=3x2+8x+5, ennek zérushelyei x1=-106 és x2=-1.
 
x<-106x=-106-106<x<-1x=-1-1<xfmaximumcsökkenminimumf'+0-0+
 

 

A táblázatból látható, hogy M1(-106;-5027) lokális maximum, az M2(-1;-2) lokális minimum.
d) A függvény második deriváltja f''=6x+8, ennek zérushelye x=-43.
 
x<-43x=-43-43<xfkonkávInflexiós pontkonvexf''-0+
 

e) Mivel x=0 zérushely, ezért a függvény képe az origón, tehát a P0(0;0) ponton halad át. Az érintő iránytangensét f'(0)=5 adja. Az érintő egyenlete: y=5x.
 
9. A táblázat nyolc ország adatait tartalmazza.
a) Állítsuk növekvő sorrendbe az egyes országokat népsűrűség szerint.
b) Melyik országban a legnagyobb a valószínűsége annak, hogy egy állampolgár fővárosi?
c) Hányféleképpen tudunk kiválasztani az itt felsorolt országok közül négyet úgy, hogy pontosan két európai és pontosan két ázsiai legyen köztük?
d) Tekintsük ezen országok lakosságát egy számsokaság elemeinek. Mennyi ennek a számsokaságnak a terjedelme és az átlaga?
OrszágTerület (km2)Lakosok száma (fő)FővárosFővároslakossága (fő)Ausztrália7 682 30017 483 000Canberra197 000Banglades147 570111 400 000Dhaka3 683 000Hollandia33 93915 298 000Amszterdam720 000India3 287 263846 303 000Új Delhi273 000Kína9 608 3781 198 340 000Peking7 000 000Magyarország93 03610 310 000Budapest1 992 000Málta316362 000Valletta9210Mongólia1 565 5002 250 000Ulánbátor619 000

 
Megoldás. a) Az országok sorrendje népsűrűség (fő/km2) szerint Mongólia (1,44); Ausztrália (2,276); Magyarország (110,82); Kína (124,72); India (257,45); Hollandia (450,75); Banglades (754,896); Málta (1145,57).
b) Mongólia (27,51%).
c) (32)(42)=18-féleképpen.
d) Terjedelem: 1198340000-362000=1197978000. Az átlag: 275 218 250.