Cím: Olimpiai előkészítő feladatok
Szerző(k):  Kántor Sándor 
Füzet: 1979/február, 69 - 70. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ebben a rovatban havonta tíz-tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot fogunk elmondani, amelyek a Matematikai Diákolimpiára előkészítőül szolgálnak. A feladatok megoldását nem kérjük beküldeni, és a megoldásokat sem fogjuk ismertetni. Az érdeklődők a feladatmegoldásokkal kapcsolatos mindennemű kérdésükkel forduljanak a szerkesztőséghez. A kérdésekre levélben válaszol a rovatvezető.

 

Összefüggések a háromszög adatai között
 

A feladatokban a háromszög adataira a szokásos jelöléseket alkalmazzuk. A háromszög csúcsai A, B, C; a csúcsoknál levő szögek rendre α, β, γ; a magasságpont M; a csúcsokból induló magasságvonalak hossza ma, mb és mc. A háromszög kerülete 2s, a körülírt kör sugara r, a beírt kör sugara ϱ, végül az A-ból induló belső szögfelező a BC oldalt G-ben metszi.
 

Bizonyítsuk be az alábbiakat:
 

 1. tgα2tgβ2tgγ2=ϱs.
 

 2. sinα+sinβ+sinγsinαsinβsinγ=2rϱ.
 

 3. Hegyesszögű háromszögben a talpponti háromszög (a magasságok talppontjai által meghatározott háromszög) kerülete 2ϱsr.
 

 4. ABCM+BCAM+CABM=ABBCCACMAMBM
 

 5. AG2=ABAC-GBGC
 

 6. AMBMCM827mambmc
 

 7. 2ϱr
 

 8. 2s33r
 

 9. ma+mb+mc9ϱ
 

10. Hegyesszögű háromszögben a talpponti háromszög minimális kerületű a beírt háromszögek között.