Kezdőlap


Cím:	Súlyozott számtani közepekről
Szerző(k):	Dux Erik
Füzet:	1956/április, 97 - 101. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/május: 764. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

E lap olvasói a számtani és mértani közép fogalmával már a kötelező iskolai anyag keretein belül megismerkedtek, és e lap hasábjain volt más közepekről is szó (Aczél-Surányi: ,,Egyenlőtlenségek'' III. évf. 1‐2‐3‐4. szám). Idézett cikkben előfordult már a súlyozott számtani közép fogalma is.
A következő törtet nevezzük az $a$ és $b$ pozitív számok, $m$ és $n$ pozitív súlyokkal súlyozott, számtani közepének:

\begin{matrix} \frac{m a + n b}{m + n} . \end{matrix}

(1)

E fogalom magában foglalja a közönséges számtani közép fogalmát

m = n

esetén. Ha

a = b

, úgy a súlyozott számtani közép ezt a közös értéket veszi fel:

\frac{m a + n b}{m + n} = a

. Ha

a

különbözik

b

-től, legyen pl.

a < b

, úgy a súlyozott számtani közép e két érték közé esik.

\begin{matrix} a < \frac{m a + n b}{m + n} < b . \end{matrix}

(2)

A (2)-ben szereplő első egyenlőtlenség pl. úgy látható be, hogy az (1) tört számlálójában

b

helyébe a nála kisebb

a

-t helyettesítjük. Ezzel az eljárással csökkentettük a tört értékét és eredményül

a

-t kaptunk. Hasonlóan bizonyítható az egyenlőtlenség második fele is. A (2)-es egyenlőtlenség egy alkalmazásaként vizsgáljuk azt a közepet, amelyet a ,,rossz diák'' kap gyakran eredményül, amikor két törtet kellene összeadnia. Mindenki találkozott már olyan diákkal, aki úgy adott össze két törtet, hogy külön a számlálókat, külön a nevezőket összeadta, vagyis a

\frac{p}{q}

és

\frac{r}{s}

törtekből

(ahol \frac{p}{q} \leq \frac{r}{s})

összegük helyett a

\frac{p + r}{q + s}

törtet alkotta. Az ilyen összeadás helytelenségét nem kell a cikk olvasói előtt bizonygatni, hiszen könnyen belátható, hogy a

\frac{p + r}{q + s}

tört kisebb, mint a két összeadandó közül a nagyobbik, pontosabban, hogy teljesül a következő egyenlőtlenség:

\begin{matrix} \frac{p}{q} \leq \frac{p + r}{q + s} \leq \frac{r}{s} . \end{matrix}

(

2'

)

A (

2'

) egyenlőtlenség nyilvánvaló következménye a (2) egyenlőtlenségnek, amit könnyen ellenőrizhetünk, ha a (2)-ben

a

helyébe

\frac{p}{q}

-t,

b

helyébe

\frac{r}{s}

-et, az

m

helyébe

q

-t és

n

helyébe

s

-et helyettesítünk.
Ugyancsak a (2), illetve a (

2'

) egyenlőtlenség következménye a következő egyszerű tétel. Ha egy pozitív valódi tört számlálójához és nevezőjéhez ugyanazt a pozitív számot hozzáadjuk, úgy az adott valódi törtnél nagyobb valódi törtet kapunk, míg, ha egy áltört számlálójához és nevezőjéhez adjuk hozzá ugyanazt a pozitív számot, úgy az adott áltörtnél kisebb áltörtet kapunk.

\begin{matrix} \frac{p}{q} < \frac{p + a}{q + a} < 1, ha 0 < \frac{p}{q} < 1, \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{P}{Q} > \frac{P + B}{Q + B} > 1, ha \frac{P}{Q} > 1. \end{matrix}

Az első esetben a

\frac{p}{q}

és az

\frac{a}{a} = 1

törtekből, a második esetben a

\frac{P}{Q}

és a

\frac{B}{B} = 1

törtekből képeztünk a (

2'

)-ben adott módon közepet, ami egyben állításunk bizonyítását jelenti.
Hasonlítsuk most össze az

a

és

b

egymástól különböző pozitív számokból különböző súlypárokkal képezett súlyozott számtani közepeket.
Legyen

0 < a < b

, és az

m

n

és

M

N

súlyok ugyancsak legyenek pozitívok. Megmutatjuk, hogy az e két súlypárral képezett közép között akkor és csak akkor teljesül

\begin{matrix} \frac{m a + n b}{m + n} < \frac{M a + N b}{M + N} \end{matrix}

(3)

egyenlőtlenség, ha

\begin{matrix} \frac{m}{n} > \frac{M}{N} . \end{matrix}

(4)

Osszuk a (3) egyenlőtlenségben szereplő első törtben a számlálót és nevezőt

n

-nel, a másodikban

N

-nel. Ekkor a bizonyítandó egyenlőtlenség így alakul

\begin{matrix} \frac{\frac{m}{n} a + b}{\frac{m}{n} + 1} < \frac{\frac{M}{N} a + b}{\frac{M}{N} + 1} . \end{matrix}

(

3'

)

(2)-ből (azt az

\frac{M}{N}

1

súlyokra alkalmazva) következik, hogy

a < \frac{\frac{M}{N} a + b}{\frac{M}{N} + 1}

. Tehát minden olyan

x

számra, amelyet úgy kapunk, hogy

a

-nak és

\frac{\frac{M}{N} a + b}{\frac{M}{N} + 1}

-nek tetszőleges pozitív súlyokkal súlyozott számtani közepét képezzük, igaz (2) alapján az

x < \frac{\frac{M}{N} a + b}{\frac{M}{N} + 1}

egyenlőtlenség.
Az

a

súlyának válasszuk az

\frac{m}{n} - \frac{M}{N}

különbséget, amely a (4) feltevés következtében pozitív, míg

\frac{\frac{M}{N} a + b}{\frac{M}{N} + 1}

-et saját nevezőjével,

(\frac{M}{N} + 1)

-gyel súlyozzuk:

\begin{matrix} x = \frac{(\frac{m}{n} - \frac{M}{N}) a + (\frac{M}{N} + 1) \frac{\frac{M}{N} a + b}{\frac{M}{N} + 1}}{(\frac{m}{n} - \frac{M}{N}) + (\frac{M}{N} + 1)} = \frac{\frac{m}{n} a + b}{\frac{m}{n} + 1} . \end{matrix}

Az előbbi megjegyzésünk szerint azonban

\begin{matrix} x = \frac{\frac{m}{n} a + b}{\frac{m}{n} + 1} < \frac{\frac{M}{N} a + b}{\frac{M}{N} + 1}, \end{matrix}

ami a (

3'

) egyenlőtlenség, és avval együtt a (3) egyenlőtlenség bizonyítását jelenti.
Ha (4) helyett az ellenkező értelmű egyenlőtlenség érvényes, akkor a bizonyítás

\frac{m}{n}

és

\frac{M}{N}

felcserélésével alkalmazható, s így (

3'

), ill. (3) helyett is a fordított értelmű egyenlőtlenséget nyerjük. A (4) feltétel tehát nemcsak elégséges, hanem szükséges is (3) teljesüléséhez.
A (3) egyenlőtlenség alkalmazásaképpen több ismert nevezetes egyenlőtlenséget vezetünk le belőle. Előbb azonban még két középérték fogalmával kell olvasóinkat megismertetnünk.
Az

a_{1}, a_{2}, ... a_{n}

0

-tól különböző számok

H

harmonikus közepén reciprokaik számtani középértékének reciprokát értjük, azaz

\begin{matrix} H = \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... \frac{1}{a_{n}}} . \end{matrix}

Eszerint

a

és

b

harmonikus közepe

\begin{matrix} H = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2 a b}{a + b} . \end{matrix}

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

számok

Q

négyzetes (kvadratikus) közepén négyzeteik számtani közepéből vont pozitív előjelű négyzetgyökét értjük, vagyis

\begin{matrix} Q = \sqrt[]{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2}}{n}} . \end{matrix}

Tehát

a

és

b

kvadratikus közepe

\begin{matrix} Q = \sqrt[]{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} . \end{matrix}

I. alkalmazás: Legyen

n = \sqrt[]{b}

n = \sqrt[]{a}

M = N = 1

.
Ebben az esetben teljesül a (4) feltétel, tehát (3) felhasználásával (a két oldalt felcserélve)

\begin{matrix} \frac{a + b}{2} > \frac{a \sqrt[]{b} + b \sqrt[]{a}}{\sqrt[]{b} + \sqrt[]{a}} = \frac{\sqrt[]{a b} (\sqrt[]{a} + \sqrt[]{b})}{\sqrt[]{b} + \sqrt[]{a}} = \sqrt[]{a b}, \end{matrix}

ami a számtani és mértani közép közti jól ismert egyenlőtlenség.
II. alkalmazás: Legyen

m = b

n = a

M = N = 1

.
A (4) feltétel teljesül, és így

\begin{matrix} \frac{a + b}{2} > \frac{b a + a b}{a + b} = \frac{2 a b}{a + b}, \end{matrix}

ami a számtani közép és a harmonikus közép közti egyenlőtlenség.
III. alkalmazás: Legyen

m = b

n = a

M = \sqrt[]{b}

N = \sqrt[]{a}

.
A (4) feltétel teljesül, hiszen

\frac{b}{a} > \sqrt[]{\frac{b}{a}}

, és így

\begin{matrix} \frac{b a + a b}{a + b} < \frac{a \sqrt[]{b} + b \sqrt[]{a}}{\sqrt[]{b} + \sqrt[]{a}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{2 a b}{a + b} < \sqrt[]{a b}, \end{matrix}

ami a harmonikus közép és a mértani közép közti egyenlőtlenség.
IV. alkalmazás: Legyen

m = n = 1

M = a

N = b

.
A (4) feltétel teljesül, és így

\begin{matrix} \frac{a + b}{2} < \frac{a^{2} + b^{2}}{a + b} . \end{matrix}

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát

\frac{a + b}{2}

-vel szorozva, majd mindkét oldalból négyzetgyököt vonva, az

\begin{matrix} \frac{a + b}{2} < \sqrt[]{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \end{matrix}

egyenlőtlenséget kapjuk, ami pedig a számtani és négyzetes közép közti egyenlőtlenség.
Az itt megadott négy példával természetesen nem merítettük ki a (3) egyenlőtlenség összes alkalmazásait. Mindenki származtathat belőle további egyenlőtlenségeket, ha az

m

n

és

M

N

súlyok helyébe a feltételeket kielégítő konkrét pozitív mennyiségeket helyettesít.