Cím: Súlyozott számtani közepekről
Szerző(k):  Dux Erik 
Füzet: 1956/április, 97 - 101. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1956/május: 764. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

E lap olvasói a számtani és mértani közép fogalmával már a kötelező iskolai anyag keretein belül megismerkedtek, és e lap hasábjain volt más közepekről is szó (Aczél-Surányi: ,,Egyenlőtlenségek'' III. évf. 1‐2‐3‐4. szám). Idézett cikkben előfordult már a súlyozott számtani közép fogalma is.
A következő törtet nevezzük az a és b pozitív számok, m és n pozitív súlyokkal súlyozott, számtani közepének:

ma+nbm+n.(1)
E fogalom magában foglalja a közönséges számtani közép fogalmát m=n esetén. Ha a=b, úgy a súlyozott számtani közép ezt a közös értéket veszi fel: ma+nbm+n=a. Ha a különbözik b-től, legyen pl. a<b, úgy a súlyozott számtani közép e két érték közé esik.
a<ma+nbm+n<b.(2)
A (2)-ben szereplő első egyenlőtlenség pl. úgy látható be, hogy az (1) tört számlálójában b helyébe a nála kisebb a-t helyettesítjük. Ezzel az eljárással csökkentettük a tört értékét és eredményül a-t kaptunk. Hasonlóan bizonyítható az egyenlőtlenség második fele is. A (2)-es egyenlőtlenség egy alkalmazásaként vizsgáljuk azt a közepet, amelyet a ,,rossz diák'' kap gyakran eredményül, amikor két törtet kellene összeadnia. Mindenki találkozott már olyan diákkal, aki úgy adott össze két törtet, hogy külön a számlálókat, külön a nevezőket összeadta, vagyis a pq és rs törtekből (aholpqrs) összegük helyett a p+rq+s törtet alkotta. Az ilyen összeadás helytelenségét nem kell a cikk olvasói előtt bizonygatni, hiszen könnyen belátható, hogy a p+rq+s tört kisebb, mint a két összeadandó közül a nagyobbik, pontosabban, hogy teljesül a következő egyenlőtlenség:
pqp+rq+srs.(2')
A (2') egyenlőtlenség nyilvánvaló következménye a (2) egyenlőtlenségnek, amit könnyen ellenőrizhetünk, ha a (2)-ben a helyébe pq-t, b helyébe rs-et, az m helyébe q-t és n helyébe s-et helyettesítünk.
Ugyancsak a (2), illetve a (2') egyenlőtlenség következménye a következő egyszerű tétel. Ha egy pozitív valódi tört számlálójához és nevezőjéhez ugyanazt a pozitív számot hozzáadjuk, úgy az adott valódi törtnél nagyobb valódi törtet kapunk, míg, ha egy áltört számlálójához és nevezőjéhez adjuk hozzá ugyanazt a pozitív számot, úgy az adott áltörtnél kisebb áltörtet kapunk.
pq<p+aq+a<1,ha0<pq<1,
és
PQ>P+BQ+B>1,haPQ>1.
Az első esetben a pq és az aa=1 törtekből, a második esetben a PQ és a BB=1 törtekből képeztünk a (2')-ben adott módon közepet, ami egyben állításunk bizonyítását jelenti.
Hasonlítsuk most össze az a és b egymástól különböző pozitív számokból különböző súlypárokkal képezett súlyozott számtani közepeket.
Legyen 0<a<b, és az m, n és M, N súlyok ugyancsak legyenek pozitívok. Megmutatjuk, hogy az e két súlypárral képezett közép között akkor és csak akkor teljesül
ma+nbm+n<Ma+NbM+N(3)
egyenlőtlenség, ha
mn>MN.(4)
Osszuk a (3) egyenlőtlenségben szereplő első törtben a számlálót és nevezőt n-nel, a másodikban N-nel. Ekkor a bizonyítandó egyenlőtlenség így alakul
mna+bmn+1<MNa+bMN+1.(3')
(2)-ből (azt az MN, 1 súlyokra alkalmazva) következik, hogy a<MNa+bMN+1. Tehát minden olyan x számra, amelyet úgy kapunk, hogy a-nak és MNa+bMN+1-nek tetszőleges pozitív súlyokkal súlyozott számtani közepét képezzük, igaz (2) alapján az x<MNa+bMN+1 egyenlőtlenség.
Az a súlyának válasszuk az mn-MN különbséget, amely a (4) feltevés következtében pozitív, míg MNa+bMN+1-et saját nevezőjével, (MN+1)-gyel súlyozzuk:
x=(mn-MN)a+(MN+1)MNa+bMN+1(mn-MN)+(MN+1)=mna+bmn+1.
Az előbbi megjegyzésünk szerint azonban
x=mna+bmn+1<MNa+bMN+1,
ami a (3') egyenlőtlenség, és avval együtt a (3) egyenlőtlenség bizonyítását jelenti.
Ha (4) helyett az ellenkező értelmű egyenlőtlenség érvényes, akkor a bizonyítás mn és MN felcserélésével alkalmazható, s így (3'), ill. (3) helyett is a fordított értelmű egyenlőtlenséget nyerjük. A (4) feltétel tehát nemcsak elégséges, hanem szükséges is (3) teljesüléséhez.
A (3) egyenlőtlenség alkalmazásaképpen több ismert nevezetes egyenlőtlenséget vezetünk le belőle. Előbb azonban még két középérték fogalmával kell olvasóinkat megismertetnünk.
Az a1,a2,...an 0-tól különböző számok H harmonikus közepén reciprokaik számtani középértékének reciprokát értjük, azaz
H=n1a1+1a2+...1an.
Eszerint a és b harmonikus közepe
H=21a+1b=2aba+b.
Az a1,a2,...,an számok Q négyzetes (kvadratikus) közepén négyzeteik számtani közepéből vont pozitív előjelű négyzetgyökét értjük, vagyis
Q=a12+a22+...+an2n.
Tehát a és b kvadratikus közepe
Q=a2+b22.

I. alkalmazás: Legyen n=b, n=a, M=N=1.
Ebben az esetben teljesül a (4) feltétel, tehát (3) felhasználásával (a két oldalt felcserélve)
a+b2>ab+bab+a=ab(a+b)b+a=ab,
ami a számtani és mértani közép közti jól ismert egyenlőtlenség.
II. alkalmazás: Legyen m=b, n=a, M=N=1.
A (4) feltétel teljesül, és így
a+b2>ba+aba+b=2aba+b,
ami a számtani közép és a harmonikus közép közti egyenlőtlenség.
III. alkalmazás: Legyen m=b, n=a, M=b, N=a.
A (4) feltétel teljesül, hiszen ba>ba, és így
ba+aba+b<ab+bab+a,
vagyis
2aba+b<ab,
ami a harmonikus közép és a mértani közép közti egyenlőtlenség.
IV. alkalmazás: Legyen m=n=1, M=a, N=b.
A (4) feltétel teljesül, és így
a+b2<a2+b2a+b.
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát a+b2-vel szorozva, majd mindkét oldalból négyzetgyököt vonva, az
a+b2<a2+b22
egyenlőtlenséget kapjuk, ami pedig a számtani és négyzetes közép közti egyenlőtlenség.
Az itt megadott négy példával természetesen nem merítettük ki a (3) egyenlőtlenség összes alkalmazásait. Mindenki származtathat belőle további egyenlőtlenségeket, ha az m, n és M, N súlyok helyébe a feltételeket kielégítő konkrét pozitív mennyiségeket helyettesít.